Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Sông Trí (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Sông Trí (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ NĂM HỌC: 2017 - 2018 ĐỀ THI CÁ NHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 9 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 1515+− Câu 1. Tính giá trị của biểu thức: A =+ 235235++−− xx++−11 4 Câu 2. Cho f = và a = Tính giá trị f ()x 1 ()a xx+−−11 3 + 3 Câu 3. Tìm các nghiệm nguyên x, y của phương trình: 63102xyxy2323 +−= − 1 1 1 abbcca Câu 4. Cho + + = 0 .Tính giá trị của biểu thức: P =++ abc cab222 Câu 5. Tìm số hạng thứ 6 của dãy số sau đây 1; 2; 3; 7; 37; Câu 6. Giải phương trình : 3 xx−+−=215 Câu 7. Tìm các số tự nhiên k để cho số 2 2k 2++47là số chính phương Câu 8. Tìm hai số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: xy( 181718171817−++=−) ( ) 33 Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD.Biết BH = 63 cm; CH = 112 cm. Tính HD Câu 10. Tam giác ABC có ABBCcm===10500 ,45 ,4 .Tính độ dài AB và AC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn xyyx+−=+−5533Tìm GTNN của biểu thức: Pxxyyxy=−++++43122 Câu 12. a) Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho ADBACB=+900 và AB. CD AC BDAD= BC Chứng minh rằng = 2 ACBD. b) Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại hai điểm M,N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho BMBN 2 = và BNM= ANC . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông AMCN HẾT Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải. - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. Câu Đáp án Điểm Câu 1 A Đáp số: A =− 2 .Trước hết tính =− =−12A 1.5đ 1.5đ 2 Đáp số: f 3()a 2=+ 2 xxxxx++−++−+−111121 ( xx++−11) 2 Câu 2 Cho f === ()x xx+−−11(1)(1)2xx+−− 1.5đ 1.5đ 4 =xx +2 −1 và a ==3 Nên f=+ 3 2 1 ()a 3 + 3 Đáp số: Các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1) Câu 3 63102631057xyxyxyxy23232323+−= − +−−= − 1đ +−+=321521735217xyyxy23323 − −+= − 1đ ( ) ( ) ( )( ) Suy ra, các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1) Đáp số: 3 111 Câu 4 Ta có: nếu xyz++= 0 thì xyzxyz333++= 3 nên ++= 0 thì abc 1đ 1đ 1113 abbccaabcabcabc ++= Do đó p =++=++= 3 abcabc333 cababc222333 Đáp số: 1159 Câu 5 22nn 1, Quy luật aaaaannnnn+++211=−+ với 1đ 1đ 2222 Suy ra aaa65544=−+=−+= aa .77.37371159 Đáp số: x =10 ĐK: x 1 khi đó 3 xx−+−=215 −−+−−=( 3 xx22130) ( ) Câu 6 xx−−1010 += −= 0100x 1.5đ 3 (2)224xx−+−+2 3 x −+13 1đ 11 Vì + 0 với mọi Do đó x = 10 3 (2)224xx−+−+2 3 x −+13 Đáp số: k = 8 Giả sử: 2kk+ 24 + 221441212 7 = a 22( a Naaa) = − = +−( )( ) Câu 7 mn Đặt: aa+12 = 2 ; − 12 = 2 Với m,; n N m n và mnk+=. Ta được 1đ 1đ 2224mnn−== − m 8.32 n = 218.3 − Suy ra n = 3 ; m = 5 ; k = 8 ( ) 28+ 2 4 + 2 7 = 400 = 20 2 Thử lại Đáp số: x = 17,5; y = 0,5 Câu 8 xy18− 17 + 18 + 17 = 1833 − 17 ( ) ( ) 1đ x18 − x 17 + y 18 + y 17 = 18 18 − 17 17 18(x + y − 18) = 17( x − y − 17)
3. 1đ x =17,5 Nếu: (xyxy+−= −−= 180170) ( ) y = 0,5 x =17,5 Nếu: (xyxy−−= +−= 170180) ( ) y = 0,5 1817 xy−− Nếu : (xy+− =180) (Vô lí vì VT là số vô tỉ, VP là số hữu 1718 xy+− tỉ) Vậy x = 17,5; y = 0,5 Đáp số: DH = 12 cm 2 ABBHBCBH.639 A 2 === ACHC BCHC.11216 1.5đ AB 3 Câu 9 =Áp dụng tính chất đường phân AC 4 1.5đ ABBD 3 C giác, ta được == B H D ACDC 4 BDCDBDCD + 175 === = 2575 BD .Từ đó: DH =75 –63 = 12cm 3477 Đáp số: ABcmACcm=−=−262,( 431 ) ( ) 0 Câu 10 Kẻ A H B⊥ C Đặt A H H== B x Ta có : HCAHx==tan603 1.đ 4 Do BCBHHCxxxcm=+ += ==− 34231 ( ) . 1đ 13+ Nên ABxcm==−==− ACxcm2262,2431( ) ( ) ĐK: xy − 5; −5 22 Nếu: xy==− 5 thì P =−4( 5) −−−+− 3( 5)( 5) ( 5) +−+−+= ( 5) ( 5) 1 41 Xét và x −5; hoặc y −5 xy− Ta có: xyyxxy+−=+− +−=550 3333 2đ xy+++55 Câu 11 1 −(xy) +++= −= −= xxyy220( xyA) 0( xy) 0 xy+55 + + 3đ Do ( DoxA > 0 x,y-5 − và 5hoặc ) =xy 0.5đ 2 2 111 1 1 Khi đó: Pxxx=++=++ 2212 ; P= khi x = y = Vậy Min 222 2 2 0.5đ P = khi x = y = a)Về phía ngoài ABC dựng BCE vuông A cân tại C. Ta có : ADB= ACB +900 = ACE D 1đ Câu 12a ADACAC C == B BDBCCE 3đ Vậy: ADB ACE (c.g.c) AD AB AD AC = = và AC AE AB AE 1đ BAD= CAE BAE = CAD E Do đó: ABE ADC (c.g.c)
4. A B A D Suy ra: = hay A BC D A= D B E 0.25đ B E D C Trong tam giác vuông cân CBE có B E B= C 2 và theo giả thiết suy ra: 0.5đ AB.2.2. CDAD== BCACBD A B. CD Vậy: = 2 A C B. D 0.25đ Gọi P là trung điểm của AM. Gọi Q là B giao điểm của AN với CP. Ta có: BMBMBN == 2 MNCP MPMACN M 0.5đ Do đó: Câu 12b QCNMNBANCQNQC== = N P 0.5đ 2đ Q A C Mặt khác ta có PM = PA và PQ // MN suy ra QA = QN nên QC = QN = QA 0.5đ Vậy tam giác ACN vuông tại C. Do đó tam giác ABC vuông tại C 0.5đ HẾT