Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Đắk Lắk (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Đắk Lắk (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) x 3 2 x 4 x 4 2017 1. Rút gọn biểu thức P . Tìm x sao cho P . xx 32 2018 2. Giải phương trình x22 4 x x 4 20. Câu 2: (4 điểm) 1. Cho phương trình x22 2 2 m 3 x m 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 , 11 (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. xx12 2. Cho parabol P : y ax2 . Tìm điều kiện của a để trên P có A x00; y với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện 2 x0 1 y 0 4 x 0 y 0 3 . Câu 3: (4 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương xy; thỏa mãn: x22 y 4 x 2 y 18 . 2. Tìm tất cả các cặp số ab; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) ab, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của là . ii) Số N ab ab 1 2 ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lân lượt tại D và E ( DBEC , ). BE cắt CD tại H. Kéo dài AH cắt BC tại F. 1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp. 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp. Tính số đo BAC . Câu 5: ( 2 điểm) Với x, y là hai số thực thỏa mãn y3 3 y 2 5 y 3 11 9 x 2 9 x 4 x 6 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018. Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC . Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc bằng 1500 . Chứng minh MA2 2. MB MC .
2. LỜI GIẢI Câu 1: (4 điểm) x 3 2 x 4 x 4 2017 3. Rút gọn biểu thức P . Tìm x sao cho P . xx 32 2018 4. Giải phương trình x22 4 x x 4 20. Lời giải 2 x 3 2 x 4 x 4 xx 3 2 2 xx 3 2 2 1. Ta có P xx 32 xx 32 xx 12 2 xx 21 x 1 x 1 . xx 12 xx 12 x 2 x 1 2017 Mặt khác x 2016 x 20162 . x 2 2018 2. Ta có x22 4 x x 4 20 x x 4 x 2 x 2 20 x22 2 x x 2 x 8 20 x22 2 x 4 4 x 2 x 4 4 20 2 2 2 xx 2 4 6 xx2 2 4 16 20. xx2 2 4 36 . 2 xx 2 4 6 Ta thấy phương trình xx2 2 4 6vô nghiệm. x 1 11 Mặt khác, xx2 2 4 6 xx2 2 10 0 . x 1 11 Vậy phương trình có nghiệm là x 1 11 và x 1 11. Câu 2: (4 điểm) 3. Cho phương trình x22 2 2 m 3 x m 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0 , 11 (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. xx12 4. Cho parabol P : y ax2 . Tìm điều kiện của a để trên P có A x00; y với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện 2 x0 1 y 0 4 x 0 y 0 3 . Lời giải 1.Phương trình có hai nghiệm khác khi
3. 2 2 m 1 2mm 3 0 mm 3 1 0 m 3 . 2 m 0 m 0 m 0 x x 2 2 m 3 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có 12 . 2 x12 x m 22 11xx12 2 2m 3 12m 18 2m 2 m 12 m 18 Lại có 2 2 2 x1 x 2 x 1 x 2 m 3m 3m 2 2 23 m 2 . 33m2 3 Dấu bằng sảy ra khi m 3. 2 2 2.Ta có x0 1 y 0 4 x 0 y 0 3 x0 1 x 0 y 0 4 y 0 3 . 11 . 2 xx00 1 yy00 43 x2 1 y 4 x y 3 0 0 0 0 2 2 Vậy nên xy00 14 xy00 14 2 x0 1 y 0 4 x 0 y 0 3 3 13 ax 2 x2 0 1 a 0 a 1. 0 0 1 a Câu 3: (4 điểm) 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương xy; thỏa mãn: x22 y 4 x 2 y 18 . 4. Tìm tất cả các cặp số ab; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) ab, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của là . ii) Số N ab ab 1 2 ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương Lời giải 1.Ta có x22 y 4 x 2 y 18 x22 4 x 4 y 2 y 1 21 xy 2 22 1 21 x y 1 x y 3 21. Do đó sảy ra các trường hợp sau: x y 1 1 x 9 +) . x y 3 21 y 9 x y 1 3 x 2 +) . x y 3 7 y 2
4. 2. Ta có: N ab ab 1 2 ab 1 chia hết cho các số: 1; a ;b ab 1 2 ab 1 ;b ; a ab 1 2 ab 1 ; ab 1; ab 21 ab ; 21ab ; ab ab 1 ; N ; ab ; ab 1 2 ab 1 ;b ab 1 ; a 21 ab ; a ab 1 ; b 21 ab có 16 ước dương Nên để chỉ có đúng ước dương thì a; b ; ab 1; 2 ab 1 là số nguyên tố Do a, b 1 ab 1 2 Nếu ab; cùng lẻ thì ab 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ a 2. Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab 1 4 b 1 và ab 1 2 b 1 chia hết cho 3 là hợp số (vô lý) b 3. Vậy ab 2; 3. Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lân lượt tại D và E ( DBEC , ). BE cắt CD tại H. Kéo dài AH cắt BC tại F. 1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp. 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp. Tính số đo BAC . A E D HN M B C F 1) Chứng minh tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp. (Đơn giản). 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp . Tính số đo BAC như sau: BAC DHE MFN BHC 1800 (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp).
5. Mà DHE BHC (đối đỉnh) suy ra BAC MFN F12 F . Lại có FBFCBC1 1;; 2 1 1 1 (tứ giác BDHF, CEHF, BCED nội tiếp) FFBB1 2 1 2. 0 0 0 Do đó BAC 2 B1 2 90 BAC 3 BAC 180 BAC 60 Câu 5: ( 2 điểm) Với x, y là hai số thực thỏa mãn y3 3 y 2 5 y 3 11 9 x 2 9 x 4 x 6 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y 2018. Điều kiện 33 x . 3 y3 353119 y 2 y x 2 9 x 4 x 6 y 1219 3 y x 2 29 x 2 a3 2 a b 3 2 b , a y 1; b 9 x 2 a3 b 3 2 a b 0 a b a 2 ab b 2 2 0 2 2 2 13 2 Do a ab b 2 a b b 2 0 . 24 Suy ra a b0 y 1 9 x22 0 y 9 x 1 x y x9 x22 1 4 3 x 9 x 4 30 x Đẳng thức xảy ra khi 2 xy 3 1. Vậy giá trị lớn nhất 90 x của T là 2022 tại x = 3; y=-1. Ta lại có x y132 x 9 x2 1132 x 329 x 2 x 2 62189 x x 2 2 2x2 6 2 x 9 0 2 x 3 0 (Đúng). Suy ra T x y 2018 1 3 2 2018 2019 3 2 32 Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2xx 3 0 (thỏa mãn). Suy ra 2 3 2 3 2 2 y 1 3 2 . 22 3 2 3 2 2 Vậy GTNN T là 2019 3 2 tại xy ;. 22 Câu 6: (2 điểm)
6. Cho tam giác đều ABC . Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc bằng 1500 . Chứng minh MA2 2. MB MC . A E M B C F Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M,lấy điểm E sao cho AME đều; trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm m,lấy điểm F sao cho CMF đều. Ta có MAE BAC600 MAB BAE MAB CAM BAE CAM BAE CAM (c – g - c). Suy ra BE CM; ABE ACM . Tương tự MCF ACB 600 MCB BCF MCB ACM BCF ACM . Ta có BE CM;;; CM CF BE CF ABE ACM ACM BCF ABE BCF . Suy ra BAE CBF c g c AE BF. Mà AE AM BF AM. Mặt khác BMF BMC CMF 1500 60 0 90 0 . ( CMF đều, nên MF MC ) Xét BMF: BMF 900 BF 2 MB 2 MF 2 MA 2 MB 2 MC 2 2 MB . MC ( CMF đều MF= MC).