Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Sơn Động (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Sơn Động (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN SƠN ĐỘNG NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN LỚP 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12/04/2023 (Đề thi có 03 trang) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) 1 3 16 Câu 1. Giá trị của biểu thức A =20230 −−+ là 2 5 25 17 19 53 63 A. . B. . C. . D. . 10 10 50 50 Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của AC và BD , biếtOA= OC = OB = OD , cho AB 16 = và CD= 32 cm , BD=127,5cm. Chu vi hình chữ nhật ABCD là OB 17 A. 184cm . B. 92cm . C. 196cm . D. 204cm . 47− 2 Câu 3. Giá trị x thỏa mãn +=−x là 39 7 154 66 −66 189 A. − B. C. D. 189 49 49 154 Câu 4. Cho các dãy dữ liệu sau, dữ liệu nào là dữ liệu định lượng? A. Các loại xe máy được sản xuất: Honda, Yamaha, B. Các môn thể thao được học sinh yêu thích: bóng đá, cầu lông, C. Điểm trung bình môn Toán của một số bạn học sinh: 5,5; 6,5, 7,8; D. Các loại màu mực của bút viết: xanh, đen, đỏ, Câu 5. Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; xx12, là hai giá trị bất kì của x ; yy12, là hai giá trị tương 22+= = = ứng của y. Biết yy1252 và xx122, 3. Giá trị của y1 là A. 4 và −4 B. 6 và −4 C. −4 và −6 D. −6 và 6 Câu 6. Giá trị biểu thức: A= 7 xy2 – 5 xy 2−+11 xy 2 –10 xy 2+ 15 xy 22 4 xy − 2023 tại xy=1, =− 0, 5 là A. 0. B. 1. C. −2023 D. 2023 Câu 7. Nếu xx+33 =( ≥− 3) thì −+21x2 bằng A. 1 B. −71 C. 73 D. −1 Câu 8. Cho tam giác ABC có 463ABC= =  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AC>> AB BC B. AC>> BC AB C. AB>> BC AC D. AB>> AC BC Câu 9. Cho hai đa thức P( x) = x2( x +− 6) xx ( 22 −− 2) 5 x + 1 và Qx( ) =−52362 x22 + x −++ x x − Khi đó: Px( ) –? Qx( ) = A. −+4x 6. B. −+5x 6. C. −−x 4. D. −+x 6. Câu 10. Cho biết Mx( ) +(2532 x22 +=− x) x x. Tổng các nghiệm của thức Mx( ) bằng: A. 0. B. 7. C. 1. D. 8. Câu 11. Trong đợt ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7, bạn Nam đã giải một số bài toán trắc nghiệm. Sau khi thầy giáo kiểm tra kết quả thì có một số câu sai. Nếu bạn Nam sửa hai câu từ đáp án sai thành đáp án đúng thì tỉ lệ số câu đúng của bạn bây giờ là 76% . Nếu bạn Nam bỏ hẳn hai câu đó thì tỉ lệ số câu đúng của bạn là 75% . Hỏi trong đợt ôn thi bạn Nam đã giải bao nhiêu bài toán trắc nghiệm?
2. A. 150. B. 100. C. 200. D. 20. Câu 12. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( xy, ) thỏa mãn x++ y xy =2 ? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. 2 Câu 13. Giá trị lớn nhất của biểu thức Mx=−−53( 2 ) là A. 3. B. 5. C. 8. D. 2. 00 Câu 14. Cho tam giác ABC có BA =80 , = 36 . Tia phân giác BAC cắt BC tại D . Số đo ADC là A. 900 B. 880 C. 820 D.980 x++2022 x 2021 xx + 1 Câu 15. Cho x thỏa mãn + ++ +=−2023 . Số nghịch đảo của x là 1 2 2022 2023 −1 1 A. x = 2023 B. x = C. x = −2023 D. 2023 2023 Câu 16. Cho ∆ABC đều độ dài cạnh là 6cm . Kẻ AI vuông góc với BC tại I, đường thẳng BM (M∈ AC) cắt AI tại K. biết MA=3cm và KI= 3 độ dài cạnh AI là B. 3.cm A. 32cm C. 33cm D. 63cm Câu 17. Cho ∆ABC có AB=5 cm , AC = 10 cm . Biết độ dài cạnh BC (đơn vị cm) là một số nguyên. Hỏi độ dài cạnh BC có thể nhận được bao nhiêu giá trị? A. 10. B. 8. C. 11. D. 9. Câu 18. Để xúc cát lên các xe tải, người ta dùng một máy xúc với gàu xúc (Hình 1) có dạng gần như một lăng trụ đứng tam giác kích thước như Hình 2. Nếu coi dung tích của gàu xúc đúng bằng thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác thì muốn xúc 60m3 cát xe phải múc ít nhất bao nhiêu gàu? A. 62. B. 63. C. 64. D. 60. 2 Câu 19. Biết ( xy, ) là cặp số thỏa mãn ( xy−++≤1) 3 12 0. Khi đó 52xy− bằng: A. 13. B. −13. C. −3. D. 3. Câu 20. Cho hai đa thức : f( x) = ax + b; g () x = x2 −+ x 1 biết fg(12) = ( ) . Khi đó ab+ bằng: A. −3. B. 3. C. 1. D. 7. PHẦN II. TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1. (5,0 điểm) 420 .25 20 9 17 9− 6 1) Tính giá trị biểu thức: A = −⋅ +⋅ 1040 11 23 11 23
3. 2xx2 +− 31 2 2) Tính giá trị của biểu thức sau: A = với x −=1 32x − 3 75xy++ 75 zt xz 3) Cho = . Chứng minh: = . 37xy−− 37 zt yt Bài 2. (4,0 điểm) 2 1) Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. Trong đó, số học 3 8 4 sinh của nhóm I bằng số học sinh của nhóm II và bằng số học sinh nhóm III. Biết rằng số 11 5 học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm. 2 2) Tìm số tự nhiên xy, thỏa mãn 7( xy−=− 2023) 23 2 . Bài 3. (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME= MA . a) Chứng minh AC// BE . b) Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng AC, K là một điểm trên đoạn thẳng EB sao cho AI= EK . Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. 2) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 200 . Vẽ tam giác đều BCD sao cho điểm D nằm trong tam giác ABC. Tia phân giác của ABD cắt AC tại M. Chứng minh AM= BC . abc Bài 4. (1.0 điểm) Cho ba số dương 01≤≤≤≤abc . Chứng minh rằng: ++≤2 bc+++111 ac ab Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN SƠN ĐỘNG VĂN HÓA CẤP HUYỆN NGÀY THI 12/04/2023 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN LỚP 7 Bản hướng dẫn chấm có 05 trang A- TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Mỗi câu học sinh chọn đúng đáp án được 0,3 điểm CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN 1 A 11 C 2 12 C 3 B 13 B 4 C 14 D 5 D 15 B 6 C 16 7 B 17 D 8 C 18 B 9 D 19 A 10 B 20 B B- TỰ LUẬN (14 điểm) Bài Hướng dẫn giải Điểm Bài 1 (5.0 điểm) 420 .25 20 9 17 9− 6 Tính giá trị biểu thức: A = −⋅ +⋅ 1040 11 23 11 23 420 .25 20 9 17 9− 6 240 .5 40 9 17 6 A = −⋅ +⋅ =−+ 1,0 1040 11 23 11 23 240 .5 40 11 23 23 1 9 (2,0 điểm) =1 − .1 0,5 11 2 = 0,25 11 2 Vậy A = 0,25 11 2xx2 +− 31 2 Tính giá trị của biểu thức sau: A = với x −=1 32x − 3 2 25 xx−=1 = (2,0 điểm) 2  Ta có: x −=1 ⇒33 ⇔ 3 21 0,75 xx−=−1 = 33
5. 5 86 Thay x = vào biểu thức A ta tính được A = 0,5 3 27 1 2 Thay x = vào biểu thức A ta tính được A = − 0,5 3 9 KL: 0,25 75xy++ 75 zt xz Cho = . Chứng minh: = . 37xy−− 37 zt yt 75xy++ 75 zt Đặt: = = k 37xy−− 37 zt 0,25 xk75+ 3 ⇒ 7x + 5y = k(3x – 7y) ⇒ (3k – 7) x= (7k + 5)y ⇒ = (1) (1,0 điểm) yk37− 0,25 zk75+ Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t) ⇒ (3k – 7)z = (7k + 5)t ⇒ = (2) tk37− 0,25 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 0,25 Bài 2 (4,0 điểm) Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương) 284 0,25 Theo bài ra ta có: x= yz = và y+− z x = 18 3 11 5 2 8 4 2.x 8.y 4.z x y z Từ x= yz = ⇒ = = ⇒== 0,5 3 11 5 3.8 11.8 5.8 12 11 10 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 1 x y z y+− z x 18 0,5 = = = = = 2 (2,0 điểm) 12 11 10 11+− 10 12 9 x= 12.2 = 24 (t / m)  ⇒=y 11.2 = 22( t / m) 0,5  z= 10.2 = 20( t / m) Vậy: Nhóm I có 24 học sinh; nhóm II có 22 học sinh, nhóm III có 20 học 0,25 sinh. 2 2 Tìm số tự nhiên xy, thỏa mãn 7( xy−=− 2023) 23 . 2 2 Vì 7( x −≥ 2023) 0 mà 7( xy−=− 2023) 23 2 ⇒−≥23y2 0 ⇒≤y2 23 0,5 2 2 ⇒≤y 23 do y ∈ ⇒∈y {0;1; 2;3; 4} (2,0 điểm) 0,5 Vì 7 là số nguyên tố ⇒−23y2  7 . Suy ra y ∈{3; 4} 2 2 + Với y = 3 ⇒−7( x 2023) = 14 ⇒−( x 2023) = 2 (loại) 0,25
6. 2 2 + Với y = 4 ⇒−7( x 2023) = 7 ⇒−( x 2023) = 1 0,25 xx−=−=2023 1 2022 ⇒⇒ (thỏa mãn) 0,5 xx−=2023 1 = 2024 Vậy (xy , )∈{( 2022;4) ;( 2024;4)} 0,25 Bài 3 (4.0 điểm) - Vẽ hình và viết GT – KL đúng A I B C M K a (1,5 điểm) E a) Xét ∆AMC và ∆EMB có: MC= MB (gt), AMC= EMB (hai góc đối đỉnh), MA= ME (gt) 0,75 ⇒∆AMC =∆ EMB (c.g.c) ⇒=CAM BEM (hai góc tương ứng) 0,75 Mà CAM và BEM là hai góc so le trong nên AC// BE (đpcm). b) Do ∆=∆AMC EMB (c.g.c) ⇒= AMI EMK (hai góc tương ứng) (1) Xét ∆AMI và ∆EMK có: AI= EK (gt), IAM = KEM (theo ý a), MA= ME (gt) 0,75 ⇒∆AMI =∆ EMK (c.g.c) b += 0 Mà AMK EMK 180 (hai góc kề bù) (2) 0,25 (1,5 điểm) +=⇒ 00 = Từ (1) và (2) suy ra AMK IMA180 IMK 180 0,25 Hay ba điểm I, M, K thẳng hàng (đpcm). 0,25
7. A M O D 2 B C (1,0 điểm) Chứng minh ∆=∆ADB ADC (c.c.c) suy ra DAB = DAC 00 Do đó DAB =20 : 2 = 10 0,25 + ∆ABC cân tại A, mà BAC = 200 (gt) nên ABC =−=(18000 20 ) : 2 80 0 + ∆BCD là tam giác đều nên DBC = 600 + Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD =−=8000 60 20 0. 0,25 + Tia BM là phân giác của ABD nên ABM =100 + Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD =2000 ; ABM = DAB =10 0,25 Vậy: ∆=∆ABM BAD (g.c.g) Suy ra AM= BD , mà BD= BC (tam giác ABC đều) nên AM= BC 0,25 Bài 4 (1 điểm) Vì 01≤≤≤≤abc nên: 11 cc (a−−≥⇔+≥+⇔≤⇔≤1)( b 1) 0 ab 1 a b (1) ab++11 a b ab ++ a b 0,5 aa bb Tương tự: ≤≤(2) ; (3) bc++11 b c ac ++ a c a b c abc Do đó: + + ≤++ (4) 0,25 bc+111 ac + ab ++++ b c a c a b (1,0 điểm) Mà: abc222 a b c ++≤ + + bc+++++++++ ac ab abc abc abc 0,25 2(abc++) = = 2 (5) abc++ abc Từ (4) và (5) suy ra : ++≤2 0,25 bc+++111 ac ab Tổng (14 điểm)
8. Lưu ý khi chấm bài: + Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. + Với bài 3 nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm