Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Sở GD và ĐT Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 NAM ĐỊNH Môn: TOÁN – Lớp 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. (3,0 điểm) 5 3 5 3 1. Tính giá trị biểu thức P 11 6 2 . 5 22 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z 2, x2 y 2 z 2 18 và xyz 1. 1 1 1 Tính giá trị của S  xy z 111 yz x zx y Câu 2. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5 x 11 0. 2 y y x 1 1 x 1 0 2. Giải hệ phương trình 22 x y 7 x 3 0. Câu 3. (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x22 y xy x y 1. 2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 nn 1 3. Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn I . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD ACB . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P. 1. Chứng minh tam giác QBI cân; 2. Chứng minh BP BI BE BQ ; 3. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK// JB. Câu 5. (2,0 điểm) Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. Hết Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI NAM ĐỊNH KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1 5 3 5 3 (1,5) Tính giá trị biểu thức P 11 6 2 . 5 22 5 3 5 3 10 2 22 0,5 Đặt M . Ta có M 2 2 5 22 5 22 M 2 (Do M 0) 0,25 2 0,5 11 6 2 3 2 3 2 Suy ra P 3 0,25 1.2 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z 2, (1,5) 1 1 1 x2 y 2 z 2 18 và xyz 1. Tính giá trị của S . xy z 111 yz x zx y Ta có xy z 1 xy x y 1 x 1 y 1 0,5 Tương tự yz x 1 y 1 z 1 và zx y 1 z 1 x 1 0,25 1 1 1x y z 3 0,25 Suy ra S x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 11 xyz xy yz zx x y z 1 xy yz zx Ta có x y z 2 x2 y 2 z 2 27 xy yz zx xy yz zx 0,25 1 0,25 Suy ra S 7 2.1 Giải phương trình 2 2x 1 x 3 5 x 11 0 . (2,0) 1 Điều kiện x 2 0,5 221x x 35110221 x x x 3 511 x 9142x x22 53511 x x 2 x 533 x x 0,5 xx 33 x 1 0,5 2 2 2 2x 5 x 3 9 6 x x x 11 x 12 0 x 12
3. Đối chiếu điều kiện ta được x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. 0,5 2.2 2 y y x 1 1 x 1 0 1 (3,0) Giải hệ phương trình . 22 x y 7 x 3 0 2 Điều kiện xy 1, yyx22 1 1 x 1 0 yyxy 1 1 0 yyx 1 1 0 0,5 y 1 . yx 1 Với y 1, thay vào (2) ta được 0,5 x2 1730 x 2 x 2 173 x 2 x 4 2173 x 2 x 2 xx2 11 xx42 5 4 0 (do điều kiện của x) 2 x 4 x 2 Với yx 1 , thay vào (2) ta được x22 x 1 7 x 3 0 0,5 x22 4 x 1 1 7 x 3 5 0 x 2 7 xx 2 2 xx 2 2 0 x 11 7x2 3 5 x 2 0,25 1 72 x x 20 x 11 7x2 3 5 Với x 2 suy ra y 1. 0,5 172 x 7 1 0,5 Ta có xx 2 2 1 xx 1 17xx22 3 5 7 3 5 1 1 7x2 3 2 1 x 2 7x2 3 5 x 11 7x2 3 2 Với x 1 thì 7xx2 3 2 0 2 0 7x2 3 5 7x2 3 2 1 Suy ra x 20 7x2 3 5 x 11 Vậy hệ phương trình có các nghiệm 1;1 , 2;1 . 0,25 3.1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x22 y xy x y 1. (2,0) 22 2 2 2 0,75 Ta có x y xy x y1 x y x 1 y 1 4 Ta có bảng giá trị tương ứng (học sinh có thể xét từng trường hợp) 1,0 xy x 1 y 1 Nghiệm xy;
4. 2 0 0 1;1 -2 0 0 Loại 0 2 0 Loại 0 -2 0 1;1 0 0 2 Loại 0 0 -2 1; 1 Vậy các số xy; cần tìm là , 1;1 , 1; 1 0,25 3.2 (1,0) Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có 2 3 4 nn 1 3. Với mỗi số nguyên dương k ta có k k22 1 k 1 1 k 1 k 1 . 0,25 Sử dụng đẳng thức trên liên tiếp với kn 3,4, , ta được 0,5 3 1 2.4 1 2 1 3.5 1 2 1 3 1 4.6 1 2 1 3 1 1 nn 1 1 0,25 12131 1 n 1 n 1 2 234 n 1 n Ta có điều phải chứng minh. 4 Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường (7,0) tròn I . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho ABD ACB. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P. 4. Chứng minh tam giác QBI cân; 5. Chứng minh BP BI BE BQ; 6. Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là trung điểm của JE. Chứng minh PK// JB.
5. P A D J I O K B C H E Q 4.1 Ta có AI là phân giác của BAC nên Q là điểm chính giữa của cung BC của (O). 1,0 (2,0) Suy ra BAQ QAC QBC IBQ IBC QBC IBA BAQ BIQ 1,0 Hay tam giác QBI cân tại Q. 4.2 Tam giác ABD đồng dạng tam giác ACB (3,0) 0,5 AB AD Suy ra hay AB2 AD. AC (1). AC AB Tam giác ADI đồng dạng tam giác AEC (có góc A chung và AID ACE ) 0,5 AD AI Suy ra hay AI AE AD AC (2). AE AC Từ (1) và (2) suy ra AI. AE AB2 , 0,5 suy ra tam giác ABI đồng dạng tam giác AEB. ABC Suy ra AEB ABI 2
6. BAC 0,5 Ta có AEP BAE (hai góc so le trong), 2 ABC BAC suy ra BEP . 2 BAC ABC 0,25 Theo a) ta có BIQ suy ra BIQ BEP 2 Ta có BPE ABD ACB BQI 0,25 BP BE 0,5 Suy ra hai tam giác PBE và QBI đồng dạng, suy ra BP BI BE BQ , ta có BQ BI điều phải chứng minh. 4.3 Tam giác BQI đồng dạng tam giác BPE và tam giác BQI cân tại Q nên tam giác PBE cân (2,0) BAC ABC 0,5 tại P, suy ra PBE và PH BE với H là trung điểm của BE. 2 Do HK là đường trung bình của tam giác EBJ nên HK//BJ 0,5 ACB BAC ABC 0,75 Ta có JBD và DBE , suy ra JBE 90o hay JB vuông góc BE. 2 2 Suy ra PH//JB, suy ra P, H, K thẳng hàng hay PK//JB. 0,25 5 Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. (2,0) Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh. Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh. 0,5 Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh. Nếu N4 , từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10 học sinh này không thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu N<4 , khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá 3.8 24 , nghĩa là 0,5 còn ít nhất 35 24 11 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy N=4 . Số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8 32 , nghĩa là còn ít nhất 3 học 0,5 sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh 0,25 không thỏa mãn điều kiện.
7. Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh tham gia. 0,25 Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo thống nhất chia điểm thành phần tương ứng. HẾT