Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Ba Đồn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Ba Đồn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS BA ĐỒN MÔN TOÁN 7-NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm): Thực hiện các phép tính 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 a) A = 63− (22 .3) + 8 45 .3 (125.7) + 593 .14 111 1 b) B=−−− ( 1).( 1).( 1) ( − 1) 2222 3 4 2023 2 Câu 2 (2,0 điểm): Tìm x, y, z biết 2 1 a) 3xy− + 2 −≤ 60 6 b) 4x = 3 yy ;4 = 3 zvà 2x + y – z = -14 Câu 3 (1,5 điểm): Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7; 8; 9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Câu 4 (1,0 điểm): Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( )( ) + 1 1 chia hết cho 24. 𝑝𝑝 Câu𝑝𝑝 5 (3,5𝑝𝑝 − điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. a) Chứng minh: MD = ME. b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của DK. c) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh SC ⊥ AK. Ghi chú: + Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. TRƯỜNG THCS BA ĐỒN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Câu Đáp án Điểm 1 a) 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3−− 4 .9 5 .7 25 .49 A = 63− ()22 .3+ 8 45 .3 ()125.7+ 593 .14 12 5 12 4 10 3 10 4 2 .3−− 2 .3 5 .7 5 .7 − = 12 6 12 5 9 3 9 3 3 0,25 2 .3++ 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212 .3 4 () 3−− 1 510 .7 3 () 1 7 = − 0,25 12 5 ++9 3 2 .3() 3 1 5 .7() 1 8 212 .3 4 .2 510 .7 3 .()− 6 = − 212 .3 5 .4 59 .7 3 .9 0,25 1− 10 7 =−= 632 7 0,25 Vậy A = 2 111 1 b) B=−−− ( 1).( 1).( 1) ( − 1) 2222 3 4 2023 2 1−−− 2222 1 3 1 4 1 − 2023 2−−−3 8 15 − 4092528 = . . = . . 0,25 2222 3 4 2023 2222 3 4 2 20232 3 8 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 = . . = 0,25 22223 4 2023 2 2 2 3 2 4 2 20232 1.3 2.4 3.5 2022.2024 1.3.2.4.3.5 2022.2024 = = 22. . 2 2 222 2 2 3 4 2023 2 .3 .4 2023 0,25 (1.2.3.4.5 2022)(3.4.5 99.2024) 1.2024 1012 = = = (2.3.4.5 99.2023)(2.3.4.5 2023) 2023.2 2023 1012 Vậy B = 0,25 2023 2 2 1 a) Vì 30x −≥với ∀x ; 2y −≥ 60∀y,do đó: 0,25 6 2 1 0,25 3x− + 2 y −≥ 6 0 ∀ xy , , 6 theo đề bài thì: 22 0,25 11  3xy− +−≤⇒− 2603  xy +−= 260. 66  11 0,25 30xx−= = Khi đó: 6⇒ 18 2yy−= 60 = 3
3. xy x y b) 43xy= ⇒=⇒= (1) 3 4 9 12 0,25 yz y z 43yz= ⇒=⇒ = (2) 3 4 12 16 xy z2 xy z Từ (1) và (2) ⇒= = ⇒ = = 0,25 9 12 16 18 12 16 Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có 2x y z2 xyz+− −14 = = = = = −1 0,25 18 12 16 18+− 12 16 14  x  = −1 ⇔ 9 x = −9 y =−⇔1y =− 12 0,25 12 z = −16  z   = −1 16 3 Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) 0,25 ( xyz, ,∈> N* , x 10 ). Theo bài ra ta có xy+=85 (1) Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh 0,25 ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: x−+10 yz 10 = = (2) 789 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x−10 yz + 10 ( x −+ 10) y 85 − 10 0,25 = = = = = 5 7 8 9 7+ 8 15 Suy ra xyz=45, = 40, = 35 (Thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh. 0,25 4 * Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ta được p= 3k + 1 hoặc p= 3k + 2 với k là số tự nhiên khác 0. + Nếu p= 3k + 1thì (p+=+ 1)( p – 1) ( 3k 2) .3k chia hết cho 3 0,25 + Nếu p= 3k + 2 thì (p+ 1)( p – 1) =++( 3k 3)( 3k 1) chia hết cho 3 Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+ 1)( p–1) chia hết cho 3 0,25 (1) Mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ. Suy ra p1+ và p1− là hai số chẵn liên tiếp Đặt p – 1= 2n thì p+= 1 2n + 2 , ta có (p+ 1)( p – 1) = 2n( 2n += 2) 4n( n + 1) 0,25 Do nn( + 1) chia hết cho 2 nên 4n( n+ 1) chia hết cho 8. Do đó (p+ 1)( p–1) chia hết cho 8 (2)
4. Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, 3.8 = 24 nên từ (1) và 0,25 (2) ta suy ra (p+ 1)( p–1) chia hết cho 24. 5 0,5 a) Chứng minh ∆AMB =∆ AMC() c −− c c ⇒ AM ⊥ BC; MAB = MAC =450 0,25 ⇒==AM MB MC + Xét ∆MAD và ∆MCE có MAD = MCE = 450 0,25 MA= MC (cmt) 0,25 MM =  (cùng phụ với M 13 2 0,25 ⇒∆MAD =∆ MCE (g-c-g) ⇒=MD ME (hai cạnh tương ứng) b) Kẻ DP⊥⊥ BC; KQ BC 0,25 + Chứng minh ∆=∆PBD QCK (ch-gn)⇒=PD KQ 0,25 + Chứng minh ∆=∆PDI QKI (g-c-g) 0,25 ⇒=DI KI (hai cạnh tương ứng)⇒ I là trung điểm DK 0,25 c) + Chứng minh ∆∆ABS= AC S (c-g-c)⇒= ABS ACS (hai góc 0,25 tương ứng) ; (1) SB=SC (hai cạnh tương ứng) + Chứng minh ∆∆SID= SIK (c-g-c) ⇒=SD SK (hai cạnh tương 0,25 ứng) + Chứng minh ∆=∆SBD SCK (c-c-c) ⇒=SBD SCK (2) 0,25 + Từ (1) và (2) ⇒=SCA SCK mà SCA += SCK 1800 (kề bù) 0,25 ⇒SCA = SCK ⇒⊥ SC AK (đpcm).