Đề thi chọn học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 12 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Hà Nội (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30 tháng 9 năm 2023 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4,0 điểm) 3 2 Cho hàm số y 2 x 3 2 m 1 x 12 mx có đồ thị Cm , với m là tham số thực. 1) Khi m 1, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M và N sao cho ON 24 OM . 2) Tìm tất cả các giá trị của m để Cm có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành. Câu II (3,0 điểm) 2 2 x x x y y 1 y Giải hệ phương trình , với x,. y 2 2 2x 3 y 7 x 2 3 x 5 3 Câu III (3,0 điểm) Xét tập hợp S gồm tất cả các bộ số x;; y z với x,, y z là các số nguyên dương không lớn hơn 30. 1) Hỏi có bao nhiêu bộ số x;; y z thuộc tập hợp S thỏa mãn x y z 5? 2) Lấy ngẫu nhiên một bộ số a;; b c từ tập hợp S. Tính xác suất để lấy được bộ số thỏa mãn a b c 30. Câu IV (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC , biết SA 3 và tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 4. 1) Tính số đo của góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC .    2) Cho điểm I xác định bởi 2IA 3 IB 4 IC 0. Xét mặt phẳng thay đổi đi qua trung điểm của đoạn thẳng SI và cắt các tia SA,, SB SC lần lượt tại các điểm MNP,, (với MNP,, 4 9 16 không trùng với S ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  SM2 SN 2 SP 2 Câu V (4,0 điểm) 6un * Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 với mọi n . 11un 9 3 1) Chứng minh dãy số un là dãy số giảm. 2) Với mỗi số nguyên dương n, đặt S u2 u 2 u 2 u 2 . Tìm limS . n1 2 3 n n n Câu VI (2,0 điểm) Xét a,, b c là các số thực dương thỏa mãn a b 3 1 c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P abc a2 b 2 9 c 2 . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ nhất: Họ tên, chữ kí cán bộ coi thi thứ hai:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 30 tháng 9 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Hướng dẫn chấm Điểm 3 2 Cho hàm số y 2 x 3 2 m 1 x 12 mx có đồ thị Cm , với m là tham số thực 4,0 1) Với m 1, ta có y 2 x3 3 x 2 12 x . Tập xác định . Ta có f x 6 x2 6 x 12. 0,25 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Do hai điểm M, N phân biệt, xét OMN, ta được ON ON 0,5 f x 24 hoặc f x 24. 0 OM 0 OM 2 2 x0 3 TH1: f x0 24661224 x 0 x 0 x 0 x 0 60 . 0,25 x0 2 +) Với x 3, suy ra y 9 , ta có PTTT: y 24 x 81. 0 0 0,5 +) Với x0 2 , suy ra y0 4 , ta có PTTT: y 24 x 44. 2 2 I TH2: f x0 24 6 x 0 6 x 0 12 24 x 0 x 0 2 0 (phương trình vô nghiệm). 0,5 (4 điểm) KL: Hai tiếp tuyến cần tìm là y 24 x 81 và y 24 x 44. x 1 2) Ta có y 6 x2 6 2 m 1 x 12 m , suy ra y 0 x2 2 m 1 x 2 m 0 . x 2 m 0,5 1 Để hàm số có hai điểm cực trị thì m  2 +) Với x 1, ta có y 6 m 1. 0,5 +) Với x 2 m , ta có y 8 m3 12 m 2 . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành thì 3 2 2 0,5 yCĐ.yCT < 0 8m 12 m 610423610 m m m m (*) 3 1 KL: Tập các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là ;  ; \ 0 . 0,5 2 6 2 2 x x x y y 1 y 1 Giải hệ phương trình 3,0 2 2 2x 3 y 7 x 2 3 x 5 3 2 x2 x 0 2x2 3 y 2 7 0 y 2 1 0 Điều kiện . 0,25 2 2 5 II 2x 3 y 7 0 x 3 (3 điểm) 3x 5 0 Từ phương trình (1), do VT(1) dương nên y 0. 0,5 PT(1) x x2 x y y 2 1 y x x2 x y 2 y 4 y 2 . 2t 1 Xét hàm số f t t t2 t, t 0 . Ta có f t 1 0,  t 0. 2 t2 t 0,5 Vậy hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . Trang 1/3
3. Ta được y2 x, phương trình (2) trở thành 2x2 3 x 7 x 2 3 x 5 3 0,25 2x2 3 x 7 x 1 2 x 1 3 x 5 0 1 2 x2 5 x 6 0. 0,5 2x2 3 x 7 x 1 x 1 3 x 5 TH1: x2 5 x 6 0 nên x 2; x 3. 5 1 2 TH2 : Đánh giá được từ x nên 0. 0,5 3 2x2 3 x 7 x 1 x 1 3 x 5 KL: Nghiệm của hệ phương trình là x; y 2; 2 và x; y 3; 3 . 0,5 Xét tập hợp S gồm tất cả các bộ số x;; y z với x,, y z là các số nguyên dương 3,0 1) Có 6 bộ số thỏa mãn đề bài là 1;2;2 ; 2;1;2 ; 2;2;1 0,75 và 1;1;3 ; 1;3;1 ; 3;1;1 . 0,75 III 3 (3 điểm) 2) Không gian mẫu có số phần tử là 30 27000. 0,5 Do a b c 30 nên tồn tại d * sao cho a b c d 30. 3 0,5 Suy ra số bộ a;; b c thỏa mãn đề bài là C29. C 3 Xác suất cần tìm bằng 29  0,5 27000 Cho hình chóp S. ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA 3 4,0 1) Gọi H là trung điểm BC , ta có SH BC,. AH  BC 0,5 Suy ra góc giữa SBC và ABC là SHA . 0,5 Vì SBC đều, có cạnh bằng 4 nên SH 2 3. SA 3 3 Ta có sinSHA SHA 60o . SH 2 3 2 0,5 Vậy SBC , ABC 60o . 2 3 4 2) Đặt x,, y z với x, y , z 0. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng SI. IV SM SN SP        SA SB  SC  (4 điểm) Ta có 2IA 3 IB 4 IC 0 18 SO 2 SA 3 SB 4 SC 2SM 3 SN 4 SP     SM SN SP 0,5 18SO 3 xSM 4 ySN 4 zSP .    Vì bốn điểm MNPO,,, đồng phẳng và các vectơ SM,, SN SP không đồng phẳng nên 3x 4 y 4 z 18. 4 9 16 Khi đó T x2 y 2 z 2. 0,5 SM2 SN 2 SP 2 x2 y 2 z 2 3 2 4 2 4 2 3x 4 y 4 z 2 Do T  0,5 32 4 2 4 2 41 4 9 16 324 Suy ra T  SM2 SN 2 SP 2 41 0,5 324 54 72 72 Vậy GTNN của T bằng khi x ,, y z  0,5 41 41 41 41 Trang 2/3
4. 6un * Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 với mọi n 4,0 11un 9 3 1) Chứng minh dãy số u là dãy số dương: n 0,5 Có u1 1. Giả sử un 0 đúng đến n k với k 1. 6uk Khi đó uk 1 0. Theo nguyên lý quy nạp, suy ra un là dãy số dương. 0,5 11uk 9 3 6un * Xét un 1 u n u n . Nhận xét được 11un 9 3 6, n . 0,5 11un 9 3 6un * Suy ra un 0 nên un 1 u n 0,  n . Vậy dãy số un là dãy số giảm. 0,5 11u 9 3 V n (4 điểm) 6u 11 u 9 3 6 11 u 9 3 n n n 0,5 2) Ta có un 1  11un 11 396 Suy ra 11u 6 11 u 9 3 u2 u u . 0,5 n 1 n n 1121 n n 1 396 396 396 Nên Suuuu 2 2 2 2 1 uuuuuu  1 u n1 2 3 n121 1 2 2 3 n 1 n 121 121 n 0,5 với n 2. Ta có dãy số un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn. 0,25 Gọi limun a , chứng minh được a 0. n 396 47 Do đó limSn 1  0,25 n 121 11 Tìm GTLN của P abc a2 b 2 9 c 2 . 2,0 Đặt z 3 c , ta được a b z 3 và 3P abz a2 b 2 z 2 . 1 2 0,25 Ta có 3P abz a2 b 2 z 2 abz a 2 b 2 abz 3 z .2 ab a b 2 ab abz 3 . 2 4 2 3 1 a b a b 1 t2 3 t z z3 3 t t 4  Với t a b. 2 4 4 8 4 0,25 Do vai trò a,, b z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử z min a , b , z . VI Do đó z 1 nên a b 2 hay t 2. 3 (2 điểm) 1 t2 3 t Xét hàm số f t 3 t t 4 với t 2. 8 4 2 3 1t 3 t 3 2 0,5 Ta có f t 33 t t4 3 t 2 t t  1220,2. t t 8 4 8 Vậy f t 3, t 2. Suy ra maxf t 3 khi t 2. 2; 0,5 1 Do đó GTLN của biểu thức P bằng 1 khi a b z 1 (hay a b 1; c ). 0,5 3 Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm thành phần chi tiết đến 0,25. Giám khảo không được làm tròn tổng điểm. Trang 3/3