Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Ninh Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Ninh Giang (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NINH GIANG NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: Toán 7 Ngày thi: 25 tháng 03 năm 2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1(2 điểm) 1) So sánh: 2712 và 819 11 1 1 1 2) Tính nhanh: S = ++ + + + 1.4 4.7 7.10 2017.2020 2020.2023 3) Rút gọn: A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 22022 Câu 2 (2 điểm) 2x+ 13 y − 22 xy +− 3 1 1) Tìm x, y biết: = = 57 6x 2) Cho A=−− 1 3 − 32 − 3 3 − − 32020 . Tìm các số tự nhiên x để 1-2A= 91010.3x2− 3) Tìm x biết: xx+++++1 2 x 2020 = 4 x Câu 3 (2 điểm) 1) Cho x, y là các số nguyên thoả mãn xy−+112 = và yx< . 2022 Tính giá trị biểu thức P=( 3x +− 4y 5) 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 3) Cho x, y ∈ N * và p là số nguyên tố thoả mãn: x2 + xy = 2x + 2y + p2 Chứng minh rằng: y = p2 - 3 Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC có Â = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D và tia phân giác của góc C cắt AB tại E; BD và CE cắt nhau tại I. a) Tính số đo góc BIC b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng ming rằng: FI = DI c) Trên tia IF lấy điểm K sao cho IK = IB. Vẽ tam giác BCH đều (H và A khác phía với đường thẳng BC). Chứng minh 3 điểm I, K, H thẳng hàng. Câu 5 (1 điểm) 111 1 1010 1009 1008 2 1 Cho A =++++ và B =++++++1011 1.2 3.4 5.6 2021.2022 1012 1013 1014 2020 2021 B Chứng minh rằng: là số nguyên A Hết Họ và tên học sinh: . Số báo danh Giám thị 1: . Giám thị 2: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm 1) 2712 = (33)12 = 336 0.25đ 819 = (34)9 = 336 => 2712 = 819 0.25đ 33 3 3 2) 3.S = ++ + + 1.4 4.7 7.10 2020.2023 11111 1 1 1 = −+−+− ++ − 1 4 4 7 7 10 2020 2023 0.25đ 11 1 = − 2đ 1 2023 0.25đ 2022 674 S = :3= 2023 2023 0.25đ 3) Rút gọn: A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 22022 Ta có: 2A = 2 + 22 + 23 + + 22023 0.25đ 2A - A = 2 + 22 + 23 + + 22023 - 1 - 2 - 22 - 23 - - 22022 0.25đ  A = 22023 - 1 0.25đ 2132231x+ y − xy +− 231231 xy +− xy +− 1) ===>= 5 7 5+ 7 12 6x 0.25đ 2xy+− 13 2 − 1 2 +) Nếu: 2xy+ 3 −= 10 ⇒ = =0 ⇒x = ; y = 5 7 23 0.25đ 2xy+− 13 2 +) Nếu: 2310612xy+ −≠ ⇒ x = ⇒ x = 2 => = =>=y3 57 2  −12  Vậy (x;y) ∈ ( ; );( 2;3) 2đ  23  0.25đ 2) 3A=−− 3 32 − 3 3 − − 32021 3A− A =−− 3 32 − 3 3 − − 32021 ++ 1 3 + 32 + 3 3 + + 32020 =− 3 2021 + 1 0.5đ => 2A=− 32021 +⇒− 1 1 2A = 32021 Mà 1-2A= 91010.3x2− ⇒=33.3332021 2020 x−+ 2 ⇒= 2021 x 2018 ⇒= x3 0.25đ 3) vì xxx+++++1 2 2020 ≥⇒ 0 4 xxx ≥⇒≥⇒+> 0 0 1 0; x +> 2 0; x + 2020 > 0 => x++1 x + 2 + x + 2020 =+++++ xx 1 2 x 2020 0.25đ => x+++++1 x 2 x 2020 = 4 x ⇒ 3 x + 2023 = 4 xx =>= 2023 0.25đ 1) Từ đề bài suy ra y2 ≤ 1 ⇒ y ∈−{ 1; 0;1} • y=±⇒ 1 x1 − = 0 ⇒ x1 = (loại) 0.25 = x2 • y0=⇒ x11 −=⇒ x= 0 (L) 2023 Khi đó P=( 3.2 +− 4.0 5) = 1 0.25
3. 2) x – y + 2xy = 7 ⇒4xy +−=⇒ 2 x 2 y 14 2 x (2 y +−+=⇒− 1) (2 y 1) 13 (2x 1)(2 y += 1) 13 0.25đ 3 13 = 1.13=13.1=(-1).(-13)=(-13)(-1) ta có bảng sau 2đ 2x-1 1 13 -1 -13 2y+1 13 1 -13 -1 0.25đ x 1 7 0 -6 y 6 0 -7 -1 ⇒(xy ; ) ∈ {(1;6);(7;0);(0;− 7);( −− 6; 1) 0.25đ 3) x2 + xy = 2x + 2y + p2 (x+y)(x-2) = p2 0.25đ x, y ∈ N * => x + y > 0 => x - 2 > 0 và x + y > x - 2 Mà p nguyên tố => p2 = p2.1 =1. p2 = p.p x −=21 x = 3 Suy ra:  2 =>  2 0.25đ xy+= p 3+=yp => y = p2 - 3 (đccm) 0.25đ A D E I F B C K 4 3đ H 00 a) Xét tam giác ABC có ABC + ACB =180− CAB =120 0.25đ 1 11 00 0  ABC + ACB = . 120= 60 => IBC + ICB =60 0.5đ 2 22 00 Xét tam giác IBC có BIC=180 − ( IBC + ICB) =120 0.25đ 00 b) + Chứng minh: ∆=∆BEI BFI => BIF = B IE =180− BIC =60 0.5đ 0 + Chứng minh: Mà FIC= DIC =60 0.25đ. + Chứng minh: ∆=∆CIF CID => ID = IF. 0. 25đ c) Chứng minh: ∆BIK đều => BI = BK 0.25đ. 0 Chứng minh: KBH = CBI =(60− KBF ) 0. 25đ 0 Chứng minh: ∆=∆BIC BKH => BIC= BKH =120 0.25đ. 00 0 => BKI += BKH =60 +120 180 => I, K, H thẳng hàng 0. 25đ
4. 1 1 1 1 11111 1 1 A = + + ++ =−+−+−++1 − 1.2 3.4 5.6 2021.2022 2 3 4 5 6 2021 2022  11 1 111 1 A =1 ++++  − ++++  3 5 2021 2 4 6 2022    111 1 1 111 1 5 A =1 +++ + + −2 ++++  1đ 2 3 4 2021 2022 2 4 6 2022  111 1 1 111 1 1 1 1 1 1 A =1 +++ + + −−−−−−1 = + + + + 2 3 4 2021 2022 2 3 4 1011 1012 1013 1014 2021 2022 0. 25đ 1010 1009 1008 2 1 1010 1009 1008 1 B =1011 + + + ++ + =+1 ++ 1 ++ 1 +++ 1 + 1 1012 1013 1014 2020 2021 1012 1013 1014 2021 2022 2022 2022 2022 2022 1 1 1 1 1 B =+++++= 2022 +++++ 1012 1013 1014 2021 2022 1012 1013 1014 2021 2022 B: A = 2022 là số nguyên. 0. 25đ Chú ý: Học sinh có thể làm bài theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.