Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán (Chuyên) Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Đồng Nai

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán (Chuyên) Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Đồng Nai

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 ĐỒNG NAI NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có một trang, có năm bài) Bài 1. (5 điểm) 1) Chứng minh rằng phương trình x 3 x2 6 x 3 có đúng ba nghiệm thực phân biệt x1,, x 2 x 3 . Tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 3 2 T x1 x 1 9 x 2 x 2 9 x 3 x 3 9 . 3 2 3 2 2) Cho hai hàm số y x x 3 x 1, y 2 x 2 x mx 2 có đồ thị lần lượt là C1 , C2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt tại ba điểm phân biệt có tung độ là y1,, y 2 y 3 thỏa mãn 1 1 1 2 . y1 4 y 2 4 y 3 4 3 Bài 2. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng a2 b 2 c 2 abc 2 n 1 Bài 3. (4 điểm) Cho dãy số xn xác định bởi x1 x 2 1 và xn. x n 2 x n 1 3. 1 . 1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy xn đều là số nguyên. x 2) Tính lim n 1 . x1 x 2 xn Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K là trung điểm BC và G là hình chiếu vuông góc của H trên AK. Lấy D đối xứng G qua BC và I đối xứng C qua D. Tia phân giác ACB cắt AB tại F và tia phân giác BID cắt BD ở M, MF cắt AC tại E. 1) Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn (O). 2) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM ở điểm thứ hai là Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O). Bài 5. (4 điểm) Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4m3 m 12 n 3 n . Chứng minh rằng m n là lập phương của một số nguyên. HẾT Họ & tên thí sinh: Số báo danh: Chú ý. Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay!