Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS SỐ BÁO DANH: Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 05 câu Câu 1 (2,0 điểm).  x+2 11 + xx 3 ++ 2 1 1  a. Rút gọn biểu thức A = +−:   x++23 7 − x xx−3 ++ 22 x + 2 (với x >−2và x ≠ 7) b. Giải phương trình xx+44 −+ xx − 444. −= Câu 2 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y=+≠ ax b ( a 0) đi qua điểm A(1; 4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ). a. Viết phương trình đường thẳng (d ) sao cho biểu thức OA++ OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. OB. OC b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = . BC Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng, cho hai điểm BC, cố định với BC=2 a ( a > 0) và A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng đi qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác của các góc AMB và AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC. a. Giả sử AC= 2 AB , tính số đo góc BQC . 3 PD MP b. Chứng minh rằng = . QE MQ c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. Câu 4 (1,0 điểm). Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc++=2. 222 ab+++ bc ca ( abc−−−111) ( ) ( ) ++≤ + + Chứng minh rằng 4. ab+++ bc ca b c a  Câu 5 (2,0 điểm). a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước dương 2 của nó (kể cả 1và n) bằng n + 3.Chứng minh rằng nếu pq (với pq, là các số nguyên tố khác ( ) nhau) là số điều hòa thì pq + 2 là số chính phương. b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( xy, ) thỏa mãn x3322+=++ y x y42 xy . HẾT
2. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN LỚP 9 THCS Đáp án này gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung a. Rút gọn biểu thức  x+2 11 + xx 3 ++ 2 1 1  A = +−:  − 2,0 1  x++23 7 x xx−3 ++ 22 x + 2 điểm (với x >−2và x ≠ 7) b. Giải phương trình xx+44 −+ xx − 444. −= 2 Đặt x+=2 tt ( > 0, t ≠ 3) ⇒=x t − 2 0,25 Khi đó 22 t t+9 311 t +  t (3) − tt + + 9   31 t +−+ t 3 0,25 A = + 22::−=2  2  t+−39 t ttt − 3  9 − t   tt −3  1a 3(t+ 3) tt ( −− 3) 3 t = . = 0,25 (3−+t )(3 t) 2( tt + 2) 2( + 2) −+32x Vậy A = 0,25 2(x ++ 2 2) Điều kiện: x ≥ 4 Ta có xx+44 −+ xx − 444. −= ⇔ −+ −++ −− −+ = xx44 44 xx 44 444 0,5 ⇔(xx −+ 4 2)22 + ( −− 4 2) = 4 1b ⇔xx −++42 −− 42 = 4 Nhận xét xxx−++42 −−≥ 42 −++− 422 x − 4 = 4 Đẳng thức xảy ra khi 0,25 (xx−+ 4 2)(2 −−≥⇔−−≥ 4) 0 2 xx 4 0 (Do −+> 4 2 0) ⇔xx −≤⇔≤42 8 Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 1
3. Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là 48≤≤x 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y=+≠ ax b (a 0) đi qua điểm A(1; 4) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B và C (khác O ). a. Viết phương trình đường thẳng (d ) sao cho biểu thức OA++ OB OC 2,0 2 đạt giá trị nhỏ nhất. điểm OB. OC b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = . BC Do (d ) đi qua điểm A nên a+=⇒ b4:( d) y = ax +− 4 a a − 4 a − 4  > 0 0,25 Ta có B;0 , Ca(0; 4− ) theo bài ra thì  a ⇒ a a − 4 OB =, OC = 4 − a a 0,25 ++ + 2a Ta cóOA OB OC nhỏ nhất khi OB OC nhỏ nhất (vì OA không đổi) a −−44 − 4 OB+ OC = +−=++−≥+4a 5 ()52a .()9 −≥a aa a OA++ OB OC nhỏ nhất bằng 9+ 17 khi và chỉ khi 0,25 −4 −=a ⇔ a =−2 ( do a 0) và 3,0 3 A thay đổi sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của điểm Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 2
4. BC ; đường thẳng qua A vuông góc AM cắt các đường phân giác các góc AMB và AMC lần lượt tại PQ, . Gọi D là giao điểm của MP với AB và E là giao điểm của MQ với AC. a. Giả sử AC= 2 AB , tính số đo góc BQC . 3 PD MP b. Chứng minh rằng = . QE MQ c. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. Q A 0,25 P E D 3a B C H M Ta có MA= MC và ME là phân giác của góc AMC nên ME là đường trung 0,25 trực của đoạn AC ⇒=QA QC và QEC = 900 vì MQ là đường trung trực của đoạn AC và AM⊥ AQ nên MC⊥ QC 0,25 Xét hai tam giác vuông ABC và ECQ có ACB= EQC (cùng phụ góc QCE ) và AB= EC (vì 22EC= AC = AB ) 0,5 ⇒∆ABC =∆ ECQ ⇒ CQ = CB hay tam giác BCQ vuông cân tại C, do đó BQC = 450 Ta có MP, MQ là các đường phân giác của các góc AMB và AMC nên MP⊥ MQ 0,25 Tương tự chứng minh câu a ta được AD⊥⊥ MP, AE MQ Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông APM với đường cao AD 2 ta có PD. PM= PA (1) 3b Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông AQM với đường cao AE 2 0,25 ta có QE. QM= QA (2) PD QM. PA2 Từ (1) và (2) suy ra = (3) QE PM. QA2 Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông MPQ với đường cao MA 2 2 0,25 Ta có PA. PQ= PM (4) và QAQP. = QM (5) Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 3
5. PA PM 2 Từ (4) và (5) suy ra = 2 (6) QA QM 3 PD MP Từ (3) và (6) suy ra = (ĐPMC ) 0,25 QE MQ Vì MQ là trung trực của đoạn AC và MP là trung trực của đoạn AB 0,25 suy ra CQ= QA, BP = AP và BCQP là hình thang vuông (BP+ CQ). BC PQ. BC BC 2 Do đó Sa= = ≥=22 (*) 0,25 BCQP 2 22 AH BC AM BC 3c Kẻ AH vuông góc BC thì Sa=≤=2 ( ) ABC 22 Từ (*) và ( ) suy ra S+ S = S − S ≥2. aaa22 −= 2 ABP ACQ BCQP ABC 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi HM≡ , khi đó khi tam giác ABC vuông cân tại A. 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP là a . Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc++=2. CMR: 222 1,0 ab+++ bc ca ( abc−−−111) ( ) ( ) ++≤ + + điểm 4. ab+++ bc ca b c a  bca abc Ta có ++=++ (1) ab+++ bc ca ab +++ bc ca Thật vậy, xét bcaabc 0,25 ++−−− ab+++ bc ca abbc +++ ca =−+−+−=bacbac0 Ta chứng minh bất đẳng thức sau : Với xy, là các số thực và ab, là các số x22 y() xy+ 2 dương , ta có +≥ (*) 0,25 a b ab+ 4 22 22 Thật vậy (*0) ⇔+(a b)( bx + ay) ≥ ab( x + y) ⇔( ay − bx) ≥ (BĐT đúng) 222 ( abc−−−111) ( ) ( ) Áp dụng BĐT (*), ta có ++ bca 1 (ab+− 2)222 ( bc +− 2) ( ca +− 2) ≥ ++ . 2 bc+++ ca ab 0,25 222 ( abc−−−111) ( ) ( ) 1 cab ⇔ + + ≥ ++ (2) b c a2  bc++ ca ab + ( vì abc++=2) Từ (1) và (2) suy ra 222 ( abc−−−111) ( ) ( ) 1 bc++ ca ab + 0,25 ⇔ + + ≥ ++ b c a4  bc++ ca ab + Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 4
6. 222 ab+++ bc ca ( abc−−−111) ( ) ( ) ⇔ ++≤4 + + (ĐPCM ) ab+++ bc ca b c a  a. Số nguyên dương n được gọi là số điều hòa nếu tổng các bình phương 2 của các ước dương của nó (kể cả 1và n) bằng (n + 3.) Chứng minh rằng nếu pq (với pq, là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì pq + 2 2,0 5 là số chính phương. điểm b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương( xy, )thỏa mãn x3322+=++ y x y42 xy . Ta có pq có các ước dương là 1,pq , và pq 22 22 0,25 Vì pq là số điều hòa nên ta có 13+++p q( pq) =( pq +) 2 5a ⇔p22 + q =68 pq +⇔( p − q) = 4( pq + 2) 0,25 Vì 4 là số chính phương nên từ đẳng thức trên suy ra pq + 2 cũng là số chính 0,25 phương. (ĐPCM) Gọi d= ( xy, ) là ước chung lớn nhất của x và y Suy ra x= da, y = db với dab,,∈= * ,( ab ,) 1 Ta có x3322+=++ y x y42 xy 0,25 ⇔d33( a + b 3) = d 22( a ++ b 242 ab) ⇔d( a + b)( a2 −+ ab b 2) =++ a 22 b42 ab ⇔(da +− db1)( a22 −+ ab b) =43 ab Đặt c=+− da db1, ( c ∈ ) Ta viết lại a22 c−+= abc b c43 ab Từ đó suy ra b| ca2 và a|cb2 ⇒ bc| và a|c Do đó (ab) |, c⇔= c mab m ∈ * 0,25 5b a22−+= ab b 1 ⇒22 −+ =⇒22 −+ ⇒ m( a ab b ) 43 (a ab b ) | 43  22 a−+= ab b 43 TH1: a22−+= ab b 1, khi đó 1−=−≥ab ( a b )02 0,25 Suy ra ab==⇒=1 d 22 . Do vậy ( xy,) = ( 22,22) TH2: a22−+= ab b 43 Do tính đối xứng của xy, , ta giả sử xy≥⇒≥ ab 0,25 Do đó 43 =a22 − ab + b ≥ ab ≥ b 2 ⇒∈ b {1,2,3,4,5,6} . Thay b =1 thì a = 7 và d =1 suy ra ( xy,) = ( 1, 7) ,( 7,1) Thay b = 2,3,4,5, thì không tồn tại số nguyên dương a thỏa mãn. 43 0,25 Thay b = 6 thì a = 7 và d = (không thỏa mãn) 13 Thử lại, ta có các cặp giá trị cầm tìm là ( xy,) = ( 22,22) ,(1, 7) ,( 7,1) . Đáp án Toán 9 năm học 2020-2021 Page 5