Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 001 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Mã đề 001 - Năm học 2023-2024 - Sở GD và ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 Khóa ngày 05 tháng 12 năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Bài thi trắc nghiệm MÃ ĐỀ: 001 LỚP 12 THPT Thời gian: 50 phút (không kể thời gian giao đề) SỐ BÁO DANH: Đề gồm có 04 trang, 40 câu. Câu 1. Đồ thị ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. yx 4 3 x 2 2. B. y x3 3 x 2 2. C. yx 3 2 x 2 x 2. D. yx 2 1 x 2 . Câu 2. Tập xác định của hàm số y x 2 là A. \ 2 . B. ;2 . C. 2; . D. .    Câu 3. Với a là số thực dương tuỳ ý, log(100a ) bằng A. 2 log a . B. log a 2 . 1 D. 2 loga . C. log a . 2 12 2 Câu 4. Số hạng không chứa x trong khai triển x 3 (x 0) là x A. 1760. B. 1760. C. 220 . D. 220 . 1 Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y . log2 (x 1) A. 1;2 . B. 2; . C. 1; . D. 1; \ 2 . Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 33 x 2 9 x 3 trên đoạn  1;3 bằng A. 14. B. 2 C. 30. D. 0. x 6 Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x 5 m (10; ) ? A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. 4 2 3 Câu 8. Cho hàm số y fx liên tục trên và fxx' 1 xxx 2;  x . Số điểm cực trị của hàm số y fx là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 16 x2 Câu 9. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 5 x A. 4. B. 2. C. 0. D. 1. 2x 10 x2 3 x 4 1 Câu 10. Bất phương trình 2 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? 2 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . 2 Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log2xx 5log 2 6 3log 5 x 0 ? A. 64 . B. 65. C. 63. D. 125. Câu 12. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 3 2 ym ( 1) xmxx ( 1) 2023 nghịch biến trên ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Trang 1/4 - Mã đề 001
2. Câu 13. Cho hàm số yx 4 ln 1 4 x . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  1;0. Khi đó M m bằng A. 1. B. 4 ln5. C. 0 . D. 4 ln5. Câu 14. Cho số thực x 1 thỏa mãn log2 log 4x log 4 log 16 x log 16 log 2 x 0 . Tổng S log2 log 16 x log 16 log 4 x log 4 log 2 x bằng 1 5 1 A. S 0. B. S . C. S . D. S . 4 4 2 Câu 15. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x log 10y 1 1 1 và y log 10x 1 1. Giá trị của biểu thức P 10x y bằng 1 1 101 101 A. P . B. P . C. P . D. P . 10 100 100 110 Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số fx( ) 2 x3 6 xm 2 1 có các giá trị cực trị trái dấu? A. 2. B. 3. C. 6. D. 7. 2 Câu 17. Số nghiệm của phương trình log3 x 6 log 3 x 2 1 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 18. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a.2b 8 và ab 2 . Giá trị của biểu thức 2 A a log2 a .2b bằng A. A 16. B. A 7 . C. A 128. D. A 4 . 3 2 Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2023x x mx 1 đồng biến trên đoạn 1;2. A. m 8 . B. m 1. C. m 8 . D. m 1. x 1 x1 x 2 Câu 20. Biết rằng phương trình log3 3 1 2x log 1 2 có hai nghiệm x1 và x2. Tổng S 27 27 3 bằng A. S 252. B. S 180. C. S 9. D. S 45. Câu 21. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x m 3 .2 x 1 m 9 0 có hai nghiệm dương phân biệt? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 22. Cho hàm số f( x ) có đạo hàm liên tục trên và f( x ) có đúng 3 điểm cực trị là 2; 1 và 0 . Hỏi hàm số y fx(2 2 x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 23. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số yx 34( m 2) x 2 7 x 1 có hai điểm cực trị xx1, 2 ( x 1 x 2 ) thỏa mãn x1 x 2 4. 1 7 A. m 5. B. m . C. m 3. D. m . 2 2 Câu 24. Cho hàm số y fx( ) liên tục trên có đồ thị hàm số y fx như hình bên và f 2 f 2 0. Hàm số 2 gx f 3 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 2; . B. 2;5 . C. 1;2 . D. 5; . Trang 2/4 - Mã đề 001
3. y Câu 25. Cho hàm số y fx liên tục trên , hàm số y fx có đồ 1 5 thị như hình vẽ bên. Xét hàm số gx fx x2 3 x . Khi đó khẳng 2 định nào dưới đây đúng ? 3 A. g 0 g 2 . B. g 4 g 2 . 1 C. g 2 g 4 . D. g 0 g 2 . x 2 O 2 Câu 26. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 2023 của tham số m để hàm số y x3 mx 1 có 5 điểm cực trị trên ? A. 2020 . B. 2021. C. 2022 . D. 2023. Câu 27. Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2a . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 2 a2 . B. 8 a2 . C. 4 a2 . D. 16 a2 . Câu 28. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 2a . Mặt phẳng (P ) đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3 a . Khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến (P ) bằng a a 2 2a A. B. a C. D. 5 2 5 x 1 5 x 1 a a Câu 29. Giới hạn lim bằng với a, b nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của x 3 x 4 x 3 b b a b bằng A. 1. B. 2. C. 1. D. 2. un Câu 30. Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 1 và un u n 1 n với mọi n 2.Khi đó lim bằng n 2 1 A. 0. B. . C. 1. D. 2. 2 Câu 31. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số lập từ tập hợp X 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6. 4 9 9 4 A. . B. . C. . D. . 27 28 25 9 Câu 32. Từ các chữ số 0,1,2,3, 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ? A. 2448. B. 3600. C. 2324. D. 2592. Câu 33. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4x 2 y 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 8 xyy2 2 2 2 x 18 xy bằng 27 A.12. B. 27. C. 18 . D. . 2 Câu 34. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt 0 phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng SAB bằng 30 . Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng 2a3 8a3 8 2a3 2 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Trang 3/4 - Mã đề 001
4. Câu 35. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, S SA ABCD và SA a , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 30 (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp S. ABCD bằng a3 a3 A. . B. . A D 2 6 a3 a3 3 C. . D. . B C 4 6 Câu 36. Cho tứ diện OABC có OA,, OB OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM bằng a 2a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a , CD 2 x , ACD  BCD . Giá trị của x để ABC  ABD là a 3 a 2 A. x . B. x a 2 . C. x a . D. x . 3 2 Câu 38. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với mặt a 3 phẳng đáy. Biết rằng AC a 2 , SA . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ? 3 A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45. Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2, AD 4 3 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD ) bằng 2 39 4 51 2 39 4 39 A. . B. . C. . D. . 13 17 5 13 Câu 40. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc BAD 60 , đường thẳng SO vuông góc với ABCD và SO a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 2a 57 a 57 a 21 a 21 A. . B. . C. . D. . 19 19 14 7 hÕt Trang 4/4 - Mã đề 001
5. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM Khóa ngày 05 tháng 12 năm 2023 Môn thi: TOÁN 12 Bài thi trắc nghiệm LỚP 12 THPT Đáp án này gồm có 01 trang Mã đề 001: Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án C C A A B B C C D B Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án B C D B D C B C B B Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Đáp án B A B D A B C D C B Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án A A C C A C A C B A Mã đề 002: Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án B A C D C D B A B D Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án C C A B C A C D D D Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Đáp án B C B A A D B B A D Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án A A D B A A B D A C
6. SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 Khóa ngày 05 tháng 12 năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Bài thi tự luận LỚP 12 THPT SỐ BÁO DANH: Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang, 03 câu. Câu 1 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng dy: x m cắt đồ 2x 1 thị (C ) của hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB x 1 vuông tại O (với O là gốc tọa độ). b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x33 mx 2 1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABE có diện tích bằng 4, với tọa độ điểm E(2;1). Câu 2 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 log(23xm )2log 3 xx 6 xm 3 1 có hai nghiệm thực phân biệt. b) Cho các số thực xyz,, không âm thỏa mãn các điều kiện xy 1 z và 24 25 x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x3 y 3 z 3 xy yz zx Câu 3 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AD sao cho AD 4 AN . Biết SA a , MN vuông góc với SM và tam giác SMC cân tại S. a) Tính thể tích của khối chóp S. CMN theo a . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và MC theo a . hÕt
7. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2023-2024 Khóa ngày 05 tháng 12 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT Đáp án này gồm có 04 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của thí sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu thí sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Ở câu 3 nếu thí sinh không vẽ hình thì cho 0 điểm. * Điểm thành phần của mỗi bài phân chia đến 0.25 điểm. * Thí sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung Điểm Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng dy: x m cắt đồ 2x 1 thị (C ) của hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam x 1 giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ). 2x 1 Phương trình hoành độ giao điểm x m x 1 2x 1 xmx 1 , (do x 1 không là nghiệm của phương trình) 0.25 xm2 3 x 1 m 0. 2 2 1a Phương trình có m 3 4 1 mm 1  4 0, m (1,0) 0.25 nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Gọi Axx ;,;. mBxx m Vì x; x là hai nghiệm của nên 1 1 2 2 1 2 0.25 xx1 2 m3; xx 1 . 2 1 m .   Khi đó OA xx1; 1 m ; OB xx 2 ; 2 m . Tam giác OAB vuông tại O   khi và chỉ khi OA OB OAOB. 0. 2 Suy ra xx1. 2 mxmx 1 2 0 2xx1 . 2 mx 1 x 2 m 0 0.25 2(1 mmm ) ( 3) m2 0 m 2 0 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x33 mx 2 1 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABE có diện tích bằng 4, với tọa độ điểm E(2;1). 1b Hàm số đã cho có tập xác định là D và y' 3 x2 6 mx . (1,0) 0.25 y' 0 3 xmx2 6 0 xxm 0, 2 . Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2m 0 m 0. 0.25 Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là A(0;1) và Bm(2;4 m3 1) . Hướng dẫn chấm Toán 12 (Tự luận) – Trang 1/4
8. Đường thẳng AE có phương trình y 1 0 và AE 2 . 0.25 Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AE là dBAE( , ) 4 m3 . 1 1 3 3 Do đó S ABE . dBAEAE ( , ). . 4 m .2 4 m 2 2 0.25 Tam giác ABE có diện tích bằng 4 nên 4m3 4 m 1 (thỏa mãn). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 log(23xm )2log 3 xx 6 xm 3 1 có hai nghiệm thực phân biệt. x 0 Điều kiện . 2x m 0 0,25 Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 2 x log3 xxm 6 3 log 3 (6 xm 3 ) (1) Xét hàm số ftt( ) log3 t trên khoảng (0; ) . 2a 1 Ta có f'( t ) 1 0 với mọi t (0; ) nên hàm số f( t ) luôn đồng biến 0,25 (1,0) t ln3 trên(0; ) . Do đó (1) fx (2 ) fxm (6 3 ) x 2 6 xmx 3 2 6 xm 3 0 (2) . 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt ' 0 9 3m 0 0,25 P 0 3 m 0 3 m 0. Vậy 3m 0 . S 0 6 0 Cho các số thực xyz,, không âm thỏa mãn các điều kiện xy 1 z và x y z 3. 24 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x3 y 3 z 3 xy yz zx Đặt q xy yz zx và p xyz với q 0, p 0. Từ giả thiết xy 1 z ta có (1 x )(1 y )(1 z ) 0 hay q 2 p . 2 0,25 Do đó q 2. Mặt khác vì x y z 3 xy yz zx nên q 3. Suy ra 2 q 3. 2b 3 (1,0) Ta luôn có x3 y 3 z 3 xyz 3 xyzxyyzzx 3 xyz Lúc đó x3 y 3 z 3 3 9 3 q p 3 9 3 q ( q 2) 3 7 2 q .   0,25 8 25 Suy ra P với 2 q 3. 7 2q q 8 25 Xét hàm số f( q ) với 2 q 3. 7 2q q 2 0,25 84q 700 q 1225 35 5 Ta có f'() q ; f'( q ) 0 q , q . q(7 2) q 2 6 2 Hướng dẫn chấm Toán 12 (Tự luận) – Trang 2/4
9. 5 Lập bảng biến thiên, ta có kết luận minf ( q ) 14 khi q . 2;3  2 5 Do đó P 14 . Dấu '' ''xảy ra khi và chỉ khi q và q 2 p 2 1 Nên suy ra p và (1 x )(1 y )(1 z ) 0 , lúc đó trong các số thực xyz,, 2 không âm luôn tồn tại ít nhất một số bằng 1. 5 1 Kết hợp xy yz zx, xyz và xy 1 z 0 ta tính được 0,25 2 2 2 2 x 1 ; yz 1; 1 . 2 2 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 14 khi x 1 ; yz 1; 1 . 2 2 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm cạnh AB và điểm N thuộc cạnh AD sao cho AD 4. AN . Biết 3 SA a , MN vuông góc với SM và tam giác SMC cân tại S. a) Tính thể tích của khối chóp S. CMN theo a . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và MC theo a . S B F M A N F B H M A N H 3a (1,0) C D C D 5a2 5 a 2 25 a 2 Ta tính được MN2 ,, MC 2 NC 2 MNMCNC 2 2 2 . 16 4 16 Do đó tam giác CMN vuông tại M hay CM MN . (1) 0,25 1 5a2 Suy ra S MCMN CMN 2 16 Gọi H là trung điểm của MC, vì tam giác SMC cân tại S nên SH CM (2) Từ giả thiết SM MN và (1) ta có MN ( SMC ). Suy ra SH MN (3) 0,25 Từ (2) và (3) suy ra SH ( MNC ). Do đó SH là chiều cao hình chóp S CMN Kẻ HF ABF,. AB Khi đó HF song song BC và F là trung điểm BM . 0,25 Hướng dẫn chấm Toán 12 (Tự luận) – Trang 3/4
10. 13a2 a 13 Do HFA vuông tại F nên HA2 HF 2 FA 2 HA 16 4 3a2 a 3 Do SHA vuông tại H nên SH2 SA 2 HA 2 SH 16 4 1 1a 3 5 a2 5 3 a 3 Vậy V SH S 0,25 SCMN3 CMN 3 4 16 192 Hình vẽ Câu 3b S B F M A N I B A M H N H L C K D C K D 3b Gọi K là trung điểm của CD . Từ MC song song AK suy ra MC song song (1,0) (SAK ) do đó dMCSA( ,) dMC ( ,( SAK )) dH (,( SAK )). 0,25 Kẻ HL AKL, AK và kết hợp AK SH suy ra AK ( SHL ) Nên (SAK )( SHL ) và (SAK )( SHL ) SL. 0,25 Kẻ HI SLI,  SL HI ( SAK ). Lúc đó dMCSA(,),(). dH SAK HI a2 Ta tính được SSSS . CMAK ABCD BMC ADK 2 Tứ giác CMAK là hình bình hành nên SCMAK HLAK. 0,25 S a2 a5 a 5 Suy ra HL CMAK :. AK 2 2 5 1 1 1HL . HS a 93 Xét tam giác SHL có HI HI2 HL 2 HS 2 2 2 31 HL HS 0,25 a 93 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SAvà MC bằng . 31 Hướng dẫn chấm Toán 12 (Tự luận) – Trang 4/4