Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Kỳ Anh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Kỳ Anh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KỲ ANH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) PHẦN I. Thí sinh ghi kết quả vào bài làm. 42 Bài 1: Giải phương trình: xx−2 −= 80 Giá mở cữa Giá cước các Giá cước từ Bài 2. Bảng giá cước Taxi Mai Linh như sau: (0,6 km) km tiếp theo km thứ 31 5000 đồng 15000 đồng 12000 đồng Tính số tiền phải trả nếu đi quảng đường dài 60 km. 2 x2 y 22−+ x y 2 xy =−+− ⋅ Bài 3. Rút gọn biểu thức: P 2 22 2 x x+ xy xy xy+ y x ++ xy y Bài 4. Khi chia đa thức f(x) cho các đa thức x − 2 và x − 3 thì được dư lần lượt là 5 và 7. Nếu chia đa thức f(x) cho xx2 −+56 thì được thương là x2 −1. Tìm đa thức f(x)? Bài 5. Cho dãy số viết theo quy luật như sau: 5; 7; 11; 19; . Viết biểu thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số trên? Bài 6. Cho các số dương a, b thỏa mãn a33+= b68 ab −. Tính giá trị của biểu thức: Ca=−+54 b 3 Bài 7. Xã A tổ chức giải giao hữu bóng đá theo hình thức thi đấu vòng tròn một lượt. Mỗi trận đấu, đội thắng được tính 3 điểm, đội hòa được tính 1 điểm và đội thua không có điểm nào. Kết thúc giải, Ban tổ chức nhận thấy số trận thắng gấp ba số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 330 điểm. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội tham gia? Bài 8. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 −− xy2021 x + 2022 y − 2023 = 0 Bài 9. Mảnh vườn có dạng hình thang biết độ dài hai đáy lần lượt là 5m, 15m và độ dài hai đường chéo lần lượt là 16m và 12m. Tính diện tích mảnh vườn trên? Bài 10. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm G cắt AB AC các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F. Tính giá trị của biểu thức + AE AF PHẦN II. Thí sinh trình bày lời giải vào bài làm. Bài 11. 22 2 a) Giải phương trình: (x -3x+3)( x -2x+3) = 2x b) Cho x,y thõa mãn: y2 −2 xy( −= 39) và y > 3. 21x2 +−− xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x2 Bài 12. Cho tam giác ABC có AB <AC, đường phân giác AD. Gọi I trung điểm của AD Đường trung trực của AD cắt BC ở K. a) Chứng minh: KA2 = KB ⋅ KC b) Chứng minh: AD2 =AB⋅⋅ AC - DB DC c) Vẽ hình bình hành ABKM. Chứng minh rằng: SAIBK= SIMK Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 555ba3−−− 3 cb 33 ac 33 ++≤1 333b222+++ ab c bc a ca Hết Họ và tên: .; SBD: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8 PHẦN 1. Mỗi câu đúng cho 1 điểm Bài Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 + n xy 432 32+ Đáp án x=2; x=-2 806000 đồng xxxx−5 + 5 +− 75 xy Bài Bài 6 Bài 7 Bài 8 Bài 9 Bài 10 (2023; 2023); Đáp án 19 16 96m2 3 (2021; 2023) Sơ lược giải 2 Bài 1. xx42−−=⇔−+−=⇔−−=2 8 0 xx 42 2 19 0( x2 1) 3 2 0 2 x = 2 ⇔( x +2)( xx − 2)( +=⇔ 20)  x = −2 Bài 2: Số tiền phải trả: 5000+⋅−+⋅=+ 15000( 30 0,6) 12000 30 5000 441000 + 360000 = 806000 (đồng) 2 xy2( y 22−+ x )( xy ) xy2 xy+ =−+ − Bài 3: P . 22 x xyxy()+ xyxy () + xyxy () + x ++ xyy 2()()()xyxyxyxy−−− +2 xy + = − . 22 x xy() x+ y x ++ xy y −22 ++ + 2 xy−+ xy 2 (x y )( x xy y ) x y =+= = + . 22 x xy() x+ y x ++ xy y x xy xy Bài 4: f(x) chia cho xx2 −+56 dư nếu có là đa thức bậc nhất. Đặt: f(x) = ( xx2 −+56)( x2 −+1) ax + b Khi đó: f(2) = 5 ⇔ 2a + b = 5; f(3) = 7 ⇔ 3a + b = 7 Ta tìm được: a = 2, b = 1 Vậy đa thức cần tìm là f(x) =( xx2 −+56)( x2−++=−121) x xxxx432 5 + 5 +− 7 5 Bài 5. : 5=+=+=+=+ 3 212 ;7 3 2 ;11 3 2 3 ;19 3 2 4 ; biểu thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số trên là 32+ n Bài 6. ab33+ =6 ab −⇔ 8 ab333 + +2 = 3. ab . .2 1 222 ⇔(ab ++2) ( ab −+−+−) ( b 22) ( a) =⇔== 0 ab 2 2  (do a, b là các số dương ⇒++>ab20) 54 Với a = b =2 thì: C =2 − 2 += 3 19 Bài 7: Gọi số trận hòa là x, số trận thắng thua là 3x. Mỗi trận hòa mỗi đội được 1 điểm, nên mỗi trận hòa có 2 điểm; mỗi trận thắng thua được 3 điểm nên ta có: 3.3x + 2.x = 330.
3. Ta tìm được x = 30. Vậy số trận hòa là 30, số trận thắng thua là 90, tổng cộng có 120 trận. (nn−1) Có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt nên có trận đấu 2 (nn−1) Do đó ta có: =120 ⇒=n 16 2 Bài 8. x22−− xy2021 x + 2022 y − 2023 =⇔−+− 0 x xy x2022 x + 2022 y − 2022 = 1 ⇔xxy( −+1) − 2022( xy −+ 1) =⇔ 1( x − 2022)( xy −+ 1) = 1 Ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) là: (2023; 2023); (2021; 2023) Bài 9. Lấy điểm E trên tia DC sao cho BE//AC. Khi đó ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 16m, CE = AB = 5m, từ đó DE = 20m Vì BD22+= BE DE 2nên tam giác DBE vuông BH BD BE⋅⋅ BD 16 12 ∆HDB ∆ BDE ⇒ =⇒=BH = =9,6 BE DE DE 20 (5+ 15) .9,6 Diện tích hình thang ABCD: = 96 (m2) 2 Bài 10. Kẻ BL//EF, CK//EF . Ta có: AB AI AC AK AB AC AI AK AI+ AK =; = ⇒+=+= AE AG AF AG AE AF AG AG AG Mà AI + AK = AM - MI + AM + MK = 2AM (do MI = MK) AB AC AI+ AK22 AM AM Do đó: += = = =3 2 AE AF AG AG AM 3 PHẦN II. Tự luận Bài Nội dung Điểm Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai 2 33   vế của phương trình cho x ta được: xx−+3  −+ 22  = xx   3 Đặt ax= + ta có: (a - 3)( a-2=2) ⇔ a-5a2 +=⇔ 4 0 (a-1)( a-4) = 0 1,5 x 11a) 2 3 2 1 11 3 điểm +) Với a = 1: x+ =⇔1 xx −+=⇔ 30  x − + =0 vô nghiệm x 24 +) Với a = 4: 3 x+=⇔−+=⇔−4 x2 4 x 3 0( x 1)( x −=⇒= 3) 0 xx 1; = 3 x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 và x = 3 1,5 yxy2−2 ( − 3) =⇔ 9 yxyxxx2 − 2 + 22 − +6 −= 9 0 22 11b) ⇔−( yx) −−( x3) =⇔− 0( y 3)( y −+=⇔=− 230 x) y 23 x 0,5 2 điểm Vì yy>⇔3 −> 30 Thay vào biểu thức ta được:
4. 2xxx2 +− 2 +− 3 1 1 2 1 1 1 15 B = =−+22 = − + + x2 xxxx222 16 8 2 1 1 15 15 =2 − +≥ x 4 88 15 B= khi x =⇒=45 y (thõa mãn) 8 1,5 15 Vậy B nhận giá trị nhỏ nhất bằng khi x=4 8 a) Ta có: KAB +== BAD KAD KDA (Vì tam giác KAD cân tại A) KDA = DAC + C 12a) (t/c góc ngoài của tam giác) 2 2 điểm ⇒+=KAB BAD DAC + C Mà BAD = DAC (AD là phân giác)⇒=KAB C ⇒∆KAB ∆ KCA KA KB ⇒=⇒=⋅KA2 KB KC KC KA b) Kẻ tia Bx cắt AD tại E sao cho: ABE= ADC Hai ∆ABE và ∆ADC có: ABE= ADC và BAE = DAC AB AE ⇒∆ABE ∆ ADC ⇒= AD AC 12b) ⇒⋅=⋅AB AC AE AD(1) 1 1 điểm Hai ∆ACD và ∆BED có: BED = ACD (vì ∆∆ABE ADC ); BDE = ADC (đối đỉnh) AD DC ⇒∆ACD ~ ∆BED ⇒ = ⇒⋅=⋅DB DC AD DE(2) DB DE Trừ vế theo vế của (1) cho (2) ta có: AB⋅⋅ AC-BD DC=AD ⋅( AE -DE) = AD2 Hay AD2 =AB⋅⋅ AC - DB DC c) Kẻ IP⊥ MK ⇒⊥IP AB . Gọi Q là giao của IP và AB SAIBK= SS ABK + ABI 1 12c) =SS + 2 ABKM ABI 1 1 điểm 11 =PQ ⋅+ KM IQ ⋅ AB 22 11 =KM ⋅( PQ + IQ) = KM ⋅= IP SIMK 22 13 Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương và có tổng bằng 1. 1 1 điểm
5. 555ba3−−− 3 cb 33 ac 33 Chứng minh rằng: ++≤1 333b222+++ ab c bc a ca Ta có: 2 (a− b) ≥⇔0 a22 − ab + b ≥ ab ⇔+(a b)( a2 −+ ab b 2) ≥ ab( a +⇔+≥ b) a33 b ab( a + b) ⇒+≥+a365 b 3 b 3 ab( a +⇔−≤− b) 5 b33 a 6 b 3 ab( a + b) ⇔−≤−−⇔−≤−5ba33 6 bababba 3 22 5 33( 23 babab)( 2 + ) 5ba33− ⇔ ≤−2ba (1) 3b2 + ab 5cb33− 5ac33− Tương tự ≤−2cb (2); ≤−2ac (3) 3c2 + bc 3a2 + ca Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được 555ba3−−− 3 cb 33 ac 33 + + ≤222ba −+ cb −+ ac −=( abc ++) =1 333b222+++ ab c bc a ca Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.