Đề thi chọn học sinh giỏi Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Hoàng Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Hoàng Mai (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,5 điểm) a. Tính giá trị biểu thức: A= (3+ 5)( 10 −− 2) 3 5 b. Rút gọn biểu thức C=( x −2024 −+ x 2024 ) ( xx +2 −2024 ) (Với x ≥ 2024 ) Câu 2. (4,0 điểm) 1+− sinxx 1 sin a) Cho 00 < x <900. Chứng minh rằng +=+2. tan2 x 1 1−+ sinxx 1 sin b) Giải phương trình 5 4 + 3 + 4 = 0 2 Câu 3. (4,0 điểm) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥√𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 a) Tìm số nguyên n sao cho C= n2 - 3n +4 là số chính phương b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c =2023. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3-1 chia hết cho 6 Câu 4. (6,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, AC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt DE tại F, H là hình chiếu của C lên BF a) Chứng minh FH. FB = FE.FD b) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH c) Gọi I là trung điểm của FE. Chứng minh A, H, I thẳng hàng Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b +c = 3 a2−+ ab2 b 22 25 a + c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + ab+ 29 .HẾT .
2. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023-2024 (Đáp án gồm 04 trang) Môn: TOÁN Nội dung Điể Câu m Câu 1 (3+ 5)( 10 −− 2) 3 5 = (3+ 5)( 5 −− 1) 6 25 0,5đ a 2 = (3+ 5)( 51 −−) ( 51) (2,5 2 0,5đ = 3+− 5 51 điểm) ( )( ) =(3+− 5)( 6 25) 0,5 0,5 = 2.( 3+− 5)( 3 5) 0,5 = 2.(9-5) = 8 2 C=( x −2024 −+ x 2024 ) ( xx + −2024 ) 2 2Cx=( − 2024 −+ x 2024) ( 2 xx + 2 − 2024 ) 0,5 b 2 2Cx=−−+ 2024 x 2024 x −++ 2024 x 2024 (2,0 ( ) ( ) 0,5 điểm) 2Cx=−−+( 2024 x 2024)( x −++ 2024 x 2024 ) 0,5 2Cx=− 2024 −− x 2024 0,5 C = − 4048 Câu 2 (1+− sinxx )22 (1 sin ) 0,5đ a VT = + 1−− sin22xx 1 sin (2,0 1+− sinxx 1 sin = + = 0,5 điểm) 22 cosxx cos 2 0,5đ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
3. VP = 2. + 1 2 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥 2 �𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 2. 2 2 0,5 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑥𝑥+𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 2 = � 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑥𝑥 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶ĐK: x≥-3 5 4 + 3 + 4 = 0 2 b(2,0 đ) 𝑥𝑥 − (4𝑥𝑥√𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 + 3 + + 3) + ( 2 + 1) = 0 0,75 2 2 0,5 (2x𝑥𝑥 - − +𝑥𝑥3√ )𝑥𝑥2 + (x-1)2 =𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0,75 Lập luận được x =√ 1𝑥𝑥 là nghiệm Câu 3 n2 - 3n +4 là số chính phương => n2 - 3n +4 = a2 0,25 =>4n2-12n +9 + 7= 4a2 =>(2n-3)2 -4a2 = -7 0,5 a =>(2n-3-2a)(2n-3+2a) = -7 0,5 (2,0 Ta có bảng kết quả điểm) 2n-3-2a 1 7 -1 -7 0.5 2n-3+2a -7 -1 7 1 N 0 3 3 0 Vậy n = 0 hoặc n= 3 0,25 Ta có a+b+c =2023 => a+b+c-1 = 20226 0,5 Xét hiệu ( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) = (a3-a)+(b3-b)+(c3-c) 0,5 Ta có a3 –a = a(a-1)(a+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia b hết cho 6 0,5 (2,0 Tương tự b3 –b và c3 –c chia hết cho 6 điểm) =>( a3 +b3 +c3-1) –(a+b+c-1) chia hết cho 6 Mà a+b+c-1 chia hết cho 6=> a3 +b3 +c3-1 chia hết cho 6 0,5 Câu 4
4. B D 0,5 E C A O H I F Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC => DE//AB mà AC vuông góc với AB 0,5 => DE vuông góc với AC 0,5 a) Tam giác CDF vuông tại C có đường cao CE 2 3,0đ =>CF = FE.FD (1) 0,75 Tam giác FBC vuông tại C có đường cao CH => CF2 = FH.FB (2) 0,75 Từ (1) và (2) => FH.FB = FE.FD 0,5 Xét Tam giác ABC Và tam giác ECF Có Góc BAC = góc CEF = 900 Góc ECF = góc ABC (cùng phụ với góc BCA) AB BC => tam giác ABC đồng dạng với tam giác ECF (gg) => = (3) EC CF 0,5 BH BC b) Tam giác BHC đồng dạng với BCF (gg) => = (4) HC CF 2,0đ AB BH Từ (3) và (4) => = 0,5 EC HC Xét tam giác ABH và tam giác ECH có 0,5 Góc ACH = góc ECH ( cùng phụ với hai gócBOA và COH bằng nhau) 0,5 AB BH Và = => tam giác ABH đồng dạng với tam giác ECH (cgc) EC HC
5. Ta có Góc BHA = góc CHE ( Vì tam giác BHA đồng dạng với tam giác CHE) mà góc BHC = 900 => góc AHE = 900 0,5 Xét Tam giác FHE và tam giác CHA có Góc AHC = góc EHF = 900 + góc EHC Góc HFE = góc HCA ( cùng phụ với góc COF) 0,5 c) => tam giác AHC đồng dạng với tam giác FHE (cgc) 1,0đ AH FH AH FH AH FH => ==>==>= AC FE22 AE IE AE IE => tam giác EHI đồng dạng với AHE (cgc) => góc EHI = góc AHE = 900 => A, H, I thẳng hàng Câu 5 a2−+ ab2 b 22 25 a + c P = + + ab29 9a22−+ 9 ab 18 b 9P = ++25ac2 0,25 ab+ 2 (8a22+ 8 b ) − 9 ab ++ a 2 10 b 2 9P = +(2ac2 ++− 2) 5 2 ab+ 2 (16ab )− 9 ab ++ a22 10 b 0,25 (1,0 9P ≥ +(4ac ) +− 5 2 ab+ 2 điểm) 7ab++ a22 10 b 9P ≥ +(4ac ) +− 5 2 ab+ 2 (a++ 2 ba )( 5 b ) 9P ≥ +(4ac ) +− 5 2 ab+ 2 0,25 9P ≥+abac5 + 4 + 5 −= 2 5.3 −= 2 13 13 0,25 => P ≥ => Min P = 13/9 khi a=b=c=1 9 Hết Chú ý: Học sinh có cách trình bày khác hợp lý, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm thành phần giám khảo tự phân chia, thống nhất trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.