Đề thi chọn học sinh giỏi, học viên giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 209 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi, học viên giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 209 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI, HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: TOÁN - THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/12/2017 (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 56 câu TNKQ, 05 câu tự luận, trong 08 trang Mã đề 209 I. TRẮC NGHIỆM (14,0 điểm)- THÍ SINH LÀM BÀI VÀO PHIẾU TLTN Câu 1: Trong mặt phẳng (Oxy), cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) đi qua M, cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng (d) là A. 2xy−−= 30. B. xy−=20. C. xy+2 −= 40. D. xy− −=10. Câu 2: Trong mặt phẳng phức, số phức z có điểm biểu diễn là M (1;− 2 ) . Khi đó môđun của số phức w= iz − z2 là A. 27. B. 34 . C. 26 . D. 52. Câu 3: Đạo hàm của hàm số y = 3sin x là A. 3sin x cosx ln3 . B. 3sin x ln3. C. 3sinx− 1 . D. 3sinx− 1 cos x . bb Câu 4: Cho các số a,b,c dương thỏa mãn 2ab= 6 = 12 c. Khi đó biểu thức T = − có giá trị là ca 3 1 A. . B. 1. C. 2. D. . 2 2 Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 23xy+− zm + = 0. Có bao nhiêu số nguyên dương m để khoảng cách từ A đến (P) bằng 14 . A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , BAD = 1200 . Mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SAB) là a 3 2a 33a 23a A. . B. . C. . D. . 3 3 4 3 5(zi+ ) Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn =2 − i . Môđun của số phức w=++1 zz2 là z +1 A. 9 B. 13 C. 3 D. 13 x+−11 yz Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d): = = và điểm A(1;2;3). Mặt −21 1 phẳng (P) qua (d) và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất. Khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là A. (1;1;1) . B. (1;1;− 1) . C. (1; 0; 2) . D. (1; 0;− 2) . Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;− 1), B(0;3;1) và mặt phẳng   (Pxyz) :+−+= 30. Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2MA− MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M là A. M (−4;1; 0 ) . B. M (1;− 4; 0 ) . C. M (−1; 4; 6 ) . D. M (4;− 1; 6 ) . Trang 1/8 - Mã đề thi 209
2. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, BAD =1200 , BD =a. Hai mặt 0 phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60P P. Thể tích khối chóp S.ABCD là 3a3 a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 4 12 4 12 Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=−+ x323 x mx có cực đại và cực tiểu là A. m∈[3; +∞). B. m∈(3; +∞). C. m∈( −∞ ;3) . D. m∈( −∞;3]. Câu 12: Cho hàm số yx=−+4221 x . Biết đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A, B, C. Khi đó diện tích tam giác ABC là 2 1 A. 2. B. . C. . D. 1. 2 2 Câu 13: Cho hàm số y=−+ x322331 mx −( m −) x + m . Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó tập A là tập con của tập hợp A. (−∞;1 − ] . B. (3; +∞) . C. (−∞;1]. D. (2;+∞) . Câu 14: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x++ cos2 x 2sin3 xx sin2 = 0 trên đoạn [0;2π ] A. 4π B. 5π C. 6π D. 3π π 2 Câu 15: Giả sử ∫ x(1+ cos x) dx = aππ2 +− b 1. Khi đó tổng (a+ b) là 0 9 5 7 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 8 Câu 16: Cho khối hộp ABCD.'' A B C ' D ' có thể tích V . Tính thể tích khối tứ diện ACB'' D . 2 1 3 1 A. V B. V C. V D. V 3 3 4 2 Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho C(0;1;2) và D(1;0;-1). Mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Oz, đi qua hai điểm C, D. Phương trình mặt cầu (S) là A. xyzz2+ 22 + −−=20 B. xyzz2+ 22 + +−=30 C. xyzz2+ 22 + +−=20 D. xyzz2+ 22 + −−=30 π 4 sinxx+ 3cos Câu 18: Giả sử ∫ dx=π a + bln 2. Khi đó tổng (a+b) là 0 sinxx+ cos 1 1 A. . B. 1. C. 2 . D. . 2 4 Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi VV12, lần lượt là thể tích của các khối chóp S.MNCD và S.ABCD. Khi đó tỷ V số 1 là V2 3 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 8 3 8 4 Trang 2/8 - Mã đề thi 209
3. 2 Câu 20: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình zz++=2 10 0. Khi đó biểu thức 22 Az=12 + z có giá trị là A. 100. B. 10. C. 20. D. 2 10 . 1 Câu 21: Số điểm cực trị của hàm số y=− xx3 −−7 là 3 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2 Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= a; AC = a 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) là a 39 4a 21 2a 39 2a 21 A. . B. . C. . D. . 13 7 13 7 Câu 23: Cho hàm số y= f( x ) = (ax2 ++ bx c ) 2 x − 1, abc , , ∈ R và hàm số 10xx2 −+ 7 2 1 gx()= . Biết f(x) là một nguyên hàm của g(x) trên ;+∞ . 21x − 2 Khi đó tổng (a+b+c) là A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 24: Cho 4 số a,b,c,d theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, trong đó abcd ≠ 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? 3 ab A. =  dc 1113 B. ++= ab bc cd ac 2 C. (abbccdabcbcd++) =( 22222 ++)( ++ 2) bd D. = ac Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình xx2 −43 += m có hai nghiệm phân biệt. A. m∈(3; +∞) ∪{ − 1} B. m∈[3; +∞) ∪{ − 1} C. m∈−[ 1; 3] D. m∈(3; +∞ ) Câu 26: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số yx=+−24 x2 . Khi đó tổng ()mM22+ là A. 40 . B. 32. C. 24 . D. 36. 2 Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên m∈−( 5;0) để hàm số y=log5 ( x −− 4 xm 3 )có tập xác định là R? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 28: Một người thợ muốn làm một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp, có chiều dài gấp đôi chiều rộng và thể tích của thùng hình hộp là 10( m3 ). Giá tiền vật liệu làm đáy thùng là 20000 đồng/ m2 , giá tiền vật liệu làm mặt bên của thùng là 9000 đồng/m2 . Hãy xác định kích thước của thùng (theo thứ tự chiều rộng ; chiều dài; chiều cao) để giá thành làm cái thùng nhỏ nhất. 3 20 8 16 3645 27 27 320 2445 A. ; 3; B. ;; C. ;; D. ;; 29 27 27 64 8 4 729 33 4 Trang 3/8 - Mã đề thi 209
4. Câu 29: Cho hàm số yx= log 1 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? 3 A. Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận đứng. 1 B. Hàm số đã cho có đạo hàm yx'=− ,0 ∀≠ . xln3 C. Hàm số đã cho có tập xác định D = \0{ }. D. Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định. x + 4 Câu 30: Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số nghịch biến trên 2xm+ khoảng (1; +∞). A. m∈( −∞;8) B. m∈−( 2;8) C. m∈−[ 2;8) D. m∈[ −2; +∞) xx(2 + ) Câu 31: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số fx( ) = 2 trên ( x +1) (−∞; − 1) ∪( − 1; +∞) xx2 −−1 x2 xx2 ++1 xx2 +−1 A. y = B. y = C. y = D. y = x +1 x +1 x +1 x +1 Câu 32: Trong (Oxy), cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường có phương trình y2 =2 xx ; − 2 y += 2 0; y = 0 . Diện tích hình phẳng (H) là 8 4 5 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 33: Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) xy22+ −4 xy − 4 += 40. Phép vị tự tâm O, tỉ số 1 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C ). Phép tịnh tiến theo véc tơ v = (1; 2) biến đường 2 1 tròn (C1 ) thành đường tròn (C 2 ). Phương trình đường tròn (C 2 ) là A. (xy− 2)22 +− ( 3) = 1. B. (xy− 3)22 +− ( 2) = 4 . C. (xy− 2)22 +− ( 3) = 4 . D. (xy− 3)22 +− ( 2) = 1. Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) :3 xy+− 3 z += 6 0 và mặt cầu 222 (Sx) :( − 4) ++( y 5) ++( z 2) = 25. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r . Khi đó A. r = 5 B. r = 5 C. r = 6 D. r = 6 Câu 35: Bất phương trình 55xx++−−1 5 x 2 ≤++ 3 x +−− 112 3 x 3 x có tập nghiệm T là A. T =[2; +∞). B. T =(2; +∞ ) . C. T =( −∞;2]. D. T =( −∞;2). Câu 36: Trong (Oxy), cho bốn hình dưới đây. Hình nào không phải là đồ thị của một hàm số? Trang 4/8 - Mã đề thi 209
5. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 3 B. Hình 2 C. Hình 4 D. Hình 1 Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB = BC = a, AD = 2a, SA⊥ ( ABCD) , SA= a 2 . Góc giữa (SAB) và (SCD) là A. 600 B. 450 C. 300 D. 900 Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, AB= a, AD= 2 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là 2 4 A. a3 . B. a3 . C. 2a3 . D. a3 . 3 3 Câu 39: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường có phương trình yx=( + 3)2 , yx=0, = 0 . Đường thẳng (d) đi qua A(0; 9), chia hình phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Khi đó phương trình đường thẳng (d) là A. 3xy−+= 90 . B. 3xy+−= 90. C. 9xy+−= 90. D. 9xy−+= 90. 7x 2 Câu 40: Cho phương trình (1cos+x) cos −= mxm cos sin x. Tìm tất cả các giá trị của m 2 2π để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc 0; . 3 1 A. m∈( −∞; − 1] ∪[ 1; +∞) B. m∈ ;1 2 11 C. m∈−( 1;1) D. m∈− ; 22 Câu 41: Cho a=+=+sin x sin yb , cos x cos y, trong đó ab22+≠0 . Khi đó giá trị của cos( xy+ ) theo a, b là ba22− ab22− 2ab ()ab− 2 A. B. . C. D. . ab22+ ab22+ ab22+ ab22+ x32=+− y7 x 2 mx Câu 42: Cho hệ phương trình . Biết hệ phương trình có nghiệm duy nhất.  32 2 y=+− x7 y my Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của m là A. m∈{16} . B. m∈( −∞;16) . C. m∈(16; +∞) D. mR∈ Trang 5/8 - Mã đề thi 209
6. Câu 43: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? A. 3720 B. 2160 C. 1440 D. 7440 Câu 44: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= a , AC= a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là 3a3 a3 a3 3 A. . B. . C. a3 3 D. . 2 2 . 3 Câu 45: Cho lăng trụ đứng ABC.'' A B C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng ( AB'' C ) tạo với mặt đáy góc 600 . Thể tích khối lăng trụ ABC.'' A B C ' là a3 3 a3 3 33a3 33a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 8 8 4 Câu 46: Trong hệ trục tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 4. Biết các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau, tính xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2. 13 11 13 15 A. B. C. D. 32 16 81 81 x3 Câu 47: ∫ dx là 2 − x2 −1 1 A. (x22− 4) 2 −+ xC B. −(x22 + 4) 2 −+ xC 3 . 3 . −1 C. x2 −+ xC2 D. x222 −+ xC . 3 . Câu 48: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a. Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền AC. Gọi V1 là thể tích hình nón có đường sinh AB, V2 là thể tích hình nón có V đường sinh BC. Khi đó tỉ số 1 là V2 21 A. 2. B. . C. 2 2. D. 4. 2 Câu 49: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên các viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ. 10 4 16 6 A. B. C. D. 33 33 33 33 2 − += Câu 50: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (log33xm ) (log x ) 1 0 có hai nghiệm phân biệt? A. m∈( −∞; − 2) ∪( 2; +∞) . B. m∈(2; +∞). C. m∈( −∞; − 2] ∪[ 2; +∞) . D. m∈( −∞;2 − ) . 2 3 16 ft( ) 4 Câu 51: Cho biết ∫xf( x2 ) dx= 4; ∫∫ f( z) dz = 2; dt = 2 . Khi đó ∫ f( x) dx là 0 29t 0 A. 1 B. 10 C. 9 D. 11 Trang 6/8 - Mã đề thi 209
7. Câu 52: Rút gọn biểu thức 1− 2 2 +2 3 −3 4 +− 2015 2016 + 2016 2017 CC20172 2017 3.2 C2017 4.2 C2017 2016.2 C2017 2017.2 C2017 ta được A. -2017 B. -2016 C. 2017 D. 2016 Câu 53: Đầu mùa thu hoạch bưởi, một bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số bưởi thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số bưởi còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số bưởi còn lại và nửa quả v.v Đến lượt người thứ 11 bác nông dân cũng bán nửa số bưởi còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Hỏi bác nông dân đã thu hoạch được bao nhiêu quả bưởi đầu mùa? A. 4095 B. 2047 C. 1023 D. 511. Câu 54: Bồn chứa nước SƠN HÀ có hình trụ kín cả 2 đáy, trong đó bán kính đường tròn đáy là r và chiều cao của bồn là h. Nhà máy sản xuất bồn tùy theo yêu cầu của khách hàng và cứ tính theo đơn giá 1 triệu đồng 1 m2 vật liệu làm bồn. Một khách hàng đặt 10 triệu đồng để làm một bồn nước SƠN HÀ. Anh hay chị hãy tính giúp vị khách đó kích thước của bồn để bồn đựng được nhiều nước nhất. 5 10 15ππ 5 A. rh=, = B. rh=, = 3ππ 15 32 55 5π 10 C. rh=, = D. rh=, = 3ππ 15 3 15π 22 Câu 55: Cho phương trình 911+−xx− (mm + 2).311+− + 2 += 1 0 . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có nghiệm 64 64 64 A. 48≤≤m B. 3 ≤≤m C. m ≥ D. 4 ≤≤m 7 7 7 Câu 56: Một cửa hàng có 5 loại sữa khác nhau. Có 5 người khách đến mua sữa, mỗi người khách chọn ngẫu nhiên một loại sữa trong 5 loại sữa đó. Tính xác xuất để có ít nhất một loại sữa có nhiều hơn hai người khách mua. 900 905 805 705 A. 3125 B. 3125 C. 3125 D. 3125 II. TỰ LUẬN (6,0 điểm)- THÍ SINH LÀM BÀI VÀO TỜ GIẤY THI Câu 1 (1,5 điểm): Cho hàm số yxmx=−322( + 1) +( 51 mxm +−−) 22, với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C, A(2 ;0), sao cho trong hai điểm BC, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình xy22+=1. Câu 2 (1,0 điểm):  x2 −+ xy y2 += x y+ y Giải hệ phương trình  2 + −2 −−= +  5x 4 yxx 3 18xy 4 Câu 3(1,5 điểm): Trang 7/8 - Mã đề thi 209
8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi VR1R, V thứ tự là thể tích của khối V chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số 1 . V Câu 4(1,0 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu abc333 thức Q =++. bca22+++333 2 Câu 5(1,0 điểm): Trong các số phức z thỏa mãn z−−1 2 iz + + 2 − 3 i = 10 . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. HẾT Họ và tên thí sinh : .Số báo danh: Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2: Trang 8/8 - Mã đề thi 209
9. SỞ GDĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI, HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: TOÁN - THPT Hướng dẫn chấm gồm trang I. TRẮC NGHIỆM: (14 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm. MÃ ĐỀ 132 Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 D 15 A 29 A 43 B 2 B 16 C 30 C 44 A 3 A 17 B 31 C 45 B 4 D 18 B 32 D 46 B 5 A 19 A 33 B 47 A 6 D 20 A 34 B 48 C 7 C 21 C 35 C 49 D 8 C 22 D 36 A 50 D 9 D 23 D 37 D 51 B 10 C 24 A 38 C 52 D 11 B 25 A 39 A 53 B 12 D 26 B 40 C 54 A 13 C 27 D 41 A 55 C 14 B 28 B 42 C 56 D MÃ ĐỀ 209 Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 C 15 B 29 D 43 D 2 C 16 B 30 C 44 A 3 A 17 D 31 D 45 C 4 B 18 B 32 B 46 C 5 A 19 A 33 A 47 B 6 D 20 C 34 C 48 D 7 D 21 A 35 C 49 C 8 A 22 C 36 A 50 A 9 B 23 C 37 A 51 D 10 B 24 B 38 B 52 C 11 C 25 A 39 D 53 B 12 D 26 D 40 B 54 A 13 D 27 B 41 A 55 D 14 D 28 A 42 C 56 B MÃ ĐỀ 357 Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 B 15 A 29 C 43 A 2 A 16 C 30 D 44 C 3 A 17 B 31 B 45 B 4 D 18 C 32 C 46 D 5 B 19 D 33 C 47 D 6 B 20 C 34 C 48 B 7 D 21 A 35 B 49 A 8 B 22 C 36 B 50 C 9 A 23 D 37 C 51 C 10 A 24 D 38 D 52 B 11 A 25 D 39 D 53 A 12 D 26 D 40 A 54 B 13 A 27 C 41 A 55 C 14 B 28 A 42 D 56 B Trang 1/5 –Toán THPT 2017-2018
10. MÃ ĐỀ 485 Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án 1 C 15 C 29 D 43 A 2 D 16 B 30 B 44 C 3 A 17 B 31 A 45 D 4 C 18 D 32 C 46 B 5 B 19 D 33 A 47 B 6 D 20 B 34 D 48 A 7 C 21 D 35 A 49 C 8 C 22 A 36 A 50 D 9 A 23 C 37 A 51 D 10 D 24 C 38 C 52 A 11 D 25 B 39 D 53 B 12 C 26 B 40 A 54 C 13 B 27 A 41 D 55 C 14 A 28 B 42 B 56 B II. TỰ LUẬN: (6,0 điểm) Bài Đáp án Điểm 32 Cho hàm số yxmx=−2( + 1) +( 51 mxm +−−) 22 có đồ thị là ()Cm , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để ()Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A(2;0) , BC , sao cho trong hai điểm BC, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình xy22+=1. Xét phương trình x32−2( mx + 1) + (5 mxm + 1) − 2 −= 2 0(1) 0,25 (1)⇔ (x − 2)( x2 − 2 mx ++= m 1) 0 x = 2 ⇔  2 0,25 g( x )= x − 2 mx + m += 1 0 (2) (Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt xx12; khác 2  15−+  15  2 m∈ −∞;;  ∪ +∞  Bài 1 ∆>'0 mm− −>10  22 ⇔↔ ↔   (*) 0.25 (1,5 g(2)≠ 0 44−mm + +≠ 10 điểm)    5 m ≠  3 xx12+=2 m Khi đó: A(2;0), Bx (12 ;0), Cx ( ;0) ; trong đó  xx12.1= m + 0.25 Hai điểm BC, thỏa mãn điều kiện đầu bài ⇔(OB − 1)( OC − 40⇔m ∈( −∞ ; ) ∪ (2; +∞ ) 3 −2 Kết hợp với đk (*) ta có m∈( −∞ ; ) ∪ (2; +∞ ) thỏa mãn ycbt. 0.25 3 Trang 2/5 –Toán THPT 2017-2018
11.  x22−++ xy y xy =+ y(1) Giải hệ phương trình  22  5xy+ 4 −xx −−= 3 18 x + 4y (2) x22−+≥ xy y 0  x ≥ 0  x ≥ 6 Điều kiện y ≥↔0 ≥  2 y 0 5xy+≥ 40 0.25 2 xx−−≥3 18 0 x ≥ 6 (Học sinh ghi ngay điều kiện  cũng được) y ≥ 0 (1) ↔ ( x22 −+ xy y −+ y) ( x − y ) = 0 xx( − y) xy− ⇔ +=0 x22−++ xy y y xy+ 0.25 x 1 ⇔−( xy)( +)0 = Bài 2 x22−++ xy y y xy+ (1,0 điểm) ⇔=xy. Thay y = x vào phương trình (2) ta được 5x22+ 4 xxx − −−= 3 18 5 x (*) (*)⇔ 5x22 + 4 xxx = −−+ 3 18 5 x ⇔2x2 − 9 x += 95 xx( + 3)( x − 6) ⇔2( xx22 − 6) + 3( x += 3) 5 xxx − 6. + 3 0.25 xx22−−66 xx ↔2( ) += 3 5 xx++33  xx2 − 6  =1  x + 3 7+ 61 ↔ ↔∈x 9;  2 xx−63  2  =  x + 32 7++ 61 7 61 Vậy hệ phương trình có nghiệm (9 ;9) ; ; 0.25 22 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt Bài 3 phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi VR1R, V thứ tự là thể tích của (1,5 khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ điểm) V số 1 . V Trang 3/5 –Toán THPT 2017-2018
12. S K M P B C N A D Bằng phương pháp thể tích học sinh chứng minh được, hoặc không chứng minh mà ghi V1 SM SN SA SK đúng được kết quả S. AMKN = . .(+ ) hoặc VS. ABCD 2 SB SD SA SC V1 SA SK SM SN S. AMKN = (+ ) 0.5 VS. ABCD 2 SA SC SB SD V 3 V 1 SM SN sau đó đưa 1 = xy hoặc 1 =()xy + , trong đó xy=; = V 4 V 4 SB SD Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong các tam giác SAC và SBD, học sinh đưa ra SB SD SA SC được (có thể chỉ cần nêu mà không cần chứng minh) : +=+ (vì cùng SM SN SA SK 0.25 SO 11 bằng 2 ), suy ra + =↔+=33x y xy SP xy 3 0,1<≤xy Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q= xy , trong đó  4 x+= y3 xy Ta có x x+= y3 xy ↔= y 31x − 0.25 1 Do0< x , y ≤→∈ 1 x ;1 2 33xx2 Khi đó Qx=. = 4314(31)xx−− 31x2  Khảo sát hàm số gx( )= . , x ∈ ;1 ta có 43x − 1 2 0.25 1 3 1 GTLN của g(x) trên ;1 là khi x∈;1 2 8 2 1 1 2 GTNN của g(x) trên ;1 là khi x = 2 3 3 V 3 V 1 Vậy GTLN của tỷ số 1 là và GTNN của tỷ số 1 là 0.25 V 8 V 3 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 333 abc Q =++ bca22+++333 2 Do ab++= bc ca 3 nên Trang 4/5 –Toán THPT 2017-2018
13. abc333 =++ Q 22 2 0.25 b+++ ab bc ca c +++ ab bc ca a +++ ab bc ca abc333 =++ (b++ ab )( c ) ( c ++ bc )( a ) ( a ++ ba )( c ) Mặt khác ta có : Bài 4 a33 bc+ ba + a bcba++3 (1,0 ++≥3.3 =a (b++ cb )( a ) 8 8 (b++ cb )( a ) 8 8 4 điểm) 0.25 a3 3 bc++ ba → ≥−a − (b++ cb )( a ) 4 8 8 Chứng minh tương tự b3 3 ca++ cb ≥−b − (c++ ac )( b ) 4 8 8 c3 3 ab++ ac ≥−c − ++ (a ba )( c ) 4 8 8 0.25 a333 b c abc++ Suy ra ++≥ (b++ ab )( c ) ( c ++ ac )( b ) ( a ++ ba )( c ) 4 Mặt khác (abc++ )2 ≥ 3( abbcca + + ) =→++≥ 9 abc3 abc3333 Hay ++≥ (b++ ab )( c ) ( c ++ ac )( b ) ( a ++ ba )( c ) 4 0.25 Dấu bằng xẩy ra khi abc= = =1 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là khi abc= = =1 4 Trong các số phức z thỏa mãn z−−1 2 iz + + 2 − 3 i = 10 . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. Trong mặt phẳng (Oxy), xét M(x;y) biểu diễn cho z; A(1;2); B(- 2;3) 0.25 Do z−−1 2 i + z + 2 − 3 i = 10 ↔ MA + MB =10 = AB Suy ra điểm M nằm trên đoạn AB. Bài 5 Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đoạn AB sao cho khoảng cách từ M đến O đạt (1,0 GTNN. 0.25 điểm) Hiển nhiên điểm M cần tìm là hình chiếu của O trên đoạn AB 7 21 Học sinh tìm hình chiếu của O trên đoạn AB là M (;) 0.25 10 10 7 21 Vậy số phức cần tìm là zi= + 0.25 10 10 Hết Trang 5/5 –Toán THPT 2017-2018