Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHOÁ NGÀY 09/02/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút a2 a a2 a Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức P a a 1 a a 1 a) Hãy rút gọn biểu thức: M P a 1 a b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 . M Câu 2 (3 điểm). a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 = y2 + y + 5 b) Vẽ đồ thị hàm số: y x 2 x 3 Câu 3 (3 điểm). Chứng minh rằng: a) x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 b) sin6 cos6 3sin2 cos2 1 Câu 4 (4 điểm). a) Giải phương trình: x 4 1 x 1 2x xy 10 20 y2 b) Giải hệ phương trình: 2 xy 5 x Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác của góc B cắt cạnh AC ở D, cắt (O) tại E. Chứng minh : a) BD . ED = AD . CD b) BD2 = AB . BC – AD . CD Câu 6 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC. a) Tính các cạnh của tam giác ABC theo góc đối diện và R. sin A sin B sin C b) Chứng minh rằng : cos A cos B cosC. 2 Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
2. PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 9 Câu Nội dung Điểm a2 a a2 a Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức P a a 1 a a 1 Hãy rút gọn biểu thức: M P a 1 a Giải: a2 a a2 a P = (ĐKXĐ: a 0 ) a a 1 a a 1 a a( a 1)(a a 1) a( a 1)(a a 1) a a 1 a a 1 1,5 a( a 1) a( a 1) a( a 1 a 1) 2 a M P a 1 a 2 1 = 2 a a 1 a a 1 a a 1 a a a 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 . M 3 Giải: 1 1 1 4 A = 2 M a a 1 1 5 5 a 2 4 2 b 1 5 5 (Vì a ,a 0 ) 2 4 4 1,5 Dấu “=” xảy ra 2 1 1 1 1 a 0 a 0 a a (tmđk) 2 2 2 4 4 1 Vậy minA = a = 5 4 Câu 2 (3 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 = y2 + y + 5 Giải: Ta có: 2 a x2 = y2 + y + 5 3 4x2 = 4y2 + 4y + 20 4x2 - (2y + 1)2 = 19 1,5 (2x + 2y + 1)( 2x - 2y - 1) =19 Vì x, y nguyên dương nên 2x + 2y + 1 > 0 và 2x + 2y + 1 > 2x - 2y - 1 1
3. 2x 2y 1 19 x 5 Do đó ta có: (nhận) 2x 2y 1 1 y 4 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm nguyên dương là: (x; y) = (5; 4) Vẽ đồ thị hàm số: y x 2 x 3 Giải: y x 2 x 3 + Với x 3 thì y = 2x - 5 Đồ thị hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ sau: y 1,5 m n b 5 1 A B O 2 3 x Câu 3 (3 điểm). Chứng minh rằng: x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 Giải: x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 x16 x12 y4 x4 y12 y16 x16 x10 y6 x6 y10 y16 x12 y4 x4 y12 x10 y6 x6 y10 0 2 a x4 y4 (x8 x6 y2 y8 x2 y6 ) 0 x4 y4 x6 (x2 y2 ) y6 (x2 y2 ) 0 3 3 x4 y4 x2 y2 x6 y6 0 2 x4 y4 x2 y2 x4 x2 y2 y4 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y Vậy x12 y12 x4 y4 x10 y10 x6 y6 sin6 cos6 3sin2 cos2 1 b Giải: Ta có: sin6 cos6 3sin2 cos2 2
4. sin6 cos6 3sin2 cos2 sin2 cos2 1 3 sin2 cos2 1 Câu 4 (4 điểm). Giải phương trình: x 4 1 x 1 2x Giải: Ta có: x 4 1 x 1 2x x 4 1 2x 1 x 1 2x 0 1 x 1 x 0 2 2 a x 4 1 2x 1 x 2 (1 2x)(1 x) 2x 1 2x 3x 1 2 1 1 1 x 2 1 1 x x 2 2 2x 1 0 2 2 x 0 x 0 2 2 2 (2x 1) 2x 3x 1 x 7x 0 x 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0} xy 10 20 y2 Giải hệ phương trình: 2 4 xy 5 x 4 Giải: 2 xy 10 20 y 1 2 xy 5 x 2 Từ phương trình (1) 20 y2 0 y 20 y 2 5 Từ phương trình (2) x2 5 x . y 2 5. x b (vì x2 + 5 > 0,x xy > 0 xy x . y ) 2 2 2 x 2 5. x 5 0 x 5 0 x 5 0 x 5 x 5 *) x 5 y 2 5 *) x 5 y 2 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm: x, y 5; 2 5 , 5; 2 5 Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác của góc B cắt cạnh AC ở D, cắt (O) tại E. 5 a 3 Chứng minh: BD . ED = AD . CD Giải : 3
5. B 1 2 O A D 1 C E 1,5 Ta có : µA Eµ (hai góc nội tiếp cùng chắn B»C ) µ µ » B1 C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn AE ) ABD ECD (g g) BD AD BD.ED AD.CD (1) CD ED Chứng minh: BD2 = BC . AB – AD . CD Ta có : µA Eµ (hai góc nội tiếp cùng chắn B»C ) µ ¶ B1 B2 (gt) b ABD EBC (g g) BD AB BD.EB AB.BC 1,5 BC EB BD(BD + DE) = AB . BC BD2 = AB . BC – BD . ED (2) Từ (1) và (2) BD2 = AB . BC – AD . CD Câu 6 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC. Tính các cạnh của tam giác ABC theo góc đối diện và R. Giải : A 6 a 4 N P O 1 B M C 4
6. 1 Ta có : B· AC B· OC (1) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn B»C ) 2 BOC cân tại O OM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao vừa là đường phân giác · µ BOC 2O1 (2) · µ 2 Từ (1) và (2) BAC O1 Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông BOM, ta được : µ · BM = OBsinO1 = Rsin BAC BC = 2RsinA (vì BC = 2BM) Chứng minh tương tự ta được : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC. sin A sin B sin C Chứng minh: cos A cos B cosC. 2 Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AON, AOP, ta được : ON = OAcos ·AON = RcosC OP = OAcos ·AOP = RcosB 1 b Ta có : NP là đường trung bình của ABC NP = BC Rsin A 2 2 Xét NOP có NP < ON + OP RsinA < R (cosB + cosC) sinA < cosB + cosC Tương tự ta có : sinB < cosA + cosC sinC < cosA + cosB sin A sin B sin C Từ đó ta được : cos A cos B cosC. 2 Lưu ý: - Với các bài toán hình, nếu HS không vẽ hình thì không cho điểm phần bài làm liên quan. - HS làm cách khác với đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. 5
7. Câu 2 (3 điểm). a) Tìm số nguyên tố a sao cho: a + 8 ; a + 10 và a + 14 đều là những số nguyên tố. Giải: Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong các dạng: 3k, 3k + 1 hoặc 3k + 2, k N Nếu a = 3k + 1 thì a + 8 = 3k + 9  3; a + 14 =3k + 15  3 không là số nguyên tố Nếu a = 3k + 2 thì a + 10 = 3k + 12  3, không là số nguyên tố Do đó a = 3k Mà a nguyên tố nên a = 3 a + 8 = 11; a + 10 = 13; a + 14 = 17 đều là số nguyên tố. Vậy a = 3 Câu 5 Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD = a và CD = b (a > b). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a và b. Giải: A 3 2 1 O 1 a E C b D B Ta có: µ µ » A3 B (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nt cùng chắn AC ) ¶ µ A2 A1(gt) µ µ ¶ B A1 D1 (t/c góc ngoài của tam giác) · µ ¶ · µ µ ¶ Mà EAD A3 A2 EAD B A1 D1 EAD cân tại E EA = ED EC = EA – b và EB = EA + a Mặt khác ta có: EA2 = EC . EB ( EAC EBA ) ab EA2 = (EA – b)(EA + a) EA a b 6
8. ab Vậy EA a b Hết 7