Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 HÀ TĨNH Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. −+21x Câu 1.(2,5 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị là đường cong (C) và đường thẳng dy:2= x + m. x +1 Tìm m để d cắt (C)tại hai điểm AB, sao cho diện tích tam giác OAB bằng 7 (với O là gốc tọa độ). Câu 2. (2,5 điểm) Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Tính xác suất để bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số bậc ba f( x) =+ x32 ax ++ bx c với abc,,∈ R, biết 4ac+> 28 b + và 2abc+ 4 + 8 +< 10. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số gx( ) = f( x) . Câu 4. (2,5 điểm) Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và BCD =120 ° . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và SA= 2 a . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB,, SC SD lần lượt tại MNP, ,. Tính thể tích khối chóp S. AMNP . Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm fx′( ) =4 − x2 . Tìm m để hàm số 2 1 S y= fx( ++ x) m2ln x − nghịch biến trên khoảng (1; +∞). x Câu 6. (2,0 điểm) Phần trên của một cây thông Noel có dạng hình nón, đỉnh l S, độ dài đường sinh l = 2m và bán kính đáy r =1m. Biết rằng AB là một I đường kính đáy của hình nón và I là trung điểm đoạn thẳng SB (tham khảo A r hình vẽ). Để trang trí, người ta lắp một dây bóng nháy trên mặt ngoài của cây B thông từ vị trí A đến I. Tính độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy. Câu 7. (2,0 điểm) Cho phương trình xmx23+( + 2) += 4 ( m − 1) x + 4 x với m là tham số thực. Tìm m để phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu 8. (2,0 điểm) Cho hàm số y= fx( ) =++1 x2 x. Tìm m để bất phương trình 11+−x2 ( xmfxm−) ( −+) ≤0 nghiệm đúng với mọi x ∈−[ 1;1] . fx(11+−2 ) Câu 9. (2,0 điểm) Cho các số thực abc, ,∈[ 4;8] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 F=++− a222 b clog 3 ( abc ). 4 2 HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT HÀ TĨNH NĂM HỌC 2020-2021 - Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang) I. HƯỚNG DẪN CHUNG - Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và đủ các bước đều cho điểm tương ứng; - Ban Giám khảo có thể thống nhất phân chia các ý để cho điểm đến 0.25; - Điểm toàn bài không quy tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu NỘI DUNG Điểm Pt hoành độ giao điểm của d và (C) Câu 1 −+21x 2x2 + ( m + 4) xm + −= 1 0( *) 0.5 (2.5 đ) =2xm +⇔ ∆=m2 +24 > 0, ∀ mR ∈ . x +1  x ≠−1 ∆+m2 24 xx−= = ; yy−=22 x − x AB a 2 AB A B 0.5 5(m2 + 24) ABxx=( − )(22 + yy − ) = 5 xx −= AB AB AB 2 m d( O, AB) = 0.5 5 11m 5(m2 + 24) S∆OAB =7⇔=d( O , AB) . AB 7⇔ =7 0.5 2 225 42 ⇔mm +24 − 112 =⇔=± 0 m 2. 0.5 3 Gọi Ω là không gian mẫu. Ta có n(Ω=) C20 =1140. 1.0 Câu 2 Gọi A là biến cố rút được ba tấm thẻ sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số (2.5đ) tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. 0.5 Biến cố A xảy ra khi có các trường hợp sau: TH 1. Chọn ra 3 tấm thẻ ghi số liên tiếp có 18 cách. TH2. Chọn ra 3 tấm thẻ trong đó có đúng 2 tấm thẻ ghi số liên tiếp: Nếu hai tấm thẻ liên tiếp đó đánh số 1,2 và 19,20 thì có 17 cách chọn tấm thẻ còn lại. Nếu hai tấm thẻ đó bắt đầu từ cặp số 2,3 đến cặp số 18,19 thì mỗi cặp số sẽ có 16 cách chọn tấm thẻ còn lại. 0.5 Vậy TH 2 có 2.17+= 17.16 306 cách. Suy ra nA( ) =+=18 306 324 nA( ) 324 27 68 Suy ra PA( ) = = = , suy ra PA( ) =−=1 PA( ) 0.5 n(Ω) 1140 95 95 Ta có 4a− 2 bc +−>⇒ 80 f( − 2) > 0 Câu 3 11 1  1 0.5 (2.5 đ) 2a+ 4 b + 8 c + sao cho fp( ) > 0 x→+∞ 2 0.5 lim fx( ) = −∞ , nên tồn tại số q <−2 sao cho fq( ) < 0 x→−∞ 1
3. 11  Ta có fq( ). f(− 40 suy ra gx′( ) > 0 , suy ra gx( ) đồng biến trên (1; +∞) 0.5 Suy ra m≤ gx( ) với ∀x ∈(1; +∞)khi và chỉ khi mg≤=(10) 2
4. S Khi lắp dây bóng từ A đến I trên mặt nón sẽ có hai Câu 6 hướng, do tính đối xứng nên ta chỉ xét một hướng. (2.0đ) I Trải một nửa mặt nón lên mặt phẳng ta được một hình 0.5 A quạt (như hình vẽ) B Độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy bằng AI AB lm= π Cung là nửa đường tròn đáy nên AB ( ) 0.5 ll π Số đo góc ASB : α =AB = AB = 0.5 SA l 2 ⇒=AI SA22 + SI =5 ( m) 0.5 Điều kiện: x ≥ 0. Câu 7 Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, suy ra x > 0 , ta có (2.0đ) 0.5 44 xmxmxxxmx23+( + 2) += 4 ( − 1) + 4 ⇔+−( − 1) + + m +=2 0( 1) xx 4 4 xx2 − 4 Đặt xt+= xét tx()= x + ta có tx′()= , x x 24xx22+ 0.5 2 2 tt++2 Với t ≥ 2 phương trình (1) trở thành t−( m − 1) tm + +=⇔ 2 0 m = (2 ) t −1 tt2 ++2 tt2 −−23 Xét hàm số mt()= với t ≥ 2 ta có mt′()= t −1 (t − 1) 2 0.5 Dựa vào hai bảng biến thiên ta có: Phương trình đã cho có 4 nghiệm ⇔ phương trình (2) 0.5 có 2 nghiệm t > 2 . Suy ra 7<<m 8. Câu 8. 2 2 11 1 Ta xét fx(−) =11 +−( x) +−( x) = + xx − = = Vậy fx(−=) 0,5 (2.0đ) 1++xx2 fx( ) fx( ) 2 2 +− 11+−x (11x ) Suy ra ( xmfxm−) ( −) + ≤⇔0 ( xmfxm−) ( −) ≤− 2 2 fx(11+−) fx(11+−) 0,5 ⇔( xmfxm −) ( −) ≤−−( 11 − x22) f( −− 11 − x)( 1) = = +2 + = 22 ++ Xét gttftt( ) .1( ) ( tttt) 1 t 3
5. tt22 gt′( ) =1 ++ t2 +≥ 221 t + t 22 . += 22 t t + 2 t (BĐT Cauchy) 11++tt22 0,5 ⇒gt′( ) ≥2 t +≥ 20 t , Vậy hàm số gt( ) luôn đồng biến trên (1) ⇔gxm( −) ≤ g( −−11 − x2) ⇔ xm − ≤−−11 − x 22 ⇔ m ≥ x ++ 11 − x Để (1) luôn đúng ta phải có m≥ Max x ++11 − x2 [−1;1] ( ) x 1 0,5 Đặt hx()= x ++ 1 1 − x2 ⇒ h '( x) =− 1 . hx'0( ) =⇔= x 1− x2 2 Từ đó suy ra Max x++1 1 − x2 =+ 1 2. Vậy m ≥+1 2. [−1;1] ( ) 2 Xét hàm số fx( )=−+ x 48log2 x 80 trên [4;8] ta có Câu 9 48 (2ln 2) x2 − 48 24 (2.0đ) fx′()=−= 2 x ; fx′()=⇔= 0 x( = x) xxln 2 ln 2 ln 2 0 0.5 22 ⇒x −48log22 x + 80 ≤ 0 ⇒ x ≤ 48log xx − 80, ∀∈[ 4;8] 11 ⇒++−a222 b clog 3 ( abc ) ≤ 48( log a + log b + log c) − 240 − log3 (abc ) 442 222 2 0.5 11 ⇒++−a222 b clog 3 ( abc ) ≤ 48log ( abc ) − 240 − log3 (abc ) 4422 2 a, b , c ∈⇒[ 4;8] log222a ,log b ,log c ∈⇒[ 2;3] log2 (abc ) ∈[ 6;9] 1 Xét hàm số gx( )=−− 48 x 240 x3 trên [6;9] ta có 4 3 gx′( )= 48 − x2 ; gx′()=⇔= 0 x 8 4 0,5 Suy ra gx( )≤ 16 1 1 a222++− b clog 3 ( abc ) ≤48log (abc ) −− 240 log3 (abc ) ≤ 16 4 2 224 Dấu bằng xảy ra khi abc = 256 và log222abc , log , log nhận giá trị bằng 2 hoặc 3. 0.5 Suy ra ab= =8, c = 4; ac= =8, b = 4 hoặc cb= =8, a = 4 Vậy maxF =16 HẾT 4