Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Thái Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Thái Nguyên (Có đáp án)

1. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 UBND TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC: 2020 – 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Câu 1. (6,0 điểm) a) Tìm cực trị của hàm số y x 2x2 x 1. b) Cho hàm số y x7 m 2m 3 x4 m 2m2 5m 3 x2 2020 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên . Câu 2. (6,0 điểm) 6x 4 a) Giải bất phương trình 2x 4 2 2 x . 5x2 1 6 x b) Giải phương trình 32cos sin3x 3sin x . 2 Câu 3. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a , AD 3 a 2 , SA ABCD , SA 4a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD. a) Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN . b) Mặt phẳng đi qua hai điểm B , M và song song với AC . Biết mặt phẳng cắt các cạnh SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF . Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC (tam giác ABC không cân ). Gọi OI, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. AD( D BC ) là đường phân giác trong của BAC . Đường thẳng AD cắt đường tròn O tại điểm EE( A). Đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm K. Đường thẳng KA, KE cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm MNM,( AN; E). Đường thẳng ND, NI cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm PQP,( NQ; N). Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP. Câu 5. (2,0 điểm) u1 2020 Cho dãy số ()un với 20212020 . un 1 un 2020un un (*) a) Chứng minh limun . 20202020 2020 u1u2 un b) Tính lim  . u2 2020u3 2020un 1 2020 Trang 1
2. Câu 6. (1,0 điểm) Cho x , y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z 3. Chứng minh rằng: 3 x2 y2 z2 2 xy22 yz22 z 2 x2 3. ___ HẾT ___ Trang 2
3. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) Tìm cực trị của hàm số y x 2x2 x 1. b) Cho hàm số y x7 m 2m 3 x4 m 2m2 5m 3 x2 2020 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên . Lời giải a) Tìm cực trị của hàm số y x 2x2 x 1. y x 2x2 x 1 TXĐ: D . 2x 1x2 x 12 x 1 y 1 . x2 x 1x2 x 1 2x 1 0 y 0 x2 x 12 x 1 0 x2 x 1 2x 1 2 2 x x 1 2x 1 1 x 2 2 3x 3x 0 1 x 2 x 0 x 1 x 1 y 1. x ∞ 1 +∞ y' 0 + +∞ +∞ y 1 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 1, yCT 1. b) Cho hàm số y x7 m 2m 3 x4 m 2m2 5m 3 x2 2020 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên . y x7 m 2m 3 x4 m 2m2 5m 3 x2 2020 TXĐ: D . y 7x6 4m 2m 3 x3 2m 2m2 5m 3 x . y 0 7x6 4m 2m 3 x3 2m 2m2 5m 3 x 0 522 x 7x 4m 2m 3 x 2m 2m 5m 3 0 x 0 522 . 7x 4m 2m 3 x 2m 2m 5m 3 0 1 Trang 3
4. Hàm số nghịch biến trên y 0, x ( Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm). 1 có nghiệm bằng x 0 2m 2m2 5m 3 0 m 0  2m 5m 3 0 m 0 m 1 . 3 m 2 Thử lại: 7 6 Với m 0: y x 2020 y 7x 0 , x Hàm số nghịch biến trên . Với m 1: y x7 x4 y 7x6 4x3 . x 0 6333 y 0 7x 4x 0 x 7x 4 0 3 196 . x 7 3 196 Đặt x và x 0 . 1 7 2 x ∞ x1 x2 + ∞ y' 0 + 0 y 3 196 Hàm số đồng biến trên . ;0 7 3 Với m : y x7 2020 y 7x6 0 , x Hàm số nghịch biến trên . 2 3 Vậy m 0, m thì hàm số nghịch biến trên . 2 Câu 2: 6x 4 a) Giải bất phương trình 2x 4 2 2 x . 5x2 1 6 x b) Giải phương trình 32cos sin3x 3sin x . 2 Lời giải a) Điều kiện xác định: 2 x 2 . Trang 4
5. Do 2x 422 x 0,  2;2 nên bất phương trình đã cho tương đương với bất 2x 4 4 2 x 6x 4 6x 46x 4 phương trình 2x 4 2 2 x 5x2 1 2x 4 2 2 x 5x2 1 6x 45 x2 1 2x 422 x 0 (*). 22 Ta có 2x 422 x 2 x 4 242 x 122 x 442 x 24 Suy ra 2x 422 x 24 5,x 2;2 2 2 Mặt khác 5x 1 5,x 2;2 , do đó 5x 1 2x 422 x 0, x 2;2 . 2 Do đó (*) 6x 4 0 x . 3 2 Đối chiếu với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S 2; . 3 6 x b) Giải phương trình: 32cos sin3x 3sin x . 2 3 6 x 2 x 3 Ta có 32cos sin3x 3sin x 32 cos 3sinx 4sin x 3sin x 2 2 3 4 1cos x 4sin 3 x 0 1cos x sin x sinx cos x 1 x k2 2 44 x k2 sin x 2 k . 4 2 3 x k2 x k2 44 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x k2; x k 2 k . 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3 a , AD 3a 2 , SA ABCD , SA 4a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD. 3. Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN . 4. Mặt phẳng đi qua hai điểm B , M và song song với AC . Biết mặt phẳng cắt các cạnh SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF . Lời giải Trang 5
6. 1. Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng BMN . DC3 a 1 AB3 a .2 tan A1 ; tanN1 2 AD 3a 22 AN 3a 2 tanA1.tan N1 1 A1 N1 90 A1 N1 90 AC BN . AC BN Ta có: AC BMN AC, BM N 90 . AC M N MN // SA 2. Mặt phẳng đi qua hai điểm B , M và song song với AC . Biết mặt phẳng cắt các cạnh SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF . Trong (SAC) qua H kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC tại T. Vì HT // MN (//SA) T . Trong (BMN) gọi R HT EF . Trong (SAC) qua R kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA, SC theo thứ tự tại E, F.  BEMF . Kẻ HK BM,N Q BM HK // NQ . Vì AC // EF , EF  d C, d H, HK BM Ta có: HQEF HQ AC , AC // EF NQ BEMF d H, HK d C, HK 9a2 3a 3 BN AB 2 AN2 9a 2 2 2 Trang 6
7. AB2 3 a 2 AB2 BH.BN BH a 6 BN 3 1112135 6a 3 NQ NQ2NB2NM227a24 a2108a2 35 HKBH NQ.BH Ta có: HK NQBNBN 4a 3 d C, HK . 35 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC (tam giác ABC không cân ). Gọi OI, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. AD( D BC ) là đường phân giác trong của BAC . Đường thẳng AD cắt đường tròn O tại điểm EE( A). Đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm K. Đường thẳng KA, KE cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm MNM,( AN; E). Đường thẳng ND, NI cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm PQP,( NQ; N). Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP. Lời giải Từ bài toán, chú ý AB, AC AI NI là phân giác góc BNC P là điểm chính giữa BAC EQ là đường kính của O IN KE KMKA. KNKE . KI 2 IM KA IMKN nt KI QNM AKI 111 Có BKN sCE d sBNd sNE d BAN 222 ADNKnt AKD AND Trang 7
8. Lại có IKD 900 IDK 900 IAC ACB 111 111 1 sdQBE sdCE sd AE sdQBE sdBE sd AB sdAQ ANQ 222 222 2 AKI INQ MNI INP Q là điểm chính giữa MP Mà QE là đường kính EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP. u 2020 Câu 5: Cho dãy số với 1 . ()u 2021 2020 n u u 2020u u (*) n 1 nnn c. Chứng minh . lim un 2020 20202020 u1u2 un d. Tính lim  . u2 2020u3 2020un 1 2020 Lời giải a. Từ giả thiết dễ dàng suy ra với mọi . Do đó ta có với mọi un 0 n 1 un 1 un 2020 . Hay ta có dãy đơn điệu tăng. Suy ra n 1 ()un lim u n limu a 2020 n Giả sử . Qua giới hạn hai vế của (*) ta được limun a 2020 a a2021 2020a 2020 a . Điều này tương đương a 0 hoặc a 2020 (Vô lý) Vậy . lim un b. Từ điều kiện (*) ta có với mọi k 1 20212020 uk 1 uk 2020uk uk 2020 . uk(uk 2020) uk 1 uk Từ đó suy ra u2020u 2020(u 2020) u u k kk k 1 k uk 1 2020( uk 1 2020)(uk 2020) (uk 1 2020)(uk 2020) 11 uk 2020uk 1 2020 2020 20202020 u1u2 un Suy ra lim  u2 2020u3 2020un 1 2020 111111 lim  u1 2020u2 2020u2 2020 u3 2020 un 2020un 1 2020 Trang 8
9. 11 1 lim . u1 2020un 1 2020 4040 Câu 6: Cho x , y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z 3. Chứng minh rằng: 3 x2 y2 z2 2 xy22 yz22 z 2 x2 3. Lời giải Vì x , y , z vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử x y z . Suy ra xyz 3x 33 x x 1 * . Ta có 3 x2 y2 z2 2 xy22 yz22 z 2 x2 3 3 x2 y2 z2 2 xy22 yz22 zx2 2 30 3 x2 3 y2 z2 2x2 y2 z2 2y2 z 2 3 0 y2 z2 32 x2 2yz22 3x 2 30 yz 2 32 x 2 2 yz 32 x2 2 yz22 3 x2 3 0 1 Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương y và z ta được: 222 yz 3 x 3 x yz yz 2 2 2 24 2 2 3 x 2 3 x 2 VT 1 3 x 32 x 2 32 x 2 3x 3 f x 2 2 24 2 2 3 x 2 3 x 2 Xét fx 3 x 32 x 2 32 x 2 3x 3 2 2 12214212 2961 2 2 3 x 32 x 3 x 3x 3 3 x 32 x x x 3x 3 282 444 12 9233 2 12 3 3 x x x 3x 3 3 x .1 x 3x 1 3 x 1 x 1 2 424 24 3 33 2 1 x 96 xx 2 3 x 1 31 x 1 x 3x3 17x2 13 x 1 1 x 3x2 14x 1 8 88 Mà 3x2 14x 131 x x 11 x 1 0 với x 0;1 3 2 Vậy 1 x 3x2 14x 1 0 với x 0;1. 8 Từ đó suy ra f x 0 với x 0;1, hay VT 1 0 với x 0;1. Đẳng thức xảy ra khi x y z 1. ___ HẾT ___ Trang 9