Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Thái Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Thái Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 THÁI BÌNH Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) 21x − 1) Cho hàm số: y = có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng x +1 khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 3 22 2 2) Cho hàm số: y=2 x −+( m 6) x −( m − 33 mx) + m có đồ thị là (Cm ) ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 222 x123 ;x ;x thỏa mãn: ( xxx123−+1) ( −+−= 1) ( 16) . Câu 2. (4,0 điểm) 1) Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n∈≥ N* ,n 2 ). Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, 1 biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n. 13 2) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; 100π ] của phương trình: 3− cos2x + sin2 x −− 5sin xx cos = 0 2cosx + 3 2 x x Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=log2018  2017 −− xm − xác định 2 với mọi x thuộc [0;+∞). Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, ABC = 600 , SA= SB = SC , SD= 2 a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích V12 ;V trong đó V1 là V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 . V2 3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 33 22 xy−−3( 2 xy −+ 2 y) + 15 x −= 10 0  22  xy+−+5 3 y − 3 x − 6 y + 13 = 0 Câu 6. (2,0 điểm) Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (11+++a2 b 2 ab 22)( ++ c 2 d 2 + cd 2 2)  HẾT  Họ và tên thí sinh: SBD:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN (Gồm 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1. 21x − Cho hàm số: y = có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho (4 điểm) x +1 1. tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. (2 điểm) Ta có: limyy= 2; lim = 2 nên y=2 là đường tiệm cận ngang 0,5 xx→+∞ →−∞ limyy= −∞ ; lim = +∞ nên x=-1 là đường tiệm cận đứng xx→−11+−→− − 21x0 Giả sử điểm Mx00;∈( C) ;1 x ≠− x0 +1 3 = + = dx(M, TCD) 0 1 ; d(M, TCN ) 0,5 x0 +1 3 0,5 Suy ra: dd(M,, TCD) +( M TCN ) = x0 ++1 ≥ 23 x0 +1  x=31 − ( tm) M =( 3 −− 1; 2 3 ) Dấu bằng xảy ra khi  0 .Các điểm M cần tìm:  x=−−31( tm)  =−−+ 0,5  0 M ( 3 1; 2 3 ) 2. 3 22 2 Cho hàm số: y=2 x −+( m 6) x −( m − 33 mx) + m có đồ thị là (Cm ) ( m là tham (2 điểm) số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân 222 biệt có hoành độ x123 ;x ;x thỏa mãn: ( xxx123−+1) ( −+−= 1) ( 16) . Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x3−+( m 6) x 22 −( m − 3 mx) + 3 m2 = 01( ) 0,5 ⇔−( x32)( x22 − mx − m ) =0  x = 3  ⇔=xm  −m x =  2 Để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3 m ≠ 3  nghiệm phân biệt ⇔≠m 0  0,5 m ≠−6 m= 0( loai) 222 1,0 Khi đó: ( xxx123−+1) ( −+−=⇔ 1) ( 16) 4 m= ( tm)  5 4 Vậy m = 5 1
3. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 2. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n∈≥ N* ,n 2 ). Gọi S là tập (4 điểm) hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác 1. 1 (2 điểm) thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n. 13 3 Số phần tử của tập hợp S là: C2n 3 0,5 Số phần tử không gian mẫu: nC(Ω ) = 2n Gọi A là biến cố: “ Chọn được tam giác vuông” Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O. Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O và một đỉnh trong 2n-2 đỉnh còn lại . 1,0 11 ⇒ Số tam giác vuông được tạo thành: CCnn. 22− CC11. 1 =nn22− = ⇔= Theo bài ra ta có: PA( ) 3 n 20 0,5 C2n 13 2. Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [0; 100π ] của phương trình: (2 điểm) 3− cos2x+sin2x-5sinx-cosx = 0 2cosx+ 3 − 3 Điều kiện: cosx ≠ 0,25 2 3-cos2x+sin2x-5sinx-cosx=0 ⇔=2sin2 x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx 0 2sinx −= 1 0 ⇔−(2sinx 1)( sinx+cosx-2) =⇔ 0  sinx+cosx-2=0 0,5 sinxx+ cos −= 2 0 (phương trình vô nghiệm) 0,25  π xk=+π2  6 2sinx−= 1 0 ⇔ (kZ∈ ) 5π xk= +π2   6 0,5 π Đối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là: x=+ k2, π∈ kZ 6 π x∈[0;100 π⇒≤+] 0k 2 π≤π⇒≤≤ 100 0k 49, kZ ∈ 0,5 6 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: π π π π ππ 50 7375 ++π++π+++π=++π2 4 98 98  . = π 6 6 6 6 66  2 3 Câu 3. Hàm số xác định với mọi x thuộc [0;+∞) khi và chỉ khi (2 điểm) 22 xxxx 2017 −−−>∀∈+∞⇔x m0, x[ 0;) 2017 −−>∀∈+∞x mx,[ 0;)( *) 0,5 22 x2 Xét hàm số: fx( )= 2017x −− x trên [0; +∞) . Hàm số liên tục trên [0; +∞) 2 fx'( )= 2017x .ln 2017−− 1 x và liên tục trên [0;+∞) 2 fx''( )= 2017x .( ln 2017) − 1 > 0, ∀x ∈[ 0; +∞) ⇒ fx'( ) đồng biến trên [0; +∞) ⇒fx'( ) ≥ f '( 0) = ln 2017 −> 1 0, ∀x ∈[0; +∞) ⇒ fx() là hàm số đồng biến trên [0; +∞) ⇒=minfx( ) 1 1,0 [0;+∞) Bất phương trình (*) ⇔fx( ) >∀∈+∞⇔ m, x[ 0;) min fx( ) >⇔< m m1 0.5 [0;+∞) 2
4. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, ABC = 600 , (6,0 điểm) SA= SB = SC;SD = 2 a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. 1) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích V12 ;V trong V1 đó V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính V2 3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. S N M E A D K O H B C 1. Tính khoảng cách từ A đến (SCD) (2 điểm) 26a Gọi H là trọng tâm ∆ABC . Chứng minh SH⊥ ( ABCD) và tính được SH = 1,0 3 3 0,25 Lập luận được dd= ( A,,( SCD)) 2 (H( SCD)) 26a 0,5 Tính được d = (H,( SCD)) 9 a 6 0,25 Suy ra d = ( A,( SCD)) 3 2. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích V12 ;V trong đó V1 là (2 điểm) V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 V2 Trong mặt phẳng (SAB), dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SB tại K. Chứng minh ( AKC) ⊥ SB . Suy ra (P) là mặt phẳng (AKC) a35 SK Tính được SB=3; a BK = ⇒= 66SB 1,0 V SK 5 55 1 ⇒SAKC = =⇒V = V = V ⇒= VV V SB 6SAKC 6 SABC 12 SABCD 2 12 SABCD 1,0 SABC 11 V1 ⇒=VV1 SABCD ⇒ =11 12 V2 3
5. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 3. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích (2 điểm) mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. Trong mặt phẳng (AKC) dựng d là đường trung trực của đoạn AK; d là đường 1 2 trung trực của đoạn KC, d1 cắt d2 tại điểm I. Chứng minh được I cách đều 5 đỉnh của hình chóp K.ACMN Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K.ACMN. Do đó bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC S N M d 1 K A I d2 C 1,0 a 33 Tính được KA= KC = 6 2 a 6 Diện tích tam giác KAC: SKAC = 6 1,0 KA. KC . AC 11 6 a Bán kính mặt cầu là : R = = 4SKAC 48 121πa2 Diện tích mặt cầu: SR=π=4 2 mc 96 Câu 5.  33 22 xy−−3( 2 xy −+ 2 y) + 15 x −= 10 0( 1) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  22  xy+−+5 3 y − 3 x − 6 y + 13 = 0( 2) xy2 +−≥50  Điều kiện: y ≥ 0  2 3xy− 6 +≥ 13 0 33 Biến đổi phương trình (1) ⇔−( x23) +( xy −=− 2) ( 13) +( y − 1) Phương trình có dạng: fx( −=21) fy( −) với f( t) =+∈ t3 3, tt R 2 ft'( ) = 3 t +> 3 0, tR ∈ nên hàm số ft( ) đồng biến trên R Do đó: fx( −2) = fy( − 1) ⇔ x − 21 = y −⇔ y = x − 1 0,5 Thay vào phương trình (2) ta được: xx22+ −6 + 3 x −− 1 3 x − 6 x + 19 = 0( 3) 0,25 Điều kiện: x ≥ 2 4
6. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 22 Khi đó phương trình (3) ⇔xx +−+6 3 x −= 1 3 x − 6 x + 19 22 0,25 ⇔3x − 1 xx +−= 6 x − 8 x + 17 ⇔3x − 2 xx22 +−=+−− 23 xx 23102 x − ( ) ( ) xx−−22 ⇔ + −= 10223 1 0 xx+−23 xx +− 23 0,5  x − 21  = xx2 +−2 35 ⇔   x −−21  = ( vn )  xx2 +−232  23+ 341 x = (tm) x − 21 =⇔−2 +=⇔ 2 2 xx23 47 0 xx+−2 35  23− 341 x = (tm)  2  23+ 341  23− 341 x = x =  2  2 Suy ra nghiệm của hệ phương trình là:  hoặc  0,5  21+ 341  21− 341 y = y =  2  2 Câu 6. Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của (2,0 điểm) biểu thức: P= (11+++a2 b 2 ab 22)( ++ c 2 d 2 + cd 2 2) Pabcd=++++(1111222)( )( )( 2) ⇒=+++++++lnPabcd ln( 1222) ln( 1) ln( 1) ln( 1 2) 2 8 2 17 Chứng minh được bất đẳng thức: ln( 1+tt) ≥ − +ln , ∀∈ t[ 0;1]( *) 1,0 17 17 16 Áp dụng (*) ta có: 8 8 17 ln( 1+++++++≥a222) ln( 1 b) ln( 1 c) ln( 1 d 2) ( abcd +++−+) 4ln 17 17 16 4 17 17 ⇔lnPP ≥ 4ln ⇔≥ 16 16 1 Dấu bằng xảy ra khi abcd= = = = 4 4 17 Vậy min P =  1,0 16 Lưu ý: - Trên đây là hướng dẫn chấm bao gồm các bước giải cơ bản, học sinh phải trình bày đầy đủ, hợp logic mới cho điểm. - Mọi cách giải khác đúng đều được điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. - Câu 4 nếu không có hình vẽ không chấm điểm. 5