Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo. Câu 2: Cho a1 2017 và aann 1 2017 với mọi n 1, n . Tìm a2018 . 5ab Câu 3: Cho 45a22 b ab với ba 20. Tính giá trị của p . 32ab22 Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200m , vận tốc vật thứ nhất là 4/ms, vận tốc vật thứ hai là 6/ms. Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát) Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7. Câu 6: Giải phương trình 3 1 xx 3 2. Câu 7: Cho các số ab, thỏa mãn a33 8 b 1 6 ab . Tính ab 2 . 2 2 2 b c a Câu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c , bc thỏa mãn . 2 a b c bc Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC . Câu 10: Cho tam giác ABC có A 30 ; B 50 , cạnh AB 23. Tính AC AC BC . II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 22 21yx Câu 11: Giải hệ phương trình 33. 2 x y y x Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của O với các cạnh AB , AC , BC . Gọi I là giao điểm của BO và EF . M là điểm di động trên đoạn CE . Gọi H là giao điểm của BM và EF . a) Chứng minh nếu AM AB thì các tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của O , P và Q lần lượt là hình chiếu của
2. N trên các đường thẳng DE , DF . Chứng minh PQ EF . Câu 13: Cho x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Tìm GTNN của F 5 x22 11 xy 5 y . LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo. ờ ả Gọi số cạnh của đa giác lồi là n , nn ,3 . Ta có nn 3 27 n 9 . 2 Câu 2: Cho a1 2017 và aann 1 2017 với mọi n 1, n . Tìm a2018 . ờ ả Ta có aa21 2017 2.2017 , aa32 2017 3.2017 , Do đó a2018 2018.2017 4070306. 5ab Câu 3: Cho 45a22 b ab với ba 20. Tính giá trị của p . 32ab22 ờ ả Ta có 4a22 b 5 ab a b 4 a b 0. Do ba 20 nên ba 4 . Suy ra 20a2 4 P . 3aa22 32 7 Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200m , vận tốc vật thứ nhất là 4/ms, vận tốc vật thứ hai là 6/ms. Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều. Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát) ờ ả Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát. Quảng đường mỗi vật đi được đến lúc gặp nhau là S11 v t4 t , S22 v t6 t . Vì hai vật đi cùng chiều nên SSS21 6tt 4 200 t 100 (giây).
3. Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần. Vậy sau 16 phút 960 960 giây thì chúng gặp nhau số lần là 9 . Vậy vật thứ hai vượt lên 100 trước 9 lần. Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7. ờ ả n 1 n 3 2 n 1 8.10.15 Số tam giác khác nhau là 50 tam giác. 24 24 Câu 6: Giải phương trình 3 1 xx 3 2. ờ ả ĐKXĐ x 3. Đặt 3 1 xa; xb 30. a 0 ab 2 2 Ta có 32 a a a 40 1 17 ab 4 a 2 15 5 17 Từ đó tìm được tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1;  2 . Câu 7: Cho các số ab, thỏa mãn a33 8 b 1 6 ab . Tính ab 2 . ờ ả 3 3 3 x y z 0 Ta có x y z 3 xyz x y z Do đó a33 8 b 1 6 ab a3 2 b 33 1 3 a 2 b 1 ab 2 1 0 ab 21 . ab 21 ab 22 2 2 2 b c a Câu 8: Tìm các số nguyên dương a , b , c , bc thỏa mãn . 2 a b c bc ờ ả Ta có bca2 2 2 bc 2224 bca 2 bc abca 2 b c 22 22 a . Vì bc 1 nên bc 21 dó đó bc 2 a 2 abc 4 bcbc22 4 2 bc 4 4 8.
4. Vì bc 4 4 3 nên có các trường hợp sau bb 4 8 12 TH1: a 13 . cc 4 1 5 bb 4 4 8 TH2: a 10 . cc 4 2 6 Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 . Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC . ờ ả Gọi độ dài các cạnh BC a , AC b , AB c . Độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A , B , C lần lượt là x , y , z . Khoảng cách từ trọng tâm tam x y z giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 nên ta có k . 2 3 4 Mặt khác ax by cz 2 SABC nên a11 c a c a b c 24k . Suy ra a 12 ; b 8 ; c 6 . 1 1 1 1 1 1 13 x y z2 k 3 k 4 k 12 k Câu 10: Cho tam giác ABC có A 30 ; B 50 , cạnh AB 23. Tính AC AC BC . ờ ả Kẻ đường phân giác CD . Ta có ACB 100 BCD ACD 50 . Suy ra tam giác BCD cân tại D . Suy ra BD DC . AC AD Lại có ADC# ACB AC2 AB. AD. AB AC AC CD Và AC BC AB CD . AB BC Suy ra AC. BC AC22 AB AD CD AB AD BD AB 12 hay AC AC BC 12. II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
5. 22 21yx Câu 11: Giải hệ phương trình 33. 2 x y y x ờ ả Thay 12 yx22 va phương trình thứ hai ta có 2x3 2 yyx 2 2 2 yxyx 3 2 2 2 x 3 5 y 3 2 xyxy 2 2 2 0. Đặt y xt được x3 5 t 3 2 t 2 2 t 1 0. Xét x 0 , thay vào phương trình thứ hai ta được y y2 2 0 y 0 không thỏa mãn phương trình thứ nhất. Xét 52210t3 t 2 t t 15310 t 2 t t 1. Do đó yx , khi đó 2 x 1 ta có hệ phương trình 2 x 1. xx 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm xy; 1; 1 , 1;1 . Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D , E , F lần lượt là tiếp điểm của O với các cạnh AB , AC , BC . Gọi I là giao điểm của BO và EF . M là điểm di động trên đoạn CE . Gọi H là giao điểm của BM và EF . a) Chứng minh nếu AM AB thì các tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của O , P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE , DF . Chứng minh PQ EF . ờ ả Gọi K là giao điểm của BO và DF . Ta có tam giác IKF vuông tại K . Hình chữ nhật
6. ADOE có OD OE nên nó là hình vuông. Suy ra 1 DEF DOE 45 . Suy ra 2 BIF 45 . a) Khi AM AB thì tam giác AMB vuông cân tại A suy ra DBH 45 DFH . Nên tứ giác BDHF nội tiếp. Do đó năm điểm B , D , O , H , F cùng thuộc đường tròn đường kính BO . Suy ra BFO BHO 90 OH  BM , mà tam giác ABM vuông cân và có AH là phân giác nên AH BM . Suy ra A , O , H thẳng hàng. Suy ra BAH BIH 45 . Vậy tứ giác ABHI nội tiếp. b) Tứ giác PNQD nội tiếp suy ra NPQ NDQ NEF . Tương tự ta có NQP NDP NFE . Suy ra PQ NQ NEF# NQP 1 PQ EF . Dấu EF NE “ ” xảy ra khi P trùng F , Q trùng E hay DN là đường kính của O . Câu 13: Cho x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Tìm GTNN của F 5 x22 11 xy 5 y . ờ ả Đặt F 5 x22 11 xy 5 y f x ; y , m là GTNN của F . Ta có m là số nguyên và f 0;1 f 1;0 5 m 5. Vì x , y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 nên 5x22 11 xy 5 y 0 hay F 0 . Xét xn 2 ; yk 2 . Ta có f x; y f 2 n ;2 k 4 f n ; k nên giá trị f 2 n ;2 k không thể là GTNN. Do đó GTNN của F xảy ra khi x , y không cùng chẵn, vì vậy m là số lẻ. * Nếu m 1 suy ra tồn tại x , y để 5x22 11 xy 5 y 1 100x22 220 xy 100 y 20 10x 11 y 2 221 y2 20 10x 11 y 2 20 221 y2 3. Suy ra 10xy 11 2 chia 13 dư 6 hoặc dư 7 .
7. Mà số chính phương khi chia 13 chỉ có dư 0 , 1, 3 , 4 , 9 , 10 , 12. Do đó vô lý. * Nếu m 3 suy ra tồn tại x , y để 5x22 11 xy 5 y 3 100x22 220 xy 100 y 60 10x 11 y 2 221 y2 60 10x 11 y 2 60 221 y2 3. Suy ra 10xy 11 2 chia 13 dư 5 hoặc dư 8 . Mà số chính phương khi chia chỉ có dư , , , , , , . Do đó vô lý. Vậy GTNN của F là 5 .