Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Giang (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề bài gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x3 + x. 2) Cho đa thức Px( ) =+−++ x432 x xax b và Qx( ) = x2 +− x 2 . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Câu 2 (2,0 điểm). 1xx3 −  11 1) Cho biểu thức: B =−−.. Tìm x để biểu thức x+1 x22 + 1 xx ++ 21 x 2 − 1 B xác định rồi rút gọn biểu thức. 2) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b thì M= a33 b − ab chia hết cho 6 Câu 3 (2,0 điểm).Giải các phương trình sau: 1) 2xx−+= 3 1 2)( xx22−+ 3 3)( xx − 2 += 3) 2 x 2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H 1) Chứng minh: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2) Gọi K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh: H là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác DEF và HK.AD = AK. DH 3) Giả sử SAEF = SBFD = SCDE . Chứng minh tam giác ABC đều. Câu 5 (1,0 điểm). 11 4 a) Chứng minh +≥ với x, y là các số dương x y xy+ b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: 111111 + + ≥++ abc+− bca +− cab +− a b c Hết Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 8 (Đề kiểm tra gồm 03 trang) Câu 1 Hướng dẫn giải Điểm x5 + x3 + x = x(x4 + x2 + 1) 0,5 1 (1 điểm) 2 2 = x(x + x + 1) (x - x + 1) 0.5 2 P(10) = (1 điểm) Qx( ) =−( x12)( x +⇒) px( ) Qx( ) ⇔ 0.5 P(−=20)  ab+=−11 a = ⇔⇔ 0.5 −24ab +=− b =− 2 Câu 2 1xx3 −  11 1(1 điểm) Ta có B =−−22. 2. x+1 x + 1 xx ++ 21 x − 1 x ≠ 1 0.25 ĐK:  x ≠−1 Khi đó: 0.25 1xx3 −  11 B =−−. x+1 x22 + 1 xx ++ 21 x 2 − 1 12x = + x +1 ( xx2 ++11)( ) 2 ( x +1) 0.25 = ( xx++11)( 2 ) x +1 0.25 = x2 +1 2(1 điểm) M= a333 b − ab = b( a −− a ) a(b 3 − b ) 0,25 M= ba. .( a + 1)( a −− 1) ab . ( b − 1)( b + 1) 0.25 Vì a(a + 1)(a -1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a + 1)(a -1) chia hết cho 0,25 6 (a, b là các số nguyên) Tương tự b(b + 1)(b - 1) chia hết cho 6 M= ba. .( a + 1)( a −− 1) ab . ( b − 1)( b + 1) chia hết cho 6. Từ đó suy ra 0,25 M= a33 b − ab chia hết cho 6 Bài 3 1) 2xx−+= 3 1 (*) 1 Điều kiện: (1đ) 0.25 10−≥x ⇔≤x 1
3. Khi đó (*) 2xx−=− 31 ⇔  0,25 23xx−=− 1  4 0,25 x= () loai ⇔  3  x= 2( loai ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 0,25 3.2 22 2 (1 điểm) ()()xx−+33 xx − 232 += x 0.25 ⇔( xx22 −2,5 +− 3 0,5 xxx)( − 2,5 ++ 3 0,5 xx) = 2 2 2 2 ⇔−( x222,5 x +− 3) () 0,5 xx = 2 2 2 ⇔−(xx2 2,5 +− 3) () 1,5 x = 0 ⇔()()x22 −43 x + xx −+ 30 = 0.25 xx2 −4 += 3 0 (1) ⇔  2 xx−+=3 0 (2) Giải (1) ta được x = 1; x = 3 0.25 Giải (2) vô nghiệm 0.25 Kết luận Câu 4 A 1 E K F H C B D AE AF 0.5 = AB AC Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) 0.5 2 EH là tia phân giác góc KED 0.25 Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED 0.25 HK EK ⇒=(1) HD ED Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED mà EA vuông góc với EH 0.25  EA là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh E
4. AK EK ⇒= (2) AD ED Từ (1) và (2), ta có: 0.25 HK AK =⇒=HK AD AK HD HD AD 3 Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 0.25 2 S AE ⇒=AEF (3) SABC  AB Vì tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC 2 S DB ⇒=DBF (4)  SABC  AB Từ (3) và (4) ta có AE = BD 0.25 Tam giác AEB = tam giác BDA (cạnh huyền – cangh góc vuông) 0.25  Góc BAC = góc ABC Tương tự ta có góc BAC = góc ACB 0.25 Do đó ABC là tam giác đều. Câu 5 Giả sử 0.25 Ý a 11 4 +≥( xy,0 >) x y xy+ 2 ( xy− ) ⇔≥0 xy() x+ y Dấu “ = “ xảy ra khi x = y. Theo câu a, ta có: 0.25 1 1 42 + ≥=(1) abc+− bca +− 2 b b 1 1 42 + ≥=(2) bca+− cab +− 2 c c 1 1 42 + ≥=(3) abc+− cab +− 2 a a Từ (1); (2) và (3), ta có: 0.25 111222 2+ + ≥++ 0.25 abc+− bca +− cab +− a b c 111111 0.25 + + ≥++ abc+− bca +− cab +− a b c Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều. Chú ý * Khi chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu biểu . * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.