Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm) x1 1. Cho hàm số y= có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của x+1 đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ; 111 x 42 ()xxm xxx42 Câu 2 (2 điểm) x2 1. Giải phương trình: sin2017 x cos 2018 x cos x . 2 20 6 xyxxyy 17 5 3 6 3 5 0 1 2. Giải hệ phương trình: xy, 2 22xy 5 33 x 2 y 11 x 6 x 13 2 Câu 3 (2 điểm) 1. Môn bóng đá nam SE GAME có 10 đội bóng tham dự trong đó có Việt Nam và Thái Lan. Chia 10 đội bóng này thành 2 bảng A, B. Mỗi bảng có 5 đội. Tính xác suất sao cho Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng. 6 2 2. Cho d·y sè (un) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: u , u 2 u víi mäi n=1, 2, 1 2 n 1 n n Chøng minh r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n vμ t×m Lim2. 2 un . Câu 4 (3 điểm) 1. Cho tứ diện ABCD có AB CD c,, AC BD b AD BC a . a.Tính góc giữa hai đường thẳng AB, CD. b.Chứng minh rằng trọng tâm của tứ diện ABCD cách đều tất cả các mặt của tứ diện. 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Tính thể tích khối chóp đó theo x và tìm x để thể tích đó là lớn nhất. Câu 5 (1 điểm). Cho các số thực a, b, c sao cho a 0, b 0, 0 c 1 và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 2ab + 3bc + 3ca + 6 abc Hết . Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
2. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu Ý Nội dung Điểm Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ I 1 tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 1,00 Tâm đối xứng của đồ thị là I(–1; 1) Gọi N(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị, khi đó tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình: 0,25 2 x0 1 x 1 yxx 0 2 x 1 2(xx 1)22 yx 2 x 10 x0 1 0 000 Gọi d là khoảng cách từ I đến tiếp tuyến trên ta có: 41x dx 0 ;1, 4 0 4( x0 1) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 442 4 (xxx000 1) 2 4.( 1) 4( 1) 4 4(xx00 1)2 1 41x d 0 2 0,25 4 4( x0 1) 4 x0 12 dấu '=" 4(x0 1) x0 12 Vậy ứng với hai giá trị đó ta có hai tiếp tuyến sau: yx (2 2) ; yx (2 2) ; 0,25 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực ; 2 42111 1,00 x ()xxm xxx42 ĐK: x 0 1 Đặt t= x ( ĐK t 2 ) x 2 2211 xx 2 22 t xx Ta có 2 4211 42 xx 42 242 tt xx 0,25 Phương trình đã cho trở thành: tt42 42 t 2 2 tm
3. ttt4254 m Xét hàm số f ()tt 42 5 tt 4 với t ;2  2; 0,25 ta có f '(tt ) 43 10 t 1 ft''( )   12 t2 10 0 t ; 2 2; t -2 2 f ''(t ) + -11 f '(t ) 13 0,25 f ()t -2 2 Từ bảng biến thiên suy ra: m 2 thì phương trình đã cho có nghiệm. 0,25 x2 II 1 Giải phương trình: sin2017 x cos 2018 x cos x . 1,00 2 x2 Xét hàm số: f(x)= cos x trên R 2 Ta có f'(x) x sinx f''(x) 1 cosx 0  x R Do đó hàm số f'(x) đồng biến trên R Vậy  x0; f'(x)f'(0)0 0,25  x;0f'(x)f'(0)0 Bảng biến thiên: x 0 f'(x) - 0 + f(x) 1 x2 Từ bảng biến thiên suy ra VF cos x  1 x R 2 0,25
4. Ta có VT sin2017 x cos 2018 x sin 2 x cos 2 x 1 Do đó phương trình (*) tương đương 0,25 x0 VT 1 2017 2 sin x sin x x 0 0,25 VF 1 2018 2 cos x cos x Giải hệ phương trình : 2 1,00 20 6 xyxxyy 17 5 3 6 3 5 0 1 xy, 2 22xy 5 33 x 2 y 11 x 6 x 13 2 Điều kiện: xy 6; 5;2 xy 5 0; 3 xy 2 11 0 20 3xx 6 17 3 yy 5 36 xxyy 2 6 35 2 5 3 0,25 Xét hàm số f tt 32 t với t 0 , ta có 32t f '3 tt  0,0 t 0,25 2 t Kết hợp với 3 ta có f 6565 x fy x yy x 1 Thay vào phương trình 2 của hệ, ta được 4 23xxxx 4 35 92 6 13, với x . 3 23 x 4 xxxxx 2 35 9 3 2 21xx 31 xx xx2 34xx 2 59 xx 3 0,25 23 xx 110 34xx 2 59 xx 3 23 xx0; 1 (vì 11 với mọi x thuộc 34xx 2 59 xx 3 TXĐ) Với xy 01 Với xy 12 Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 0,25 xy; 0;1; 1;2 
5. III 1 1,00 nCC  55. 10 5 Gọi A là biến cố: “ Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng” 0,25 TH 1: “ Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng A” Trường hợp này có CCC235 cách chia. 285 0,25 TH 1: “ Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng B” Trường hợp này có CCC235 cách chia. 285 235 Suy ra: nA 2 CCC285 0,25 235 nA()2 CCC285 4 PA() 55 0,25 nCC() 10 . 5 9 2 1,00 5 Ta cã u1 2sin 2cos . 12 12 0,25 Tõ hÖ thøc truy håi b»ng ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p ta cã ®îc 0,25 5 u 2cos , n = 1, 2, n n 6.2 Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y, ta dÔ dμng chøng minh d·y sè nn 55 1 0,25 cã giíi h¹n. Lim222cos nn Lim 2sin 1 6.2 6.2 5 sin 6.2n 1 55 Lim 0,25 5 66 6.2n 1 IV 1 1,50 A I B D G C
6. a) Ta có          AB.( CD AB AD AC ) AB AD AB AC 222222 AB AD BD AB AC BC 22 0,5 ab 22       ab22 Lại có, AB. CD AB . CD cos AB , CD cos AB , CD c2 Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB, CD ta có:   ab22 ab 22 0,5 ccABCDos os , arccos cc22 b) Gọi I, G lần lượt là trọng tâm của tứ diện ABCD và tam giác BCD 11 Ta có IG AG V V 44IBCD ABCD 0,5 1 Tương tự, VVV V IABC IABD IACD4 ABCD Vậy, VVVVIABC IABD IACD IBCD Mặt khác, ABC BAD CDA DCB() c c c 0,5 Do đó, dddd I,(ABC) I,(ABD) I,(ACD) I,(BCD) 2 1,50
7. S B A H O C D Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD) Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD, suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Mặt khác, tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, với O là giao của AC 0,25 và BD. Lại có, CBD ABD SBD OC OA OS nên SAC vuông tại S AC x2 1 111 x Ta có, 22 2SH SH SA SC x2 1 1 0,25 ABCD là hình thoi  ACBDOBABAO22 3 x 2 2 11 1 + SACBDxxVxx .1.3322 2 0,25 ABCD 22 6 1 6 V có giá trị lớn nhất là khi xxx 3 2 0,25 4 2 V Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 1,00 Ta có: 6 P = (a + b + c)2 – a2 – b2 - c2 + bc + ca + (a + b + c)2 - 3 + abc 6 0,25 abc 6 Đặt t = a + b + c => t [ 3 ; 3]. Xét f(t) = t2 – 3 + , với t [ 3 ; 3]. t 6 Vì f’(t) > 0 , t [ 3 ; 3] => f(t) f( 3 ) = . 3 Dấu bằng xảy ra khi a =c = 0, b = 3 hoặc b =c = 0, a = 3 0,25
8. 6 Vậy Pmin = khi a =c = 0, b = 3 hoặc b =c = 0, a = 3 3 Ta có: 6 P = (a + b + c)2 – a2 – b2 - c2 + bc + ca + abc ab22 2 c 2 6 (a + b + c)2 - 3 + + 2 abc 6 (a + b + c)2 - 1 + 0,25 abc 6 Đặt t = a + b + c => t [ 3 ; 3]. Xét g(t) = t2 – 1 + , với t [ 3 ; 3]. t Vì g’(t) > 0 ,  t [ 3 ; 3] => g(t) g(3) =10. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy Pmax = 10 khi a = b = c = 1. 0,25 Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa.