Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Thái Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Thái Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm . Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 . Thể tích khối chóp S. ABC bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 48 24 36 72 Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x3 2m 1 x2 2m2 2m 4 x 2m2 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 3. Cho hàm số y x3 3mx 1 1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 . Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I 1;0 bán kính R 3 tại hai điểm phân biệt AB, . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2 Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện f 2 x f 82 x 3 x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x 4 . A. y 3x 15. B. y 3x 15. C. y 3x 9 . D. y 3x 9 . Câu 5. Cho cấp số cộng un có u3 u13 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng A. 600 . B. 630 . C. 800. D. 570. Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất 0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . 22 cc Câu 7. Cho các số thực a,, b c thoả mãn c b a 1và 6logab logbc log a 2log b 1 . Đặt bb T logbc 2log a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. T 2;5 . B. T 3; 1 . C. T 5;10 . D. T 1;2 . Câu 8. Cho hàm số y x3 3mx2 4m 2 2 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 có hai điểm cực trị A. 1 m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 0 . Câu 9. Cho phương trình 8x m.22x 1 2m2 1.2 x m m3 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là a; b . Tính a. b bằng? 2 3 4 3 A. a. b . B. a. b . C. a. b . D. a. b . 3 2 3 4 Trang 1
2. Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3 3x m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương? A. 1 m 1 . B. 2 m 1. C. 0 m 1. D. 1 m 1. Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 11250 90000 3402 2 10 1 2 3n Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển fx x x 1 x 2 thành đa thức, 4 3n 2 với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An Cn 14n . 910 510 610 510 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . Câu 13. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. a3 2 3 a3 2 A. V a3 . B. V . C. V 3 a3 . D. V . 4 4 3x 2 Câu 14. Cho hàm số y . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 3 trên đoạn  2;1 . Khi đó M m là 1 15 15 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y có đồ thị C . Gọi M a; b là điểm trên C có khoảng cách đến đường x 2 thẳng dy: 3 x 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a b 2. B. a b 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABC.''' A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng BCC'' B vuông góc với mặt đáy và B ' BC 30 . Thể tích khối chóp A. CC' B là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? R A. h R 2 . B. h . C. h 2R . D. h R . 2 Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm SABE,,, có bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 1 Câu 19. Cho hàm số fx x 3 ax2 bx c a,, b c thỏa mãn điều kiện f 0 f 1 f 2 . 6 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số gx f f x2 2 nghịch biến trên khoảng 0;1 là A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . Trang 2
3. Câu 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC a . Biết SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi EF, lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chóp S. AEF bằng a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 22 Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2x x 22 x x 3 là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 32 Câu 22. Cho hàm số y fx() ax bx cx d (,,, a b c d ) có bảng biến thiên như sau: Phương trình fx() m ( m ) có bốn nghiệm phân biệt x1,,, x2 x3 x4 thỏa mãn điều kiện 1 x x x x khi: 1232 4 1 1 A. m 1. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D. m 1. 2 2 Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m, m  50;50 sao cho bất phương trình 4 mx 2x m 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y gx() x 4 4x2 m trên đoạn  2;1 bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . A. 4 . B. 5. C. 2020 . D. 0 . Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A, B và AB 4 . x 1 A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. 2 4x 3x2 3 Câu 26. Tập xác định của hàm số y 2 là: 2x 3x 1 4 1 4 A. D 1; . B. D 1;  0; . 3 2 3 1 4 14 C. D 1;  0; . D. D \ 1; ;0; . 2 3 23 Câu 27. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d có bao nhiêu giá trị dương? y O x Trang 3
4. Chọn B 4x 3x2 Hàm số xác định khi và chỉ khi 0 . 2x2 3x 1 Bảng xét dấu 1 4 Vậy tập xác định là D 1;  0; . 2 3 Câu 27. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d có bao nhiêu giá trị dương? y O x A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn C Theo hình dạng đồ thị ta suy ra a 0 . Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên a và c trái dấu, suy ra c 0 . Đồ thị hàm số có giao điểm với trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0 . Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của phương trình b y 0 6ax 2b 0 x . 3a bb Từ đồ thị ta thấy tâm đồ thị hàm số là số dương nên 0 0 , suy ra a, b trái dấu, 3aa do đó ta có b 0. Vậy a 0 , b 0, c 0 , d 0 . Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc phễu hình nón đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt mặt nón, tâm của viên gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong phễu (làm tròn đến hai chữ số thập phân) Trang 19
5. A. V 22,10 . B. V 22,27 . C. V 20,64 . D. V 22,30 . Lời giải Chọn B Đặt các đỉnh như hình vẽ dưới đây N B A M B' A' C D C' D' Xét mặt phẳng qua trục của khối nón chứa cạnh AB, ta có hình phẳng D' C' H E F K M N A O B Với HK là đường kính đường tròn ngoại tiếp A B CD Ta có BC 2 2 và A C 2 3 Trang 20
6. Khi đó D ED A 223 12 tanD A E . 2. cot D A E A E2 A C EF 23 223 1 24 MA 2EA.tan D AE 2EA.cot DAE 2 2. 2 3 13 1 Suy ra AB 3 15 3 h MA AO.tanD MA MA . 2 22 Như vậy thể tích cần tìm là 2 2 131 4 5 3 3 . MA 1h AB 1. 2 22,27 33 3 1 2 Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD. A B C D có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích khối chóp A .BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 . Lời giải Chọn B D' C' A' B' D C O A B Ta có 1 1 11 . V dA ,ABCD. S .dA ,ABCD. S V 1 A.BCO3 BCO3 4 ABCD12 A BCD. AB'CD Câu 30. Cho hai số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a 4 b 0 . Tính tổng S a 2b khi biểu thức 2 3 a 3 P log log a đạt giá trị nhỏ nhất a 3a 4b 16 4 b A. S 10 . B. S 11. C. S 12. D. S 8 . Lời giải Chọn D 3a 4 0 4 3a 4 b 0 4 b a a 1 a 3 3 2 2 a3 3 a3 3 3a Ta có P loga log3aa loga loga 4b 16 4b 16 b 4 4 b 2 3 a 3 3a log log a a 4b 16 b 2 2 Trang 21
7. Cauchy 3 33 aa Lại có b 2 2 34b 3 a b 4 34b 1 1 nên 3 4b 4b 2 2 33 a 3 1 a 3 3 P loga loga 3 4b 16 4b 16 a a loga loga 3 4b 4b 2 2 33 Cauchy 3 1 a 1 a 333 a 99 P loga log a 3 3.loga . 2 3 2 4b 2 4b 16a 3 64 4b 4 a loga log 4b a 4b 9 Do đó min P , 4 a a 4 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi b 2 2 b 2 Vậy S a 2b 4 2.2 8 . 2 Câu 31. Hàm số y log0,5 x 2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; . B. 0;1 . C. ;1 . D. 1;2 . Lời giải Chọn D Tập xác định D 0;2 . 2x 2 Ta có y . x2 2x ln 0,5 2x 2 Với x 0;2 ta có y 0 0 2x 20 x 1. x2 2x ln 0,5 Kết hợp với điều kiện, y 0 x 1;2 . 2 Vậy hàm số y log0,5 x 2x đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 32. Cho hình chóp S. ABC có AB 5a,BC 6a, CA 7a . Các mặt bên SAB , SBC và SCA 0 cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S. ABC . 8a3 3 a3 3 A. 8a3 3 . B. 4a3 3 . C. . D. . 3 2 Lời giải Chọn A Trang 22
8. Gọi O là chân đường vuông góc từ S xuống mặt phẳng ABC SO ABC . Các mặt bên SAB, SBC và SCA cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . O là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Gọi HKI,, lần lượt là hình chiếu của O lên các cạnh AB, BC, CA . SHO 60. 5a 6a 7a Ta có p 9a ; S 9a 9a 5a 9a 6a 9a 7a 6 6a2 (đvdt) 2 ABC S 2 6 Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp r OH ABC a . p 3 2a 6 Xét SHO vuông tại O , SO OH.tan 60 .3 2a 2 . 3 11 V S.SO .66 a2 .2a2 8a3 3 (Đvtt). SABC. 3 ABC 3 Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 2 m 1 x2 m 2020 đồng biến trên khoảng 3; 1 . A. m 10 . B. m 10 . C. m 10 . D. m 10 . Lời giải Chọn D Ta có y 4x3 4 m 1 x . Hàm số y x4 2 m 1 x2 m 2020 đồng biến trên khoảng 3; 1 y 0,x 3; 1 4x3 4 m 1 x 0,x 3; 1 m 1 xx 3 ,x 3; 1 m 1 x2,x 3; 1 m 1max x2 m 19 m 10 .  3; 1 Câu 34. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn ? A. 219 B. 219 1 C. 220 1 D. 220 Lời giải Chọn B Số tập con khác rỗng của tập A có 20 phần tử mà số phần tử chẵn là 24618 20 024618 20 nC 20 C 20 C20 C 20 C 20 hay ta có n 1 C20 C20 C 20 C 20 C 20 C20 . 20 01221818 1919 2020 Xét khai triển 1 x C20 CxCx 20 20 Cx 20 Cx20 C 20 x . 20 0121819 20 Cho x 1trong khai triển trên, ta được: 2 C20 C20 C 20 C20 C20 C 20 1 01231819 20 Cho x 1trong khai triển trên, ta được: 0 C20 C 20 C20 C20 C 20 C 20 C20 2 Trang 23
9. Cộng vế với vế của các đẳng thức (1) và (2) ta được: 20 02461820 2 2 C20 C20 C20 C20 C20 C 20 220 2 n 1 n 219 1 Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC. A B C có AB AC 2 a và BC 2 a 3 . Tam giác A BC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của BC , ta có AH  ABC và AH  BC , mặt khác tam giác ABC cân tại A nên AH BC . Vậy nên BC A AH AA  BC . Gọi I là hình chiếu của H lên AA thì IH là đoạn vuông góc chung của AA và BC , do đó d AA , BC HI . 1 Trong tam giác vuông cân A BC : AH BC a 3 2 Trong tam giác vuông ABH : AH AB 2 BH2 4 a2 3a2 a AHAH. aa .3 a 3 Xét tam giác vuông A AH có IH AH2 AH 2a2 3a2 2 a 3 Vậy dAABC , HI 2 Câu 36. Cho ba số dương a,, b c khác 1. Đồ thị các hàm số y logaxy, logbxy , logc x như hình vẽ dưới đây. Tìm khẳng định đúng: A. c b a . B. c a b . C. a c b . D. b a c . Trang 24
10. Lời giải Chọn B Vẽ đường thẳng y 1 lần lượt cắt đồ thị các hàm số y logxy , log xy, log x tại các điểm abc có hoành độ lần lượt là a,, b c , ta thấy 0 c 1 a b 1 x Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng ba đường x2 4x m tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10. D. 8. Lời giải Chọn A x 1 . Điều kiện: 2 x 4x m 0 Ta có limy 0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y 0 . x Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì phương trình x2 4x m 0 phải có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 1. Xét phương trình x2 4xm 0 x 2 4x m Hàm số yx 2 4 x có bảng biến thiên: Từ BBT ta có điều kiện của m là 4 m 5 5 m 4,m m 5; 4; ;3. Vậy có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn. Câu 38. Hàm số y x4 4x3 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C. ;4 . D. ;3 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D . Ta có: y 4x3 12x2 4 xx2 3; y 0, x ;3 . Nên hàm số đồng biến trên khoảng ;3 . Câu 39. Cho hình chóp S. ABC có SA SB SC AB AC a; BC a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Trang 25
11. Chọn C Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm BC, AC và SA. Vì SA SB SC AB AC aBC; a 2 nên SM ABC Ta có MN//AB , NP// SC AB , SC MN , NP . a Tam giác MNP có MN NP MP MNP đều MNNP, MNP 60 . 2 Vậy AB, SC 60 . Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 6 . Góc giữa mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AA B C C. a3 3 a3 3 3a3 3 A. a3 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm BC ; trong BB C kẻ HK BC . Dễ dàng chứng minh được AK BC . Như vậy góc giữa mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B là góc AKH 60 BC a6a 2 Ta có AH KH AH .cot 60 222 3a2a2 Ta có CK CH 2 KH2 a 22 Trang 26
12. a 2 .a 6 CK KHKH . CB BB 2 a 3 CBBB CK a 12 32 3 Vậy V S.BB a 6.a3 a33 V .a33 a3 3 ABC. A B C ABC 4 2 AA''' B C C 3 2 22 9x 4y 5 Câu 41. Cho hệ phương trình (tham số m ) có nghiệm x; y thỏa logm 3 x 2y log3 3x 2y 1 mãn 3x 2y 5. Khi đó giá trị lớn nhất của m là: A. log5 3. B. log3 5 . C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn C a 3x 2y Đặt b 3x 2y a. b 5 Ta có hệ pt logm a log3 b 1, 2 5 Thay b vào pt 2 , ta được pt a 515 loga log 1 loga log m3am 3 a 15 15 logm 3.log3a log 3 logm 3 loga aa logm 3 loga 15 1 1 1 loga 15 1 log3 m m 3 loga 15 1 Vậy m lớn nhất khi và chỉ khi a lớn nhất, Suy ra a 5 thì m lớn nhất bằng 5. a3 Câu 42. Cho khối chóp S. ABC có thể tích là . Tam giác SAB có diện tích là 2a2 . Tính khoảng cách 3 từ C đến mặt phẳng SAB . a 2a A. d . B. d 2a . C. a . D. d . 2 3 Lời giải Chọn A a3 3. 3VS. ABC 3 a Ta có d C, SAB 2 . S SAB 2a 2 Câu 43. Cho hàm số fx 2 x4 8x3 16x2 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a b c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13. Lời giải Chọn C Xét hàm số gx 2x 4 8x3 16x2 1 m Trang 27
13. Ta có: gx' 8 x3 24x2 32 x . x 0 gx' 0 x 1. Bảng biến thiên của hàm số y g x : x 4 Trường hợp 1: 1 m 0 m 1 fx g x có 5 cực trị. Trường hợp 2: 5 m 01 m 5 m 1 fx g x có 7 cực trị. Trường hợp 3: 255 m 0 5 m 255 m 5 fx g x có 5 cực trị. Trường hợp 4: 0 255 m m 255 fx g x có 3 cực trị. Vậy a b c 15. Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1,, r2 r3 của ba bình I, II, III. 1 A. r,, r r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 123 2 B. r1,, r2 r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . 1 C. r1,, r2 r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 2 D. r1,, r2 r3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội 2 . Lời giải Chọn C Gọi VVV1,,23 lần lượt là lượng nước; h1,, h2 h3 lần lượt là độ cao mực nước trong các bình I, II, III. 222 Ta có: V1 rhV11,2 rh 22, V3 r3 h3 2222 V1 V2 rh11 rh 22 rh11 r 2 h2 Theo giả thiết: V1 V2 V3 22 22 * V2 V3 rh22 rh33 rh 22 r 3 h3 2222 rh11 rh 221 r 1 2r2 r1 2r2 Mặt khác: h3 2h2 4h1 nên * rh2 rh22 r2 2r 2 2232 23 r2 2r3 1 Do đó r,, r r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân công bội . 123 2 Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình 22 logm 2x x 3 logm 3x x . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x 1. 1 A. S  1;0  ;3 . B. S  1;3 . 3 Trang 28
14. 1 C. S 1;0  ;3 . D. S 1;0  1;3. 3 Lời giải Chọn A Trường hợp 1: m 1 22 logm 2 x x 3 logm 3 x x 2x2 x 3 0 x2 2x30x ;1 3; 22  2x x 3 3x x Trường hợp 2: 0 m 1 22 logm2 x x 3 logm 3x x 3x2 x 0 3x2 x 0 1 x 1;0 ;3 22 2  2x x 33 x x x 2 x 3 0 3 1 Vì x 1 là một nghiệm của bất phương trình nên S  1;0  ;3 . 3 Câu 46. Cho mặt cầu S tâm O . Các điểm ABC,, nằm trên mặt cầu S sao cho AB 3,AC 4, BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 Lời giải Chọn B Ta có BC2 AB2 AC 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Mặt phẳng ABC cắt mặt cầu S BC 5 theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính r . Mà khoảng cách từ O 22 29 đến mặt phẳng ABC là d 1 nên mặt cầu S có bán kính R d2 r 2 . 2 3 44 29 29 29 Vậy thể tích của khối cầu là 3 . V R 33 2 6 1 Câu 47. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC AD a 2 . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S. ACD bằng Trang 29
15. a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của AB . Do SAB là tam giác đều cạnh bằng a nên SH AB và a 3 SH . Mà SAB  ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD . 2 Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên diện tích tam giác ACD được tính theo công 1 thức S ADAB. aa. a2 . ACD 2 11a3a3 3 Vậy thể tích khối chóp S. ACD là V S.SH a2. . S. ACD3 ACD 326 x 2 1 Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là 2x 3 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn C 3 Tập xác định: \ . 2 x 2 1 x 31 1 +) lim lim nên đường thẳng y là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm x 2x 3x 2x 32 2 số. x 2 1 x 11 1 +) lim lim nên đường thẳng y là một tiệm cận ngang của đồ thị x 2x 3x 2x 32 2 hàm số. x 2 1 3 +) lim nên đường thẳng x là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 3 2x 3 2 x 2 Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận. Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB aAC, a 5,DAB CBD 900 , ABC 1350 . Biết góc giữa hai mặt phẳng ABD và BCD bằng 300 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 3 6 Lời giải Trang 30
16. Chọn D Ta có AC2 AB 2 BC 2 2 AB. BCcos1350 5 a 2 a2 BC2 2. a BC BC a 2 . Gọi HIK,, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BCD , BD và BC . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ABD và BCD bằng AIH 300 và BIHK là hình chữ nhật. a Do ABC 1350 ABK 450 nên AKB vuông cân tại K . Do AB a AK BK nên 2 aa1 a HI AH HI tan 300 . . 2236 a25a2 Trong tam giác vuông AHB ta có HB2 AB 2 AH2 a 2 . Khi đó 66 5a2a2 a 3 BI BH2 HI 2 . 623 AB2 a2 Trong tam giác vuông ABD ta có AB2 BI. BD BD a 3 . BI a 3 3 11 aa3 Vậy V AH. BC. BD a 2.a 3 . ABCD 666 6 Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9x 2 x 53 x 92 x 1 0 là S ab;c ; . Khi đó a b c bằng: A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có 9x 2 x 53 x 92 x 1 0 3x 2x 13 x 9 0 3x 2x 1 3x 2x 1 x 3 9 x 2 (*) x x 3 2x 1 3 2x 1 x 3 9 x 2 Xét phương trình 3x 2x 1 3x 2x 1 0 Xét hàm số fx 3x 2 x 1 fx 3x ln 3 2,f x 3 x ln2 3 0 Vậy f x 0 có nhiều nhất một nghiệm. Vậy f x 0 có nhiều hất hai nghiệm. Hay 3x 2x 1 0 có nhiều hất hai nghiệm Trang 31
17. Nhận xét: 3x 2x 1 0 có hai nghiệm x 0;x 1 x 1 x 0 x 2 Khi đó (*) x 2 . Vậy S 0;1 2; . 0 x 1 0 x 1 x 2 Khi đó a 0;b 1; c 2 a b c 3 . ___ HẾT ___ Trang 32