Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Sơn Động (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Sơn Động (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9 NĂM HỌC: 2022 - 2023 (Đề thi có 03 trang) Ngày thi: 20/10/2022 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm). 4 x Câu 1: Tất cả các giá trị của x để có nghĩa. x 3 A. 3 x 4. B. 3 x 4. C. 3 x 4. D. 3 x 4. x2 4x 4 Câu 2: Khi x 2 rút gọn biểu thức P ta được kết quả là 6 3x 1 1 A. P . B. P 3. C. P 1. D. P . 3 3 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường trung tuyến AM , đường cao AH 8cm ( H, M BC ) và biết CH 4BH 0 . Độ dài đường trung truyến AM là A.5cm. B. 8cm C. 20 cm D.10cm Câu 4: Một cây cau có chiều cao 7m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút). A. 610 B. 6102' C. 6103' D. 620 Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 x 1 x2 x 1 là 3 A. M B. M 0 C. M 1 D. M 2 min 2 min min min 2 2 Câu 6: Cho hai đường thẳng d1 : y x 2 và d2 : y 2m m x m m . Giá trị của m để hai đường thẳng d1 và d2 song song là 1 1 1 A. m 1;m B. m 1 C. m D. m 2 2 2 Câu 7: Cho ABC vuông tại A có AB 2AC , AH là đường cao. Tỉ số HB: HC là A. 2. B. 4. C. 3. D. 9. Câu 8: Số nghiệm của phương trình x2 1 x4 4x2 4 x2 3 0 là A. 2. B. 6. C. 3. D. 4.
2. 3 10 6 3 3 1 2023 Câu 9: Cho x . Giá trị của biểu thức x3 4x 2022 bằng: 6 2 5 5 A. 1. B. 20222023. C. 1. D. 20222023. 3 x 2 Câu 10: Có bao nhiêu giá trị x nguyên để biểu thức B (với x 0 ) nhận giá x trị nguyên? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 11: Biết điểm M(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y ax b. Giá trị a b bằng: A. 1. B. 2. C.1. D. 2. Câu 12: Tam giác đều ABC có cạnh 10cm nội tiếp trong một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng: 5 3 10 3 5 3 A. 5 3 cm. B. cm. C. cm. D. cm. 3 3 2 3 Câu 13: Biết 3 1 a 3 b . Giá trị của a2 ab bằng: A. 69. B. 96. C. 24. D. 96. 1 Câu 14: Cho hàm số y x 2 . Gọi A,B là thứ tự các giao điểm của đồ thị hàm số 2 với các trục Ox,Oy . Diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) là: 3 A. 2(đvdt). B. 8(đvdt). C. 4(đvdt). D. (đvdt). 2 Câu 15: Cho biết tanx+cotx= 3 . Giá trị sinx.cosx bằng: 1 1 A. . B. . C. 1. D. 3. 3 2 Câu 16: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm; BC 15cm . Bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật đó bằng: A. 23cm. B. 11,5cm. C. 7cm. D. 8,5cm. Câu 17. Cho hàm số bậc nhất y f (x) thỏa mãn f (2024) f (2022) 2022 . Giá trị f (2023) f (2022) bằng: A. 1. B. 1011. C. 4044. D. 2022. 1 1 1 1 Câu 18: Cho  a b c với a, b, c là các 2 1 3 2 4 3 101 100 số tự nhiên và b là số nguyên tố. Giá trị của a b c bằng: A. 100. B. 101. C. 104. D. 103. Câu 19. Cho đường tròn O;2 , AB là một dây của đường tròn có độ dài là 2. Khoảng cách từ tâm O đến AB có giá trị là 1 3 1 A. . B. . C. 3. D. . 2 2 3
3. Câu 20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH  BC, HD AB, HE AC H BC, D AB, E AC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? A. AD.AB AE.AC. B. BD.BA CE.CA. C. AD.DB AE.EC 2AH 2. D. BD.BA AH 2. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm). Câu 21. (5,0 điểm) x 9 x 2 x 2 2 x 1) Cho biểu thức A và B với x 0; x 4. x 4 x 2 x 2 4 x a) Rút gọn biểu thức B. b) Đặt P = A:B. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2) Giải phương trình: x2 3x x 1 2x 5 2 0. Câu 22. (4,0 điểm) 1) Tìm đa thức f (x) biết: f (x) chia cho x 3 dư 2, f (x) chia cho x 4 dư 9 và f x chia cho x2 x 12 được thương là x2 3 và còn dư. 2) Tìm các số nguyên x , y thỏa mãn : y 3 x2022 y2 6y 8 0 . Câu 23. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , kẻ đường cao AH của ABC . Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC . 1) Cho AB 6cm và HC 6,4cm . Tính BC và AC . 2) Chứng minh: DE3 BC.BD.CE . 3) Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt HD tại M ; Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt HE tại N . Chứng minh M , A, N thẳng hàng. Câu 24. (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x 1; y 4; z 9. yz x 1 zx y 4 xy z 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M xyz Hết Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
4. PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2022 - 2023 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang A- TRẮC NGHIỆM CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN 1 C 11 D 2 A 12 C 3 D 13 B 4 C 14 C 5 D 15 A 6 C 16 D 7 B 17 B 8 A 18 B 9 D 19 C 10 A 20 A B - TỰ LUẬN Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu I 5,0 đ Với x 0; x 4 ta có x 2 x 2 2 x B x 2 x 2 4 x 0,75 2 2 x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Phần 1.a x 4 x 4 x 4 x 4 2 x 0,5 (2,0 x 2 x 2 x 2 x 2 điểm) 8 x 2 x 6 x 0,5 x 2 x 2 x 4 6 x Vậy B với x 0; x 4. 0,25 x 4 x 9 6 x x 9 Với x 0; x 4 ta có P A: B : 0.25 x 4 x 4 6 x x 9 x 9 1 9 1 9 1 Phần Ta có P x .2 x. .2.3 1 1.b 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 (1,0 (Theo bất đẳng thức Cauchy). Dấu “=” xảy ra 0.5 9 2 điểm) x x 9 x 9 (TM) x Vậy max P = 1 khi và chỉ khi x = 9. 0.25
5. 5 Với điều kiện: x ta có x2 3x x 1 2x 5 2 0 0,25 2 x2 3x 2 x 1 2x 5 0 x 1 x 2 x 1 2x 5 0 0,5 Phần x 1 x 2 2x 5 0 2 (2,0 +) x 1 0 x 1 (không thỏa mãn) 0,25 điểm) +) x 2 2x 5 0 x 2 2x 5 0.5 x 2 x 2 x 2 (thỏa mãn) 2 2 x 4x 4 2x 5 x 6x 9 0 x 3 Vậy phương trình có nghiệm x = 3. 0,25 Câu (4.0 II đ) Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là x2 3 còn dư nên f(x) có dạng: 0,5 f x x 4 x 3 x2 3 a.x b Phần Cho x 4 f x 4a b 9 0,5 1 Cho x 3 f x 3a b 2 2,0 4a b 9 a 1 điểm Khi đó ta có hệ: 0,5 3a b 2 b 5 Giải hệ và kết luận 0,5 f x x 4 x 3 x2 3 x 5 x4 x3 9x2 2x 31 Ta có: y 3 x2022 y2 6y 8 0 * y 3 x2022 y 3 2 1 + Nếu y 3 0 thì * 0.x2022 1 (Vô lí). 1 + Nếu y 3 0 thì * x2022 y 3 y 3 2022 1.5 Phần x Z 1 Do x, y Z nên Z 2 y 3 Z y 3 2,0 điểm y 3 1 y 3 1 y 2 y 4 Thay vào ta được: 0,25 +) y 2 x2022 0 x 0 .
6. +) y 4 x2022 0 x 0 Vậy S 0; 2 , 0; 4  . 0.25 Câu (4.0đ 3 ) B H M D A E C N Trong ABC vuông tại A có AH là đường cao, theo hệ thức lượng, ta có: AB2 BH.BC AB2 BC HC .BC thay số ta được: 0,25 Phần 62 BC 6,4 .BC BC 2 6,4BC 36 0 BC 2 10BC 3,6BC 36 0 1 0,25 1,5 BC 10 BC 3,6 0 BC 10 cm (vì BC 0 ) điểm Áp dụng định lý Pi-ta-go cho ABC vuông tại A , ta có: 0,5 BC 2 AB2 AC 2 AC BC 2 AB2 102 62 8 cm . 0,25 Vậy BC 10cm; AC 8cm . 0.25 + Trong AHB vuông tại H có HD là đường cao, theo hệ thức lượng, ta có: BH 2 BH 2 AB.BD BD . AB + Trong AHC vuông tại H có HE là đường cao, theo hệ thức lượng, ta có: 2 0.5 2 CH Phần CH AC.CE CE . AC 2 + Trong ABC vuông tại A có AH là đường cao, theo hệ thức lượng, ta 1,5 có: điểm AH 2 BH.CH; AB.AC AH.BC . BH 2 CH 2 BC.AH 4 BC.BD.CE BC. . AH 3 AH 3 BC.BD.CE . AB AC BC.AH 0.5 + Tứ giác ADHE có Aµ= Dµ= Eµ= 90° GT tứ giác ADHE là hình chữ 0.5 nhật DE AH .
7. Vậy DE3 BC.BD.CE . MD BD Ta có: MB//AH (cùng vuông góc với BC ) (hệ quả định lý DH DA Ta-let), MD BD mà DH AE; AD HE (1); AE HE +) DH //AC (cùng vuông góc với AB ) BD DH BD AE BDH ∽ HEC g.g (2); HE EC HE EC + Ta có: CN //AH (cùng vuông góc với BC ) Phần AE HE 3 (hệ quả định lý Ta-let), 1,0 EC EN AE AD 0,5 điểm mà DH AE; AD HE (3); EC EN MD AD MD AE Từ (1), (2) và (3) ta có hay . AE EN AD EN Xét MDA và AEN có: MD AE M· DA = A·EN 90 ; (chứng minh trên) AD EN MDA∽ AEN c.g.c 0,5 M· AD = E·NA M· AD + E·AN = E·NA + E·AN = 90° M· AN = M· AD + E·AN + D·AE = 90° + 90° = 180° A, M , N thẳng hàng. Câu (1.0 4 đ) Với x 1; y 4; z 9 , áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x xyz +) x 1 1 2 x 1 x 1 yz x 1 . 2 2 y xyz +) y 4 4 2 4. y 4 y 4 xz y 4 . 4 4 0.5 z xyz +) z 9 9 2 9 z 9 z 9 xy z 9 . 6 6 1.0 điểm xyz xyz xyz 11xyz yz x 1 xz y 4 xy z 9 2 4 6 12 yz x 1 zx y 4 xy z 9 11 . xyz 12 0.5 x 1 1 x 2 11 Vậy Max M khi y 4 4 y 8 . 12 z 9 9 z 18 Tổng Điểm toàn bài 20 đ Lưu ý khi chấm bài:
8. - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm