Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẬC THCS QUẢNG NAM Năm học : 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút Ngày thi : 17/4/2018 Câu 1. (5,0 điểm) x 8 1 x 4 4 x a). Cho biểu thức A x x 8 x 2 x 4 x4 Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên x để A là số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c sao cho 1 a 2;1 b 2;1 c 2 a b c a c b Chứng minh 7 b c a c b a Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho phương trình x2 2x 3 2m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x12 ;x trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại b) Giải phương trình : 2 1 x 1 x2 3 x Câu 3 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 thì n 2 n 1 n 8 không thể là lập phương của một số tự nhiên b) Cho số nguyên tố p(p 3) và hai số nguyên dương a, b sao cho p2 a 2 b 2 . Chứng minh a chia hết cho 12 và 2(p a 1) là số chính phương. Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. E là điểm nằm trên cạnh BC (E khác B và C). Đường thẳng qua B, vuông góc với đường thẳng DE tại H và cắt đường thẳng CD tại F, Gọi K là giao điểm của AH và BD. a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp trong đường tròn và ba điểm K, E, F thẳng hàng b) Khi E là trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH Câu 5. (3,5đ) Cho hai đường tròn C,C12 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại A của C2 cắt C1 tại M (M khác A). Tiếp tuyến tại A của cắt tại điểm N (N khác A). Đường thẳng MB cắt tại P (P khác B). Đường thẳng NB cắt tại Q (Q khác B) .a) Chứng minh tam giác AMP , AQN đồng dạng b) Chứng minh MB.NA22 NB.MA Hết
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NAM NĂM 2017-2018 Câu 1 1a) x 8 1 x2 A x2x2x4 x 2 x 4 x2.x2 3 x 6 3 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 là ước của 3; chỉ có x 2 x 4 3 có nghiệm x=1 thỏa mãn ĐK 1b) Khử mẫu ta được a2 c ab 2 bc 2 a 2 b ac 2 b 2 c 7abc Giả sử abc babc 0 b2 acbabc b2 a a 2 c abc a 2 b 2 2 2 b c ac abc bc a2 c ab 2 ac b 2 c 2abc a 2 b bc 2 a2 c ab 2 bc 2 a 2 b ac 2 b 2 c 2abc 2a 2 b 2bc 2 Chứng minh 2abc 2a22 b 2bc 7abc 2a22 b 2bc 5abc 2a22 2c 5ac (2a c)(c 2a) 0 Câu 2 2a) ĐK có hai nghiệm phân biệt ' 0 2m 2 0 m 1 2 x12 x (1) Khi m1 ta có x12 x 3 2m(2) x12 x 2 (3) 2 Thế (1) vào (2) : x2 x 2 2 0 x 2 1;x 2 2 )x22 1 x 1 32m1 m1 (loại)
3. )x21 2 x 4 832m m11/2 (chọn) 2b) 2x1 1x 2 3x.DK:x 1 2 x 1 2 x 1 x2 1 0 4(x 1) (4 4x x22 ) 1 x 1 0 2 x 1 (2 x) 1 x2 1 xx22 0 2 x 1 2 x 1 x2 1 2 11 x0 2 x 1 2 x 1 x2 1 Vì x1 nên trong ngoặc dương . Do đó phương trình có nghiệm x=0 Câu 3 3a. A n 1 n 2 n 8 +) Khi n 1 A 54 không lập phương +) Khi n 2 A 120 không lập phương +)Khi n2 . ta chứng minh A cũng không lập phương A n1n 2 n8 n3 11n 2 26n16 n 3 12n 2 48n64 n 4 3 A n3 2 n3 11n 2 26n16 n 3 9n 2 27n27 2n 2 n110 1 89 1 89 n 2,6 hoặc n n 2,1 4 4 Suy ra khi n > 2 n 3 33 A n 4 Vậy A không thể là lập phương 3b. p2 b 2 a 2 b a b a ba và ba là ước của p2 và là ước của p vì p nguyên tố Vì b – a < b+a nên b – a =1 b a p22 2a 1 p
4. Cộng vào hai vế cho 2p+1 ta có: 2a2p2 p1 22 2(ap1) p1 Chứng minh a chia hết cho 12 +) Chứng minh a chia hết cho 3 Vì 2a 1 p22 2a p 1 vì p nguyên tố >3 nên p2 chia 3 dư 1 2a 3 a 3 +)Chứng minh a chia hết cho 4 Vì 2a 1 p22 2a p 1 vì p nguyên tố >3 nên p chia 4 dư 1 hoặc dư 3 *) p=4k+1 2a 16k2 8k 8 a 4 *) p=4k+3 2a 16k2 24k 88 a4 Do đó a chia hết cho 12 Câu 4 A B K E H D C F a) Chứng minh KDCE nội tiếp Ta có BHD BCD 900 BHCD là tứ giác nội tiếp CHF BDC 450 ECFH nội tiếp 450 CHF CEF KDC KDCE nội tiếp Chứng minh K, E, F thẳng hàng BC; DH là 2 đường cao BDF FE  BD
5. Mà KDCE nội tiếp EKD ECD 900 EK  BD K,E,F thẳng hàng. 2 2 SBKE BE 2 1 1 b) BKE BCD SBKE .16 2 SBCD BD 42 8 8 2 S DE 1 4 DCE BHE DCE 6 S .S S BEBHE 5 DCE 5 BHE 4 14 S2 BKEH 55 Câu 5 A Q C1 C2 M B P N 5a) Chứng minh tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN Ta có: AMP AQN (cùng chắn cung AB) APM ANQ (cùng chắn cung AB) Suy ra tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN (g-g) AB AM BM 5b) AMP AQN nên NB NA AB
6. MB.NA AB.AM MB.NA2 AB.AM.NA 2 NB.MA AB.NA NB.MA AB.NA.MA MB.NA22 NB.MA