Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1. (4 điểm) 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 59 .14 3 b) Tính tổng: S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2015. Câu 2. (4 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0 c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức: B 1 1 1 . a c b b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3: (4 điểm) 5z 6y 6x 4z 4 y 5x a) Tìm x, y, z biết: và 3x – 2y + 5z = 96. 4 5 6 b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q. a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE AD . 2 Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xyx 1 yzy 1 xzz 1 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:
2. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HUYỆN SƠN DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Điểm a 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 2đ 26 4 5 3 9 3 Câu 1 2 .3 8 .3 125.7 5 .14 (4 điểm) 10 212 .3 5 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 .7 4 212 .3 6 2 12 .3 5 5 9 .7 3 5 9 .2 3 .7 3 0,5 212 .3 4 . 3 1 5 10 .7 3 . 1 7 12 5 9 3 3 0,5 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 10 3 212 .3 4 .25 .7 . 6 1 10 7 1 212 .3 5 .4 5 9 .7 3 .9 6 3 2 b S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2015. 0.5 2đ -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2016] 0.5 1 2 2016 0 1 2015 -3S – S = [(-3) + (-3) + +(-3) ]-(3) -(-3) - -(-3) . 0.5 -4S = (-3)2016 -1. ( 3)2016 1 32016 1 1 3 2016 0.5 S = = 4 4 4 +Vì a+b+c 0 a Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 2đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 1 c a b a b c 0.5 a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 2 Câu 2 c a b 0.5 ( 4 điểm ) a b b c c a => =2 c a b 0.5 b a c bacabc Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b 0.5 b Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên 2đ khác 0) Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c 1 abcabcx 5 x 6 xx 7 x Ta có: ab; ; c 567 18 18 18 183 18 (1) Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
3. ,,,,,, abcabcx ,,,4 x 5 xx 6 x ab; ; c 456 15 15 15 153 15 0,5 (2) So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c 0.5 16 25 36 Câu 3 =>10z = 12y = 15x (4 điểm) 0.5 x y z 3x 2 y 5 z => => và 3x – 2y + 5z = 96 0.5 4 5 6 12 10 30 0.5 Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 b 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 2đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+ + (3x+97 + 1 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) 0.5 + +3x+96(3+32+33+34) 0.5 = 3x.120 + 3x+4.120 + +3x+96.120 x x+4 x+96 = 120(3 + 3 + +3 )120 (đpcm) A P B C 0,5 E Câu 4 D (6 điểm ) I a Ta có IB = IC, IA = ID 1 2đ Lại có AB = CD (gt) 0,5 Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM:  DAI =  D 0,5 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra  BAI =  D 0,5 Do đó  DAI =  BAI. 0,5 Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
4. c Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 => AE = AP 0,5 2đ Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) 0,5 1 0,5 Suy ra AE AD 2 x y z Câu 5 ( 2 điểm ) xyx 1 yzy 1 xzz 1 1 xz xyz z xyz xz z xyz2 xyz xz xz z 1 1 xz xyz z xyzxz 1 = 1 1 xz z z 1 xz xz z 1 xyz xz 1 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.