Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ba Vì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ba Vì (Có đáp án)

1. KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề số 10 xxxxxxx+−−+−111 2 Câu 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức P =++  xxxxxx−− a) Rút gọn biểu thức P . b) Chứng minh rằng P 4 . 6 c) Với những giá trị nào của x thì biểu thức nhận giá trị nguyên? P Câu 2 (3,0 điểm). 2020 a) Hàm số fxxx()22465.=+−( 3 ) Tính giá trị của fa()tại a =−++3316851685 . b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2021là số chính phương. Câu 3 (3,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên dương ( xy; )thỏa mãn x y x+ y +2 = 3 2 7 . Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AKBDCE;;cắt nhau tại H . KCACCBBA222+− a) Chứng minh rằng: = KBCBBAAC222+− 1 b) Giả sử HKAK= . Chứng minh rằng: tanBC .tan= 3. 3 c) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 120cm2 và BAC = 60o . Tính diện tích tam giác ADE . Câu 5 (4,0 điểm). 111 a) Cho xyz 0,0,0 và ++= 4 . Chứng minh rằng: xyz 111 ++ 1. 222xyzxyzxyz++++++ b) Không dùng máy tính điện tử, hãy tính giá trị của biểu thức: (14444++++ 4)( 54 94)( 21) ( 4 ) P =  (344444++++ 74)( 11) 4( 234) ( )  HẾT  HƯỚNG DẪN GIẢI KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
2. xxxxxxx+−−+−111 2 Câu 1. Cho biểu thức P =++  xxxxxx−− a) Rút gọn biểu thức P . b) Chứng minh rằng P 4 . 6 c) Với những giá trị nào của x thì biểu thức nhận giá trị nguyên. P Lời giải a) Rút gọn biểu thức P . Điều kiện x 0 ; x 1. xxxxxxx−−++++1(1)(1)1 Ta có == xxxxx−−(1) x2 − x x + x −1 ( x − 1)( x − x + 1) − x + x − 1 = =  x−− x x x(1 x ) x Thay vào P ta được: xxxxxx+++−+−+1111 P =++=+ 2 . xxxx b) Chứng minh rằng . 2 Ta có với xx 0;1 thì ( x − 10) . Suy ra xx+ 12 . xx+12 Do đó, P =+ + 22. xx Suy ra P 4 . c) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên? 63 Ta có P 40. P 2 6 Do đó nhận giá trị nguyên bằng 1. P x+1 x − 4 x + 1 Khi đó P =6 + 2 = 6 = 0 . xx x =+23 −=(2)3x 2 x =−23 x =+7 4 3 6 Vậy với thì nhận giá trị nguyên. x =−7 4 3 P Câu 2. 2020 a) Hàm số f( x )=( 2 x3 + 24 x − 65) .Tính giá trị của fa()tại a =3316 − 8 5 + 16 + 8 5 . b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2021là số chính phương. Lời giải a) Hàm số Tính giá trị của tại .
3. Ta có a =−++3316851685 =+−+−++a3 323((1685)(1685))[16851685]3 33 =+−−++a3 323(4)[1685168533 ] =aa −3 3 2 1 2 ; Khi đó aaaa33+= +=123221264 ( ) . 2020 32020 Do đó faaa()21265(6465)1=+−=−= ( ) . Vậy fa( ) 1 = . b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2021là số chính phương. Giả sử nkkkn22*+= 2021;, . −= −+=knknkn222021()()2021 kn+=2021 = n 1010 . kn−=1 Với n =1 0 1 0 , ta có n222+=++=2021(1010)2.10101(1011) . Vậy n =1010 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. Tìm các cặp số nguyên dương ( xy; )thỏa mãn xy+2 x + 3 y = 27 . Lời giải Ta có xyxyx++= +++=2327(2)3(2)33 yy . ++=(2)(3)33yx (do xy, nguyên dương). y +=21 y +=211 x +=333 x +=33 (1) hoặc (2) . y +=233 y +=23 x +=31 x +=311 y =−1 (loai do 0;0)xy x = 30 Hệ phương trình (1) y = 31 x =−2 y = 9 (loai) x = 0 Hệ phương trình (2) y =1 x = 8 Theo điều kiện bài toán thì cặp số nguyên cần tìm là (xy ; )= (8;1) . Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AKBD;; CE cắt nhau tại H . KC AC2+− CB 2 BA 2 a) Chứng minh rằng: =  KB CB2+− BA 2 AC 2 1 b) Giả sử HK= AK. Chứng minh rằng: tanBC .tan= 3. 3 c) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 120cm2 và BAC = 60o . Tính diện tích tam giác ADE . Lời giải
4. KCACCBBA222+− a) Chứng minh rằng: =  KBCBBAAC222+− Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông A K C và AKB ta có ACAKKCABAKKB222222=+=+ ; ; lại có B C B=+ K K C ACCBBAAKKCBKKCBA2222222+−+++− () Thay vào ta được = CBBAAC222+− ()BKKCBAAKKC++−+ 2222 ( ) 22KC2 + BK KC = 22BK2 + BK KC 2()KCBKKC+ = 2()BKBKKC+ KC = BK 1 b) Giả sử HKAK= . Chứng minh rằng: tan.tan3.BC= 3 AKAK Xét trong các tam giác vuông A K C và AKB ta có tan;tanBC== KBKC AK 2 Do đó, tantan(1)BC= . KBKC KCKB Ta lại có BKHCKHCCKHBKHBˆ === ;tan;;tan ˆ KHKH KBKC Khi đó tantanBC= KH 2 2 2 AK Từ (1) & (2), ta được (tanBC= tan ) . KH 1 Theo đề bài, ta có HKAK= . 3 Vậy tanBC .tan= 3. c) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 120cm2 và BAC = 60o . Tính diện tích tam giác ADE . Ta có BAC=60 ABD = 30  ; ACE = 30  . AD AE 1 Suy ra = =  AB AC 2 Do đó, ABC~ ADE .
5. 2 S ADE 1 Suy ra = S ABC 2 1 Vây SS==30cm2 . ADE4 ABC Câu 5. 1 1 1 a) Cho x 0, y 0, z 0 và + + = 4 . Chứng minh rằng: x y z 111 + + 1. 2x+ y + z x + 2 y + z x + y + 2 z b) Không dùng máy tính điện tử, hãy tính giá trị của biểu thức: (145494 2144444++++)( )( ) ( ) P =  (3474114 2344444++++)( )( ) ( ) Lời giải a) Cho và . Chứng minh rằng: 1141111 Ta có với xy,0 : + + xyxyxyxy ++4 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 1111 111 + ; + 242xyzxyz+++ yzyz+ 44 1 1 1 1 1 Suy ra + + (1) . 2x++ y z 4 2 x 4 y 4 z 11111 Tương tự ta cũng có ++ (2) . xyzxyz++24424 11111 ++ (3) . xyzxyz++24442 1111111 Từ (1),(2),(3) ta được ++ ++ . 2224xyzxyzxyzxyz++++++ 111 3 Vậy + + 1; dấu "=" xẩy ra khi xyz=== 2x+ y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 4 b) Không dùng máy tính điện tử, hãy tính giá trị của biểu thức: Ta có: 2 n4+4 =( n 2 + 2) − 4 n 2 =( n 2 + 2 − 2 n)( n 2 + 2 − 2 n) 22 = (nn − 1) + 1 ( + 1) + 1 Áp dụng vào bài toán, ta có: 14+=+ 4( 0 2 12)( 2 + 1;5) 4 +=+ 4( 4 2 16)( 2 ++=+ 1;) ;21 4 4( 20 2 122)( 2 + 1)
6. 342141422422422+=+++=+++=++( ; 746181)( ;; 234221241) ( )( ) ( )( ) . (01214161201221222222++++++)( )( )( ) ( )( ) Thay vào ta được P = (21416181221241222222++++++)( )( )( ) ( )( ) 11 Vậy P == (2412 + ) 577  HẾT 