Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2019-2020 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 32 Câu 1. Cho hàm số yx 32 x mx có đồ thị là Cm . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để Cm có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng yx 1. cotx 2 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng cot x m 0; . 4 31 Câu 3. Giải phương trình: 8sinx . cosx sin x 2 * Câu 4. Cho dãy số un có số hạng tổng quát unnn ln 2 , n . Tính limSn biết u u u 1112 1n Sn  . ee e Câu 5. Giải phương trình: xxxxxx 43 12 2 125. Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8. Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' = a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB. Gọi I là trung điểm của A'C, điểm S thỏa   mãn IBSI 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AA'B'B. Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AG và cắt các đoạn AB, AC, AD tại các điểm khác A. Gọi hA , hB , hC , hD lần lượt là khoảng cách từ hhh222 các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (P). Chứng minh rằng: BCD h2 . 3 A Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là chân đường phân giác trong góc A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Đường tròn ():(Cx 2)(22 y 1)9 ngoại tiếp tam giác DMN. Gọi H là giao điểm của BN và CM, đường thẳng AH có phương trình 3100.xy Tìm tọa độ điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên. 1 Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và ab33 ba ab 2. Tìm giá trị ab 113 lớn nhất của biểu thức P . 1112 ab22 c HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề 32 Câu 1. Cho hàm số yx 32 x mx có đồ thị là Cm . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để Cm có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng yx 1. cotx 2 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên cotx m khoảng 0; . 4 31 Câu 3. Giải phương trình: 8sinx . cosx sinx 2 Câu 4. Cho dãy số un có số hạng tổng quát unnnn ln 2 , * . Tính limSn , biết uu u 1112 1n Sn . ee e Câu 5. Giải phương trình: xxxxxx 43 12 2 125 . Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lẫy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8. Câu 7. Cho hình lăng trụ ABCABC. có đáy là tam giác đều cạnh aAAa, . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh AB. Gọi I là trung điểm   của A C, điểm S thỏa mãn IB 2. SI Tính theo a thể tích khối chóp S AABB Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng P đi qua trung điểm I của AG và cắt các đoạn ABACAD,, tại các điểm khác A. Gọi hhhhA,,,BCD lần lượt 222 hhhBCD 2 là khoảng cách từ các điểm A,,,BCD đến mặt phẳng P . Chứng minh rằng: h 3 A Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là chân đường phân giác trong góc A. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên ABAC, . Đường tròn Cx:( 2)22 ( y 1) 9 ngoại tiếp tam giác DMN . Gọi H là giao điểm của BN và CM , đường thẳng AH có phương trình 3100x y . Tìm tọa độ điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên. 1 Câu 10. Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và ab33 ba ab 2. Tìm giá ab 113 trị lớn nhất của biểu thức P . 1112 ab22 c Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . .; Số báo danh: .
3. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh làm theo cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong hướng dẫn chấm để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó sẽ không được điểm. - Trong lời giải câu 7, 8 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung 32 Cho hàm số yx 32 x mx có đồ thị là Cm . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để Cm có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng yx 1. Ta có: y '3 xxm2 6 . Hàm số có cực trị y '0 có 2 nghiệm phân biệt 36xxm2 0 có 2 nghiệm phân biệt x12; x '93 mm 0 3 (*) 11 2mm Thực hiện phép chia y cho y ' ta được: yxy '22 x 33 3 3 22mm m m Ta có: yyx11 22;xx 1 yy22 x 22 2 33 33 2mm 1 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :22yx 33 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng yx 1 khi và chỉ khi TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng yx 1 29m 21 m (loại) 32 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng yx 1 yy12 xx1 2 2 m m yIIxx11 2222 xx12 x 12 2 23 3 2mm 2.222 2 2 m 0 (thỏa mãn (*)) 33 Vậy giá trị của m cần tìm là: m 0. cotx 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên khoảng 0; . cotx m 4 1 2 m 2 Ta có y sin x cot xm2 2 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; hàm số đó xác định và yx  0, 0; 4 4 m 1; . m 20
4. m 1. Vậy m 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; . 4 31 Giải phương trình: 8sinx cosx sinx sinx 0 Điều kiện: sin 2xxkk 0 (*) cosx 0 2 Với điều kiện (*) , phương trình đã cho 8sin2 x cosxxx 3sin cos 4 4cos2x cosxxxxxxxx 3sin cos 4cos 4cos2 cos 3sin cos 3cosxx 2cos 2cos3 x 3sin xx cos 3sin x 2cos3 x 3 13 cosx sinxx cos3 cos x cos3 x 22 3 32xx k xk 3 6 (thỏa mãn (*) ) 32xx k x k 3 12 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: xkxkk ; . 6122 2 Cho dãy số un có số hạng tổng quát unnnn ln 2 , * . Tính limSn , biết uu u 1112 1n Sn . ee e u 11n 1111 Ta có ln nn2 2 ennnne 22 2 11111111 Suy ra Sn 1 232435 nn 2 4 11111311 1 22 nn 1 2221 nn 2 13113 Vậy, limSn lim . 221 nn 24 Giải phương trình: xxxxxx 43 12 2 125 x 40 5 Điều kiện: 30 xx 3(*) 2 250x Đặt tx 43 xt 0 22 5 txx7212 t 2 7 Phương trình đã cho trở thành txxttxx 1252 225225(1) 2 Xét hàm số f uu 2 2 u với u 0 Ta có: fu  220,0 u u Hàm số đồng biến trên 0; Khi đó: 125 tx hay xxx 43 25
5. 7212 x xx2 2 5 12xx2 x 1 x 1 189 x (thỏa mãn (*) ) 12 xx22 x 2 x 1 4 189 Vậy nghiệm của phương trình là: x . 4 Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lẫy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8. 3 Có C50 cách lấy ra 3 quả cầu từ 50 quả cầu đã cho Chia 50 quả cầu trong hộp thành 4 nhóm: Nhóm 1: gồm 25 quả cầu mang số lẻ Nhóm 2: gồm 13 quả cầu mang số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 Nhóm 3: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8 Nhóm 4: gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 8. Để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số không chia hết cho 8 thì có 4 trường hợp 6 sau xảy ra: 12 TH1) 1 quả thuộc nhóm 1 và 2 quả thuộc nhóm 2: có C.C25 13 cách lấy 21 TH2) 2 quả thuộc nhóm 1 và 1 quả thuộc nhóm 2: có C.C25 13 cách lấy 21 TH3) 2 quả thuộc nhóm 1 và 1 quả thuộc nhóm 3: có C.C25 6 cách lấy 3 TH4) 3 quả thuộc nhóm 1: có C25 cách lấy C.C12+++ C.C 21 C.C 21 C 3 193 Vậy xác suất cần tính là: P =-1 25 13 25 13 25 6 25 = 3 392 C50 Cho hình lăng trụ ABC. A B C có đáy là tam giác đều cạnh aAAa, . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh AB. Gọi I là trung điểm   của A C, điểm S thỏa mãn IBSI 2. Tính theo a thể tích khối chóp SAABB B' C' A' S I C B H A Gọi H là trung điểm của AB  A H ABC  CH AA B B 7 aaaa3113323 Ta có: CH V CH S 233224CAABB. AABA
6.   33 Do IB 2, SI d S AABB d I , AABB d C , AABB 24 33a3 Suy ra VV . S AABB 416 C AABB Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng P đi qua trung điểm I của AG và cắt các đoạn ABACAD,, tại các điểm khác A. Gọi hhhhABCD,,, lần lượt là khoảng cách từ các điểm A,,,BCD đến mặt phẳng P . Chứng minh rằng: 222 hhhBCD 2 h . 3 A Gọi B ,,CD là giao điểm của P với ABACAD,, A Ta có: VVVVABCD ACDI ABCI ABDI ; D' 1 B' SSS S I GBC GCD GBD3 BCD VVABACAI 3 1 ABAC ABCI ABCI . C' V AB AC AG V2 AB AC 8 ABCG ABCD B D 33VV11ABAD ACAD ABDI .; ACDI . G VABADVACADABCD 22 ABCD C 3VABCD. 1. ABAC ACAD . ABAD . Suy ra: VABACACADABAD2. . . ABCD. 3.AB AC AD 1 AB . AC AC . AD AB . AD DD BB CC 3 AB AC AD 2 AB . AC AC . AD AB . AD AD AB AC BB hhBD CChC DD Mặt khác ta có: ,, hhhD CB 3 h A AB hAA AC h AD h A 222 2 222hhhBCD 2 Hơn nữa: hhhD CB 3 hhh DCB h A (đpcm) 3 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D là chân đường phân giác trong góc A . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên ABAC, . Đường tròn Cx:( 2)22 ( y 1) 9 ngoại tiếp tam giác DMN . Gọi H là giao điểm của BN và CM , đường thẳng AH có phương trình 3100xy . Tìm tọa độ điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên. Vì AMDN là hình vuông nên A C . A Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: N yx 310 9 I 3100xy x 2 M (2)(1)9xy 22 19 H x E F C 5 B D x 2 A 2; 4 y 4 Đường tròn C có tâm I(2;1) , AMDN là hình vuông nên I là trung điểm AD D(2;2). Gọi E là giao điểm của BN và DMF; là giao điểm của DN và CM .
7. Ta có AMDN là hình vuông nên MF AN MD ME ME EFCDEFBC// // MC AC AC AN MD NF NF ND AN ANF và DBAN đồng dạng AN AM AB AB ABN NAF BN AF Tương tự CM AE H là trực tâm D ^ ^AEF AH EF AH BC . Đường thẳng BC vuông góc AH, qua D nên có phương trình xy 380. Đường thẳng MN vuông góc AD, qua I nên có phương trình :10y Tọa độ của M , N là nghiệm của hệ phương trình: x 1 y 10 22 x 5 (2)(1)9xy y 1 Vì M có hoành độ dương nên M (1;1) . Đường thẳng AB qua A, M nên có phương trình :20xy Do B AB BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: xy 20 x 7 B(7; 5) xy 380 y 5 Vậy B(7; 5) . 1 Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 1 và ab33 ba ab 2. ab 113 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . 1112 ab22 c 1 Theo BĐT Cô–si ta có: a3 b ab 3222 a 22 b ab a 22 b ab 11 Đặt tabt 0 tt22 232 2 ttt 210 t 1. t 2 11 2 Với ab,0;1 ab ta chứng minh (*) 111 abab22 11 11 Thật vậy: (*) ( ) ( ) 0 11 aabbab22 11 10 ab() a ba () b 2 0(ab )(1)0 ab (đúng) (1)(1)(1)(1) aabbab22 2323t P . 2 112 ab1 t t ab 12326t Xét tftft ;1 ; ; ' 0 22 212 tt 12 tt 1111 Từ đó f t nghịch biến trên ;1 Mftf ax 1 2215 ;1 2 111 Dấu "" xảy ra khi tabc ;;2 . 2 22 Hết