Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 x22 x x x 1 Câu 1. a) Cho A= . Rút gọn B 1 2 A 4 x 1 với 0 x x x 1 x x 4 1 1 1 b) Cho x, y , z 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . Chứng x y z 1112016 2017 2018 minh 2 2 2 x y z xy yz zx . x 2 yz y 2zx z 2x y Câu 2. a)Giải phương trình x 5 x 2 1 x2 3x 10 7 . x22 y xy 2 b)Giải hệ phương trình . 3 x x y 7 Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho x 2018 và 2018 đều là số nguyên. x 22 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab ba là số chia hết cho 3267 . Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc BCD 900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi OO,' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 1)Chứng minh rằng O' thuộc đường tròn ()O . 2) Khi DE vuông góc BC a) Tiếp tuyến của ()O tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng BG CE BE CG b)Đường tròn ()O và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc ()O , K thuộc (O ') và HIK,, nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh OB O' C HM . Câu 5. Cho x, y , z 0 thỏa mãn x2 y 2 z 2 3x yz . Tìm GTLN của x2 y 2 z 2 P x4 yz y 4 zx z 4 xy
2. LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 x22 x x x 1 Câu 1. a) Cho A= . Rút gọn B 1 2 A 4 x 1 với 0 x x x 1 x x 4 1 1 1 b)Cho x, y , z 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . x y z 1112016 2017 2018 Chứng minh 2 2 2 x y z xy yz zx x 2 yz y 2zx z 2x y ời giải a) Ta có x22 x x x x( x x 1) x ( x x 1) A= = x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x( x 1) x ( x 1) 2x 1 B 1 2 A 4 x 1 1 4 x 4 x 1 1 2 x 1 2 x (0 x ) 4 1 1 1 b)Ta có 00 yz xz xy x y z x22 yzx 2 yzyzx 2 yzx z xyxxz ( ) yxz ( ) ( xzzy )( ) Tương tự y22 2zx ( y z )( y x ); z 2xy=(z-x)(z-y) 111 x2 2 yz y 2 2 xz z 2 2 yx 1 1 1 (xyxz )( )( yzyx )( )( zyzx )( ) y z z x x y 0 (x y )( y z )( z x ) 1112016 2017 2018 2 2 2 (x y z ) 0 . x 2 yz y 2 xz z 2 yx Câu 2. a)Giải phương trình x 5 x 2 1 x2 3x 10 7 . x22 y xy 2 b)Giải hệ phương trình 3 x x y ời giải a)Điều kiện x 2
3. x 5 x 2 1 x2 3x 10 7 1 x2 3 x 10 x 5 x 2 (x 5( x 2 1) x 2 1 x 21 x 3 x 51 x 4 So với điều kiện ta được phương trình có 1 nghiệm x 3. x22 y xy 2 b) 3 x x y Từ phương trình xxy3 2x 3 2( xyxyxyxyxy ) ( 2 2 )( ) 3 3 x33 y x y Với xy thế vào phương trình x22 y xy 2 ta được y 2 y2 2 y 2 Vậy hệ có nghiệm (;xy ) {( 2; 2);( 2; 2)}. 7 Câu 3. a)Tìm các số thực x sao cho x 2018 và 2018 đều là số nguyên. x 22 b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab . Biết rằng ab ba là số chia hết cho 3267 . ời giải a) Điều kiện x 0 . Đặt a x 2018 x a 2018 7 7 7 a 2018 2018 Xét b 2018 2018 x aa 2018 2018 b( a 2018) 2025 a 2018 ab 2015 ( b a ) 2018 Với a, b Z ab 2025 Z ( a b ) 2018 0 ab ab 2025 45 + ax 45 45 2018 + ax 45 45 2018 22 b) ab ba (10a b )2 (10 b a ) 2 99( a 2 b 2 ) chia hết cho 3267 nên a22 b ( a b )( a b ) chia hết cho 33 1 a , b 9 a b,hay ab 7, 4; ab 4, 7 Vậy ta có các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 .
4. Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có góc BCD 900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F . Gọi OO,' lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF . 1)Chứng minh rằng O ' thuộc đường tròn ()O . 2) Khi DE vuông góc BC a) Tiếp tuyến của ()O tại D cắt đường thẳng BC tại G . Chứng minh rằng BG CE BE CG b)Đường tròn ()O và (O ') cắt nhau tại điểm H ( H khác C ). Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc ()O , K thuộc (O ') và HIK,, nằm cùng phía bờ OO' ). Dựng hình bình hành CIMK . Chứng minh OB O' C HM ời giải a) BAE EFC BAEE DA (giả thuyết); EFC FEC DAEE F C suy ra EFC cân tại C CE CF mà BEA FEC BE A B AE nên ABE cân tại B BA BE mà BA CD nên BE CD CE CF BE CE DC CF BC DF (1) . BE CD Mặt khác O' CF cân O'' CF O FC Với CE CF O'''' CE O CF O CE O FC (2)
5. Mà OCOF'' (3) . Từ (1) , (2) và (3) ta được BO'''' C DO F O BC O DF Nên tứ giác BD' CO nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ') b)Tam giác BCD tại D ,nội tiếp đường tròn ()O . Ta có DG2 CG. BG DG2 DE 2 CG BG BE CE GE 2 CG BG BE CE 2 DE BE. CE () CE CG2 CG BG BE CE CE22 2 CE . CG CG CG . BG BE . CE CE22 CE CG BE CE CG BG CG CE CG CE()() CE CG BE CG BG CG CE CE BG CG BE c)Tia CH cắt IK tại N . Áp dụng phương tích đường tròn ta có NK22 NH. NC NI NK NI mà CIMK là hình bình hành, do đó MNHC,,, thẳng hàng. Suy ra OB2 O' C OI O ' K 2 NJ . Gọi T là điểm đối xứng với H qua N , P là giao điểm của CH với OO '. PH PC Ta có NJ NP OO'  CH 22NJ NP NP NP NP PH NP NT PC NP TC = HM Vậy OB O' C HM . Câu 5. Cho x, y , z 0 thỏa mãn x2 y 2 z 2 3x yz . Tìm GTLN của x2 y 2 z 2 P x4 yz y 4 zx z 4 xy ời giải x2 y 2 z 2 Ta có , x2 y 2 z 2 3x yz 3. xyz Với , theo BĐT Cauchy ta được x2 y 2 z 2 xy yz zx x2 1 x4 yz 22 x 4 yz x 2 yz x4 yz 2 yz yz2211 Tương tự ta được: ; y44 zx 2z x z xy 2 xy
6. x2 y 2 z 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P 4 4 4 xyzyzzxy x 2 yz xz xy 2 xyz 1 xy yz zx 1 x2 y 2 z 2 3 2 xyz 2 xyz 2 3 GTLN của P khi x y z 1 2  HẾT 