Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Nam Định

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Sở GD và ĐT Nam Định

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn:Toán – Lớp: 9 THCS Thời gian làm bài: 150 Phút. Đề thi gồm: 01 trang. Câu 1. (3,0 điểm) mn+ 1) Cho mn, là các số tự nhiên thỏa mãn 23++-= 35 . Tính tổng mn+ . 2 11 1 2) Chứng minh rằng với mọi số dương a và b thay đổi thỏa mãn += ta luôn có ab1000 abab-+-=+1000 1000 . Câu 2. (5,0 điểm) 1) Cho phương trình (mxx++++++ =24322)( xxmxm 2)( 1 10,) với m là tham số. a) Giải phương trình với m =-1. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt. ïì æö ï ç y ÷ ï 91()xyy-=+ç 2 ÷ 2) Giải hệ phương trình íï ç x - 1÷ ï èø ï 2 ïyxyx+-+=570. îï Câu 3. (3,0 điểm) 1) Cho đa thức Px( ) =+ x326 x ++ ax b với ab, là các số hữu tỷ và thỏa mãn P ()130.-= 2022 Tính giá trị của biểu thức QP=++-+18() 3 3 P () 2 ( ab 3 ) . 2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (mn; ) thỏa mãn ()2mn++ 5 1() 2m +++ nmm2 = 105. Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ()AB< AC , có AH là đường cao. Lấy D là một điểm thuộc miền trong của tam giác AHC sao cho AH đi qua trung điểm của BD. Gọi EF, theo thứ tự là giao điểm của AH với đường thẳng CD và BD. Qua E kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính CD tại điểm M (A và M thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là CD ). Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn đường kính CD. Chứng minh rằng: 0 1) Tứ giác ABCN nội tiếp một đường tròn và ANB+= CAH 90 . MD AB ED BF BN 2) Tam giác EMD đồng dạng với tam giác ECM và = . MC EC 3) Ba điểm AM,, N thẳng hàng. Câu 5. (2,0 điểm) 1) Trên một mặt bàn phẳng có 2021 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt trong đó có một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ, đồng thời tất cả các đồng xu đều ngửa mặt màu xanh lên trên mặt bàn. Thực hiện trò chơi sau đây: mỗi lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2022 lượt chơi có thể nhận được tất cả 2021 đồng xu trên mặt bàn đều ngửa mặt màu đỏ lên trên hay không? Hãy giải thích vì sao? 2) Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh là abc, , thay đổi và thỏa mãn cbabc+=2. Tìm giá trị 354 nhỏ nhất của biểu thức P =++. bca+- acb +- abc +- Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên và chữ ký của GT 1: Họ, tên và chữ ký của GT 2: