Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ( Đề gồm có 01 trang) xxx2 1 1 2 x 2 Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức P 2: 2 xx 2 1 xx 1 xx a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P 1 b) Tìm x để P 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1 Bài 2: (4.0 điểm) 2 2 x3 x3 7(x2 9) a) Giải phương trình: 6 2 x 2 x 2 x 4 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Ax 3 y 3 z 3 3 xyz Bài 3: (4.0 điểm) a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : ab5 5 c 5 abc chia hết cho 30. b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2 y 2 3 xy 3 x 5 y 15 Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC phân giác AD. Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx 1 sao cho BCX = BAC . Cx cắt AD tại E ; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng : 2 a) ΔABD đồng dạng với ΔCED b) AE2 > AB.AC c) 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d) Trung trực của BC đi qua E 1 1 1 Bài 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn : 2 . Tìm giá trị 1 a 1 b 1 c lớn nhất của biểu thức Q = abc - Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Đáp án này gồm có 04 trang Câ Nội dung Điể u m Bài Câu a) ĐKXĐ x 0; x 1 0,25 x x 1 x 1 1 P : (4đ x 1 2 x( x 1) 0,5 ) x x 1 x( x 1) 2  x 1 x 1 x2 0,75 x 1 1 x2 1 Câu b) P P với x ĐKXĐ 0,25 2 x 1 2 - HS tìm được x = 1/2 0,5 1 1 Vậy P x (TMĐK) 0,25 2 2 Câu c) x2 x 2 1 1 x 1 x 1 1 1 P x 1 xx 1 1 x 1 x 1 1 1 Px 1 x 1 2 x 1 x 1 0,5 1 Vì x > 1 nên x 1 0 và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 x 1 1 1 1 và ta có: x 1 2 x  1 2 x 1 x 1 x 1 0,25 1 Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = x 1  ( x – 1)2 = 1  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )  x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2 0,25
3. 2 2 Bài x3 x3 7(x2 9) 2 Câu a) 6 . x 2 x 2 x2 4 (4đ ) Điều kiện: x 2 . 0,25 x 3 x 3 Đặt u, v , phương trình đã cho trở thành x 2 x 2 u2 6v 2 7uv u2 uv 6v 2 6uv 0 u(u v) 6v(u v) 0 (u v)(u 6v) 0 u = v hoặc u = 6v. 0,75 x 3 x 3 - Xét u = v ta có: x 2 x 2 x2 3x 2x 6 x 2 3x 2x 6 10x = 0 x 0 (TMĐK). 0,5 x 3 x 3 - Xét u = 6v ta có: 6. x 2 x 2 2 2 x 3x 2x 6 6x 18x 12x 36 5x2 35x 30 0 x2 7x 6 0 x2 x 6x 6 0 x(x 1) 6(x 1) 0 (x 1)(x 6) 0 x = 1 (TMĐK) hoặc x = 6 (TMĐK) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 0;1;6 0,5 Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích được Ax 3 y 3 z 3 3 xyz = (x+y)3- 3xy(x+y) +z3-3xyz 0,5 = (x+y+z)3 - 3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z) 0,5 = (x+y+z)[(x+y+z)2-3(x+y)z-3xy] 0,5 = (x+y+z)(x2+y2+z2 -xy -yz -zx) 0,5 Bài Câu a) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng : 3 ab5 5 c 5 abc chia hết cho 30. (4đ - Học sinh biến đổi được ) a5 - a = (a -2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) 0,75 - Học sinh lập luận được a5 - a chia hết cho 30 0,75 - Tương tự: b5 - b và c5 -c chia hết cho 30. Kết luận. 0,5
4. Câu b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2 y 2 3 xy 3 x 5 y 15 - Học sinh biến được về dạng (x +y +2)(x+2y+1) = 17 0,75 - HS lập luận được (x +y +2) và (x+2y+1) là các biểu thức nguyên và xét được bốn trường hợp 0,25 HS tìm được bốn nghiệm (x;y) = (30;-15); (-18;17); (12;-15); (-36;17) 1,0 Bài 4 (6đ ) A B D C I E 1,5 a) Xét ABD và CED có: 1 BAD BCE ( BAC ) 2 ADB CDE (đối đỉnh)=> ABD CED (g -g)  1,0 b) Xét ABD và AEC có: 1 BAD EAC ( BAC ) 2 0,5 ABD AEC ( ABD = CED)
5. => ABD  AEC (g-g) 0,5 AB AE => => AB.AC = AD.AE AB.AC 0,5 c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực của BC qua E. +) ABE  ADC 0,5 AB AD BAD DAC ; ( AD.AE = AB.AC) AE AC => ABE  ADC (c.g.c) => AEB ACB 0,5 + ) BDE; ADC BDE ADC (đối đỉnh) BED ACD 0,5 => BDE  ADC (g-g) => DBE DAC BCE => BEC cân tại E => Trung trực BC qua E 1 1 1 Bài Ta có: 1 1 5 1 a 1 b 1 c (2đ b c bc = 2 ) 1 b 1 c (1 b )(1 c ) 0,5 Tương tự: 1 ac 1 ab 2 ; 2 1 b (1 ac )(1 ) 1 c (1 a )(1 b ) 1 abc2 2 2 8 (1 abc )(1 )(1 ) (1 abc )(1 )(1 ) 1 abc 8 (1 abc )(1 )(1 ) (1 a )(1 b)(1 c ) 1 => abc 0,75 8 a b c Dấu "=" xảy ra 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c a = b = c = 1 2 0,5
6. Vậy giá trị lớn nhất của Q là 1 khi a = b = c = 1 8 2 0,25