Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Lê Quý Đôn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Lê Quý Đôn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2017 - 2018 &&& Môn thi : Toán - Thời gian làm bài 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1.(5 điểm) 21x Cho hàm số y có đồ thị là (H). M là điểm trên (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của (H) tại 22x M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định toạ độ điểm M sao cho SS OIB 8 OIA ( trong đó O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận) Bài 2.(6 điểm) 1) Giải hệ phương trình x222 2y x 2y 2y x 2 49.3 49 .7 2 2 x 2x 2y 2x 4 2) Giải bất phương trình: xx22 541( xxx 24) . 3) Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 24 3 P =-. 13a + 12 ab + 16bc a + b + c Bài 3.(6 điểm). 1) . Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC; M, N lần lượt là trung 92 điểm của AH, BH. Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết M ; , 55 K(9; 2) và các đỉnh B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng dxy12:2 2 0, d :x y 5 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4. 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh 222 BB’ = a . Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. 3 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc BAD 600 , SA = = SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AD sao cho mp(SMN) vuông góc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện SAMN nhỏ nhất. Bài 4.(2 điểm) ABC Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos . 222 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng có n điểm, trong đó có k điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đó tạo được 36 đường thẳng phân biệt và tạo được 110 tam giác khác nhau. Hãy tìm n, k. Hết Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM &&& ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Lê Quý Đôn NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi : Toán ( Gồm 6 trang) Bài (5 đ) 21x Cho hàm số y có đồ thị là (H). M là điểm trên (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của 22x (H) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định toạ độ điểm M sao cho SS OIB 8 OIA ( trong đó O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận) 1.0 21x0 Mx 00;,1 x thuộc (H), Tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình 22x0 21x 2 ():dy 0 ( xx ) 22x 2 0 0 22x0 1.0 x0 (d) cắt tiệm cận đứng tại A 1; , (d) cắt tiệm cận ngang tại B(2x0 – 1; 1) x0 1 1 1.0 IA = , IB = 2(x0 1) x0 1 1.0 8 2 x0 1(ktm ) SS OIB 8 OIA  2(xx00 1) 1 4 x0 1 x0 3(tm ) 5 1.0 Vậy M 3; 4 Bài 2 1 Giải hệ phương trình (2đ) x2222 y x2y 2y x2 49.3 49 .7 2 2 x 2x 2y 2x 4 Đk: y – x 2 0 (*) 0.5 Đặt t = x2 – 2y t 2 2t t 2 t 2 – t 4 3 4 3 Pt(1) trở thành : 4 3 4 9.7 t2 2t 77 f(t 2) f(2t) t 2 2t t 2 0.5 43 x Từ đó 2y = x2 – 2 Víi f(x) = x nghÞch biÕn trªn R 7 22 0.5 Thay 2y = x2 – 2 vào pt(2) ta được 2x 2xx 2x2 (3) Đặt x2x2a12 phương trình (3) trở thành aa(22)02 (4) x0 0.5 (tm *) y1 Giải pt (4) được a 2 t×m ®−îc x2 (tm *) y1 Bài 2
3. 2 Giải bất phương trình: xx22 541( xxx 24) (x R). (2đ) 15 x 0 0.5 HD: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 x 15 22 0.5 Khi đó (*) 4(x xx 2 4) xx 5 4 4(x xx22 2 4)( xx 2 4)3 x ( ) TH 1: x 15 , 0.5 xx22 24 xx 24 Chia hai vế cho x > 0, ta có: ( ) 43 xx xx2 24 Đặt tt , 0, ta có bpt: tt2 430 13t x xx2 24 xx2 740 1177 65 13 x 2 x xx 40 22 TH 2: 15 x 0, xx2 540 , ( ) luôn thỏa 0.5 117765 Vậy tập nghiệm bpt (*) là S 15;0  ; 22 Bài 2 3 Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: đ (2 ) 24 3 P =-. 13a + 12 ab + 16bc a + b + c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 0.5 a4bb4c 13a12ab16 bcb.4c16(abc) 13a6a.4b8 13a6. 8. 22 13a 12 ab 16 bc16(abc) . Dấu “ = ” xảy ra a4b16c . 33 0.5 Suy ra P . 2a b c abc 33 Đặt tabc,t0 . Khi đó ta có: P 2t t 33 33 0.5 Xét hàm số ft trên khoảng (0; ), ta có f' t . 2t t 2t t 2t2 33 f' t 0 0 t 1; lim f (t) ; lim f (t) 0 2t t 2t2 x0 x BBT.
4. 3 abc1 16 4 1 0.5 Vậy ta có P , đẳng thức xảy ra a;b;c . 2 a4b16c 21 21 21 3 16 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi a,b,c , , . 2 21 21 21 Bài 3 1 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC; M, N lần lượt là trung (2đ) 92 điểm của AH, BH. Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết M ; , 55 K(9; 2) và các đỉnh B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng dxy12:2 2 0, d :x y 5 0 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4. A B N M H C D K 1 0.5 MN là đường trung bình của tam giác HAB MNABMNAB// , . Do MNCK là hình 2 1 bình hành MNMNCKAB//CK, suy ra K là trung điểm của CD 2 Ta có MNBCBHMC, nên N là trực tâm tam giác BCM CN BM , mà MK // CN BMMK Viết phương trình BM qua M và và vuông góc với MK, suy ra toạ độ 0.5 BBMd  1 B(1; 4)   a 9 0.5 Cd 2 Caa(; 5). BC.0 CK . Do xC 4 nên C(9; 4). a 4   K là trung điểm CD suy ra D(9;0). AB DC A(1; 0) 0.5 Vậy A(1; 0), B(1; 4), C(9; 4), D(9; 0)
5. 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh (2 đ) 222 BB’ = a . Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. 3 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. B' A' C' B A G M I C H BB’// (ACC’) suy ra d(BB’, AC’) = d(BB’, (ACC’)) = d(B, (ACC’) 0.5 Gọi H là hình chiếu vuông góc của C’ trên (ABC). Gọi I là giao điểm của GH và AC. 0.5 Chứng minh được C'I AC v C'I = C'H22 HI 2 2a 0.5 1 SC'I.AC42a 2 C'AC 2 3 V4aC'.ABC 1 VV S.d(B,(ACC')) C'.ABC B.ACC'3 ACC' 0.5 3V 32 32 d(B,(ACC '))C'.ABC a . Kết luận d(BB’, AC’) = a (đvd) S2 ACC' 2 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc BAD 600 , (2 đ) SA = SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AD sao cho mp(SMN) vuông góc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện SAMN nhỏ nhất.
6. 0.5 S D C N O H A M B Chứng tỏ M,H,N thẳng hàng theo thứ tự đó 1113 SSS AMAHANAH sin3000 sin30.( xy ) (5) AMN AMH ANH 2243 0.5 13 SAMANxy sin600 (6) AMN 24 Từ (5) và (6) ta có x + y = 3xy (0 xy , 1) (7) 0.5 MN222 AM AN2 AM os60 AN c 022 x y xy ( x y )3 2 xy (3)3 xy 2 xy MN(3 xy )2 3 xy Gọi Stp là diện tích toàn phần của tứ diện SAMN Ta có Stp = SAMN + SSAN + SSAM + SSMN 1111 AMAN. .sin 6000 AN .AS.sin60 AMAS . .sin 60 0 SHMN . 2222 13131316 1 1 3(31)xy y x xy xy 22222223 36 6 xy x y.3 xy (3 xy 1) 3 xy .3 xy (3 xy 1) 46 6 0.5 24 Từ (7) ta có 32xy x y xy xy xy 39 34 2 S 9 34 2 2 MinS khi x y 93 Bài 4 ABC (2 đ) Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos . 222 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
7. 0.5 A B A B C Ta cã : sinA +sin B = 2 sin cos 2 cos 2 2 2 1 C  (sin A + sinB ) cos 2 2 dÊu ( = ) x¶y ra khi vμ chØ khi chØ khi A = B (1) 5 A 0.5 T−¬ng tù : (sin B + sinC ) 5cos (2) 2 2 3 B 0.5 (sin C + sinA ) 3cos (3) 2 2 A B C 0.5 Tõ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C 5cos +3cos +cos 2 2 2 §¼ng thøc x¶y ra khi vμ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu. Bài 5 Trong mặt phẳng có n điểm, trong đó có k điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào (1 đ) thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đó tạo được 36 đường thẳng phân biệt và tạo được 110 tam giác khác nhau. Hãy tìm n, k. 2 2 0.25 + Số đường thẳng phân biệt có được Cn Ck 1 3 3 + Số tam giác phân biệt có được Cn Ck Theo bài ra ta có: 0.25 2 2 Cn Ck 1 36 n(n 1) k(k 1) 70 (n k)(n k 1) 70 (1) 3 3 3 3 3 3 Cn Ck 110 Cn Ck 110 Cn Ck 110 (2) 3 Từ (2) ta có Cn 110 n 10 mà k≥3 suy ra n+k-1≥12 Do đó (1) tương đương với các trường hợp sau 0.25 n k 1 14 n 10 1) thỏa mãn (2) n k 5 k 5 n k 1 35 n 19 2) không thỏa mãn (2) n k 2 k 17 n k 1 70 n 36 3) không thỏa mãn (2) n k 1 k 35 Vậy n=10, k=5. 0.25