Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— 1 Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số yxx 4221 có đồ thị là C . Tính diện tích tam giác có các 4 đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị C . x 1 Câu 2 (1.0 điểm). Cho hàm số y có đồ thị C và đường thẳng dy:2 xm 1 (m là x 2 tham số thực). Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A, B . Gọi kk12, lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với C tại A và B. Xác định m để biểu thức 22 Pk 3112 31 k đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (1.0 điểm). Cường độ động đất M được cho bởi công thức M logAA log 0 trong đó A là biên độ rung chấn tối đa, A0 là biên độ chuẩn (hằng số). Một trận động đất ở Xan Phranxixcô có cường độ 8 độ richter, trong cùng năm đó một trận động đất khác ở gần đó đo được cường độ là 6 độ richter. Hỏi trận động đất ở Xan Phranxixcô có biên độ rung chấn tối đa gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất kia? 11 1 xx22(1) Câu 4 (1.0 điểm). Cho hàm số fx() e ( x 0). Tính ff(1). (2). f (3) f (2017) . Câu 5 (1.0 điểm). Giải phương trình: sin 3x 2cos2 x 1. Câu 6 (1.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, ACaBDa 23, 2; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm C a 3 đến mặt phẳng ()SAB bằng . Tính thể tích khối chóp S. ABC theo a. 2 Câu 7 (1.0 điểm). Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 22a và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng ()SAD . Câu 8 (1.0 điểm). Trong không gian cho 2n điểm phân biệt nn 4, , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt. Câu 9 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng dmxy: 4 0và đường tròn Cx : 22 y 2 xmym 2 2 24 0 có tâm I . Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ()C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12. Câu 10 (1.0 điểm). Cho ab, là hai số thực dương thoả mãn: 2(a22 b ) ab ( a b )( ab 2). Tìm ab33 ab 22 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 49 33 22. ba ba Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG ————————— LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN - THPT (Gồm 06 trang) Lưu ý - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Trong lời giải câu 6, 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu Nội dung trình bày Điểm 1 Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số yxx 4221 có đồ thị là (C). Tính diện tích tam 4 giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C). x 0 Ta có yx'4; 3 x y'=02 x 0.25 x 2 1 Suy ra 3 điểm cực trị là ABC( 2; 3); (0;1); (2; 3) Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân tại B 0.25 Gọi H là trung điểm của AC H (0; 3) và BHAC   Ta có BH(0; 4) BH 4 ; AC(4;0) AC 4 0.25 11 Vậy diện tích cần tìm: SBHAC . . .4.4 8 (đvdt) 0.25 22 x 1 Câu 2 (1.0 điểm). Cho hàm số y có đồ thị C và đường thẳng x 2 dy:2 xm 1 (m là tham số thực). Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn cắt C tại 2 điểm phân biệt A, B . Gọi kk12, lần lượt là hệ số góc của tiếp 22 tuyến với C tại A và B . Xác định m để biểu thức Pk 3112 31 k đạt giá trị nhỏ nhất. Hoành độ giao điểm của C và d là nghiệm của phương trình: x 1 0.25 2 21(1)xm x 2 (1) xxmx12 1 2 (vì x 2 không là nghiệm của pt (1)) 26xmxm2 320(2). 0.25
3. Ta có 68324120. mmmmm2 2  Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 2, hay d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi x12, x là hoành độ của A, B x12, x là các nghiệm của pt (2). Theo định lý Viét 1 m 6 k1 2 xx12 2 x1 2 ta có: . Mặt khác ta có 32 m 1 xx k 12 2 2 2 x2 2 11 1 0.25 kk12 22 2 2 4. xx 22 xxxx 22432 m 12 1212 m 64 2 2222 Khi đó Pk 31121212 31 k 9 kk 9 233 kk 2(*) 22 22 Ta có kk12,0. Theo bất đẳng thức Côsi: 992811872kk12 kkkk 1212 và 23 kk12 3 4 9 kk 12 124 24 Vậy VT(*) 72 24 2 98 0.25 Dấu bằng xảy ra m 6 kk x22 x xx 4 42 m (Do x x ) 12 1 2 12 2 12 Vậy: Pmmin 98 2 . Câu 3 (1.0 điểm). Cường độ động đất M được cho bởi công thức M logAA log 0 trong đó A là biên độ rung chấn tối đa, A0 là biên độ chuẩn (hằng số). Một trận động đất ở Xan Phranxixcô có cường độ 8 độ richter, trong cùng năm đó một trận động đất khác ở gần đó đo được cường độ là 6 độ richter. Hỏi trận động đất ở Xan Phranxixcô có biên độ rung chấn tối đa gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa trận động đất kia? Gọi M11, A lần lượt là cường độ và biên độ của trận động đất ở Xan Phranxixcô 0.25 Gọi M 22, A lần lượt là cường độ và biên độ của trận động đất còn lại khi đó ta có M110220 logAAMAA log , log log 3 AAM M 0.25 Từ đó ta có 12 1012 ; 10 AA00 A 10M1 0.25 Lập tỉ số 1 10MM12 102 100 M 2 A2 10 A12100.A . Vậy cường độ trận động đất ở Xan Phranxixcô có biên độ gấp 100 0.25 lần trận động đất còn lại.
4. 11 1 xx22(1) Câu 4 (1.0 điểm). Cho hàm số fx() e . Tính ff(1). (2). f (3) f (2017) Ta có: 11x22 (1)(1)xxxxxxx 22432 2321 0.25 1 x22(1) x xx 22 (1) xx 22 (1) 4 x2 x 1111 11 do x 0 xx(1) x (1xx ) x 1 11 1 2017 0.25 Khi đó ta có ff(1). (2). f (3) f (2017) e1.2 2.3 2017.2018 111 1 1 2017 1 0.25 e 2 2 3 2017 2018 1 2017.2019 2018 0.25 ee2018 2018 Câu 5 (1.0 điểm). Giải phương trình: sin 3x 2cos2 x 1 Phương trình sin 3x cx os2 0.25 sin 3xx sin(2 ) 0.25 2 5 0.25 xk 2 2 k  32 k x 10 5 0.25 HS tìm được 1 họ nghiệm đúng thì được 0.25đ Câu 6 (1.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, ACa, 23 BDa 2 ; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt a 3 phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ()SAB bằng . Tính 2 thể tích khối chóp S. ABC theo a. 22 0.25 Ta có diện tích hình thoi ABCD là: SaSaABCD 23 ABC 3 6 Theo giả thiết SO ( ABCD ) . Kẻ OK    AB,()() OH SK AB SOH AB OH OH SAB 0.25
5. aa33 d( C ,( SAB )) 2 d (O,( SAB )) d (O,( SAB )) OH 24 11141114 0.25 Khi đó ta có OK2222 OA OB3 a OS 2 OH 222 OK a 11aa3 3 0.25 Vậy thể tích khối S.ABC là VSSOa 3.2 (đvtt) SABC. 3326 ABC Câu 7 (1.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 22a và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ C đến ()SAD . 0.25 7 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB SAB cân tại S nên SM AB và kết hợp với SH () ABCD suy ra ABSMH . Vậy MH là trung trực của AB , MH cắt CD tại NN là trung điểm của CD. Nên theo giả thiết ta được: + SA,( ABCD ) SAH 450 SA SH 2 0.25 0 2 + (),SAB ABCD SM , MH SMH 60 SM SH . 3 Trong tam giác SAM ta có: 4SH 2 SA222 AM SM223 SH 2 a 2 SH a 0.25 3 Từ đó tính được: 0.25 230a dC(,())2(,())2 SAD dH SAD HP 5 Câu 8 (1.0 điểm). Trong không gian cho 2n điểm phân biệt nn 4, , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra 8 đúng 505 mặt phẳng phân biệt.
6. 3 Số cách chọn ra 3 điểm từ 2n điểm đã cho là C2n suy ra số mặt phẳng được tạo ra là 0.25 3 C2n . 3 Do trong 2n điểm đã cho có n điểm đồng phẳng nên có Cn mặt phẳng trùng nhau 0.25 33 Suy ra số mặt phẳng được tạo thành từ 2n điểm đã cho là CC2nn 1 0.25 33 Theo bài ra: CC2nn 1 505 22nn 12 n 2 nn 1 n 2 504 66 0.25 nn1 8 n 4 n 2 3024 nn 1 7 n 2 3024 7nnn32 9 2 3024 0 n 8 7 n 2 47 n 378 0 n 8. Vậy n 8 . Câu 9 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng 22 2 dmxy: 4 0và đường tròn Cx : y 2 xmym 2 24 0 có tâm I . Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn (C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12. Đường tròn (C) có tâm Im 1; , bán kính R 5. 0.25 9 Gọi H là trung điểm của dây cung AB . Ta có IH là đường cao của tam giác IAB . |4||5|mm m IH dI(, d ) 0.25 m22 16m 16 Nhận xét: d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt AB 2 22 (5m ) 20 0.25 AH IA IH 25 2 m 16 m2 16 Diện tích tam giác IAB là S IAB 12 2S IAH 12 m 3 0.25 dId( , ). AH 12 25 | m | 3( m2 16) 16 (thỏa mãn) m 3 Câu 10 (1.0 điểm). Cho ab,;,0 ab thoả mãn: 2(a22 b ) ab ( a b )( ab 2) . ab33 ab 22 Tìm GTNN của biểu thức: T 49 33 22. ba ba
7. Ta có ab,0 2(a22 b ) ab ( a b )( ab 2) 22 2 2 0.25 2(a b ) ab a b ab 2( a b ) ab 11 21()2 ab ba ab 11 11 ba Theo BĐT Côsi ta có: ()2ab 2()2 ab 22 2 ab ab ab 10 ab ba ab5 ab Suy ra 21222 (do 0 ) 0.25 ba ab ba2 ba 32 a33 b a 22 b ab ab ab và ta có T 49 33 22 43918 b a b a ba ba ba Xét hàm số: 5 ft( ) 4 t32 9 t 12 t 18, t f '( t ) 12 t 2 18 t 12 2 1 t ft'( ) 0 2 t 2 Ta có bảng biến thiên : 0.25 523 minTfkhiab ( ; ) { 1;2 , 2;1 } 24 0.25 HS tìm được 1 trong 2 bộ 1; 2 , 2;1 thì vẫn cho điểm tối đa Hết
8. ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ MÔN: TOÁN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Mức độ STT Chủ đề Nội dung Nhận Thông Vận Vận Tổng biết hiểu dụng dụng thấp cao 1 Ứng dụng đạo Cực trị Câu 1 Câu 1 hàm 1 đ 1 đ Bài toán tương Câu 2 Câu 2 giao 1 đ 1 đ Ứng dụng đạo Câu 10 Câu 10 hàm cm bất đẳng 1 đ 1 đ thức 2 Mũ và lôgarit Hàm số mũ Câu 5 Câu 5 1 đ 1 đ Hàm số logarit Câu 4 Câu 4 1 đ 1 đ 3 Thể tích khối Thể tích khối đa Câu 6 Câu 6 đa diện diện 1 đ 1 đ 4 Quan hệ vuông Khoảng cách Câu 7 Câu 7 góc 1 đ 1 đ 5 Tổ hợp xác Tổ hợp Câu 8 Câu 8 suất 1 đ 1 đ 6 Lượng giác Phương trình Câu 5 Câu 5 lượng giác 1 đ 1 đ 7 Phương pháp Hình tọa độ Câu 9 Câu 9 tọa độ trong 1 đ 1 đ mặt phẳng 3 Câu 4 Câu 3 Câu 10 Câu Tổng 3 đ 4 đ 3 đ 10 đ