Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Bình Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Bình Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Giải phương trình sau trên tập số thực: x 4 x 21 2 2x 4 x 2 . 4 x x 5 x 1 Lời giải 2 x 4 2 x 4 Điều kiện: 2 x 4 . 4 x x 5 0 4 x 4 x 1 0 Ta có x 4 x 21 2 2x 4 x 2 4 x x 5 x 1 x 1 x 4 x 21 4 xx 522 x 2 x 2 x2 9x 16 x 22 x 2 4 x x 2 24 x 3x 11 0.(1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được x2 9x 16 x 22 x 2 4 x x 2 24 x 3 x 11 x2 9x 16 x 1 2 x 2 5 x 3x 11 2 1 1 2 x3 10x2 33 x 36 x 4 x 3 0,x  2;4 . 2 2 Như vậy vế trái của (1) nhỏ hơn hoặc bằng 0. Do đó phương trình có nghiệm khi x 4 x 3 x 2 1 x 3 . 4 x x 2 4 x 1 Thử lại ta kết luận phương trình có nghiệm duy nhất: x 3 . Câu 2. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho các số nguyên tố thỏa mãn p1 p2 p3 p4 và p4 p1 8 . Giả sử p1 5 . Chứng minh rằng p1 chia 30 dư 11. Lời giải Từ giả thiết thì p2, p3 chỉ có thể nhận hai trong ba giá trị lần lượt là p1 2;p1 4; p1 6 . p2 p1 2 Trường hợp 1: thì trong ba số p1,, p2 p3 có một số chia hết cho 3. p3 p1 4 Điều này là vô lí. p2 p1 4 Trường hợp 2: thì trong ba số p2,, p3 p4 có một số chia hết cho 3. p3 p1 6 Điều này là vô lí. p1  2 mod 3 Do đó p2 p1 2,p3 p1 6, p4 p1 8 . Từ đó suy ra: . p 1 mod 5 1 Kết hợp với p1 lẻ ta suy ra p1  11 mod 30 tức ta có điều cần phải chứng minh.
2. 1 3 5 (2n 1) Câu 3. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho dãy số u  với u . . . Tính limu . n n 2 4 6 (2n 2) n Lời giải Ta có 2 1.3 4 3.5 6 5.7 2n 2 (2 n 1) 2 n 3 . Do đó 2.4.6 (2n 2) 12 .3 2 .5 2 (2n 1)2 .(2 n 3) 1.3.5 (2n 1) 2 n 3 . Suy ra 1 3 5 (2n 1) 1 0 u . . . n 2 4 6 (2n 2) 2n 3 1 Áp dụng nguyên lý kẹp, vì lim 0 nên limu 0 . 2n 3 n Câu 4. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Một hàng cây bưởi Tân Uyên gồm 17 cây thẳng hàng được đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ 1 đến 17. Ban đầu mỗi cây có một con ong đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau một số giờ, có hay không trường hợp mà: a) Không có con ong ở cây có thứ tự chẵn. b) Có 9 con ong ở cây cuối cùng. Lời giải a) Không có con ong ở cây có thứ tự chẵn. Có thể xảy ra trường hợp này. Chẳng hạn, sau giờ thứ nhất con ong ở cây thứ 2 chuyển sang cây thứ 3, con ong thứ 4 chuyển sang cây thứ 3, Sau giờ thứ 4, con ong ở cây 14 chuyển sang cây 15, con ong ở cây 16 chuyển sang cây thứ 15. Lúc này sẽ không còn con ong nào ở cây có thứ tự chẵn. b) Có 9 con ong ở cây cuối cùng. Đánh số các con ong bằng vị trí của cây bưởi mà nó đang đậu. Gọi S là tổng của tất cả các con 17 ong. Ban đầu ta có S  i 153. i 1 Khi một con ong bay sang cây bên cạnh, nếu nó bay về hướng cây số 1, trị số gán của con ong đó cũng giảm đi 1; ngược lại, nếu nó bay về hướng cây số 17, trị số gán của con ong đó sẽ tăng thêm 1. Do sau mỗi giờ có hai con ong bay sang cây bên cạnh và ngược hướng nhau nên S const . Vậy nếu có 9 con ong ở cây cuối cùng thì S 153(điều này là vô lí). Cho nên ta kết luận là không thể xảy ra trường hợp này. Câu 5. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho a, b , c  1;1 thỏa mãn 1 2abc a2 b 2 c 2 . Chứng minh rằng 1 2a3 b 3 c 3 a 6 b 6 c 6 . Lời giải Đầu tiên ta có: 1 2abc a2 b 2 c 2 1 a2 1 b 2 ( ab c )2 . (*) 2 Ta lại có: 1 2abcabc3 3 3 6 6 6 1 a6 1 b 6 abc 3 3 3 2 1 a6 1 b 6 ( ab c )2 a 2 b 2 abc c2 . Trang 2/5 – Diễn đàn giáo viên Toán
3. Bất đẳng thức vừa phân tích luôn đúng vì 0 a2 b 2 abc c2 a 2 b 2 | ab | 1 a4 a 21 b 4 b 2 1 . Kết hợp với (*) ta có 2 ()ab c2 a 2 b 2 abc c2 1 a2 1 b 2 a 4 a 21 b 4 b 2 1 1 a6 1 b 6 . 2 Suy ra: 1 a6 1 b 6 ( ab c )2 a 2 b 2 abc c2 là bất đẳng thức đúng. Do vậy bất đẳng thức ban đầu đúng, ta có điều phải chứng minh. Câu 6. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . Đường thẳng qua C 2 4SBCD BD cắt các tia đối của tia BA, DA lần lượt tại M và N . Chứng minh rằng . SAMN AC Lời giải Đầu tiên ta có hình vẽ như sau Qua C kẻ CF AB với F AD . 2 FAC DBC SBCD BD Ta có: AFC BCD g g . (1) S AC ACF BAC BDC AFC 1 S AM. AN .sin BAD AMN 2 S AM. AN Lại có: AMN . (2) 1 S AF. AC S AF. AC .sin BAD AFC AFC 2 2 SBCD BD AF. AC Từ (1) và (2) suy ra . . (3) SAMN AC AM. AN 2 4SBCD BD Tiếp theo ta có: , kết hợp với (3) ta có: AM. AN 4 AF . AC SAMN AC AM AN .AN 4 AF . AN 4 AF FC FN AN2 4 AF . FN AF FN 2 4 AF . FN . Bất đẳng thức AF FN 2 4 AF . FN đúng theo bất đẳng thức AM - GM nên ta suy ra điều phải chứng minh .
4. Câu 7. [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi MNP,, lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC,, CA AB sao cho AN AP BP BM CM CN . Gọi XYZ,, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ANP,,. BPM CMN Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ . Lời giải Đầu tiên ta có hình vẽ như sau: Ta gọi DEF,, lần lượt là hình chiếu của I lên BC,, CA AB . Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ID IE IF và AE AFBF;;. BDCD CE Ta có: AN AP BP BM CM CN AE EN AF PF BF FP BD MD CD DM CE EN AF EN AF PF BD FP BD MD CE DM CE EN EN PF PF MD MD EN. Suy ra EN PF MD mà ID IE IF nên IEN IFP IDM IM IN IP tức I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP . Tiếp theo, ta gọi ABC1,, 1 1 lần lượt là các điểm đối xứng với MNP,, qua DEF,, Khi đó ta suy ra AC1 AN, AB1 AP . Chứng minh tương tự hai phần còn lại và cứ thế ta suy ra IC1 B IMB IC1 IM . Tương tự ta cũng có: IN IC1 IM IN IC1 . Chứng minh tương tự ta cũng có: IN IP IA1 ; IM IP IB1 mà IM IN IP nên suy ra 6 điểm MNPABC,,,,,1 1 1 đồng viên. Gọi H là hình chiếu của I lên MN . Ta có: EH A1 N  B 1 M  DH và EHD,, thẳng hàng (theo tiên đề Euclid). Suy ra EHD,, tạo thành điểm Simpson của MCN I MCN . Chứng minh tương tự ta hoàn toàn có ngay: I ANP , I MBP . Suy ra lần lượt bộ ba điểm IXAIYBIZC,,,,,,,, thẳng hàng . Tiếp theo ta xét bổ đề sau:
5. Cho tam giác có lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Gọi là điểm chính giữa của cung không chứa , khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác . Chứng minh bổ đề: Ta có: (tính chất góc ngoài) mà và (tính chất phân giác) nên ta suy ra mà nên ta cũng suy ra . Mặt khác nên ta suy ra tức tam giác cân tại , suy ra (1) Mà là điểm chính giữa của cung không chứa nên (2) Nên từ (1) và (2) ta suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác IM IN IZ Áp dụng bổ đề vừa nêu trên, suy ra IN IP IX mà IM IN IP nên từ đó ta suy ra IP IM IY IX IY IZ tức I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ . HẾT