Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp Thị xã môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Thị xã Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp Thị xã môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Thị xã Phú Thọ (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THỊ XÃ PHÚ THỌ CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: Toán lớp 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm ). x y a) Tìm x, y, biết 4= 7và x.y = 112. abb) Chứngac bc baminh ca rằng: c b Nếu a, b, c là các số khác 0a thoả mãn:b c 234 thì 351 5. Câu 2 : (3 điểm). 111111 2222 Chứng minh rằng : 6567100 4 . Câu 3 : ( 3 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các cạnh thỏa mãn AB AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng: a) BA = BH. b) DBK = 450. c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK. 2 2 Câu 5: ( 2 điểm). x y 3 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P= x y .2 Hết 1
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH THỊ XÃ PHÚ THỌ NĂNG KHIẾU CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: Toán lớp 7 Nội dung đáp án Điểm Câu 1: (6 điểm ) a) Tìm x, y Biết x = y và x.y = 112 4 7 b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số khác 0 thoả mãn: ab ac bc ba ca cb thì a b c 2 3 4 3 5 15 22 x y x y 112 1 đ a) = => 4 1 6 4 9 4 .7 2 8 => x= 8; y = 14; hoặc x= - 8; y = - 14 1 đ b) Ta có: ab ac bc ba ca cb 2 3 4 0,5 đ ab ac bc ba ca cb 2 3 4 0,5 đ 2 ( ab bc ca ) 9 0,5 đ ab bc ca 4 ,5 0,5 đ ab bc ca ab ac bc 4 , 5 2 2 , 5 0,5 đ ab bc ca bc ba ca 4 , 5 3 1, 5 ab bc ca ca cb ab 4 , 5 4 0 , 5 0,5 đ ab ac bc Do đó: 0 ,5 1,5 2 ,5 0,5 đ 1,5 ab 0 ,5 ac 3b c ( a , b , c 0 ) 1,5 bc 2 ,5 ac 5 a 3b a b c 0,5 đ 5 a 3b c . 3 5 15 2
3. 1 1 1 1 1 1 Câu 2: (4 điểm) Chứng minh rằng : 2 2 2 2 . 6 5 6 7 1 0 0 4 1 1 1 1 A = 2 2 2 2 5 6 7 1 0 0 1 1 1 1 1 đ * A . 1 (0, đ 75điểm) 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 Vậy: 1 đ Câu 3: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C ( 1) 0,5 đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. 0,5 đ 0,5 đ DBK - Suy ra: AH = IG, và IGK = - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,5 đ - Suy ra AK = KI Vẽ OE AB tại E. Tương tự (1) ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy 0,5 đ ra: BE = BF và AE = AH. 0,5 đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 0,5 đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5 đ A E H K O G B F I C Câu 4 : ( 6 điểm). 3
4. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : a) BA = BH. b) DBK = 450. c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK. B I 4 3 1 2 K H A D E a) ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) C 1 đ b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I 0 Ta có : ABI = 90 , Ta có AB= BH (∆ABD = ∆HBD) 1 đ AE=AB(gt) AE=BI(BA // IE ) BH=BI 0 , 5đ ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 0,5 đ 0 0,5 đ Bˆ Bˆ mà Bˆ Bˆ = 45 . 3 4 1 2 c, ∆ABD = ∆HBD AD=DH 1 đ ∆HBK = ∆IBK HK=KI) KD= DH+HK= AD+KI 4
5. Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = DE+KE+ AD+KI 1, 0 đ AE+IE= 2 AB = 2.4 = 8 cm) 2 2 0,5 đ x y 3 Câu 5. ( 2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P= 2 2 . x y 2 1 đ 2 2 2 2 x y 3 x y 2 1 P 2 2 2 2 2 2 x y 2 x y 2 x y 2 1 1 2 2 x y 2 1 2 2 x y 2 P lớn nhất 2 2 lớn nhất nhỏ nhất x y 2 0,5 đ 2 2 2 2 x 0; y 0 nên x y 2 2 2 2 x y 2 nhỏ nhất là = 2 khi x = y = 0 0,5 đ vậy P lớn nhất = 1+1/2=3/2 khi x= y= 0 Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm, trong quá trình chấm giám khảo chia nhỏ điểm theo các ý cho phù hợp với yêu cầu 5