Đề thi học sinh giỏi văn hóa Lớp 12 năm học 2016-2017 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi văn hóa Lớp 12 năm học 2016-2017 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Trị (Có đáp án)

1. UBND TỈNH QUẢNG TRỊ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (4,0 điểm) 1 1 1 2047 1. Tìm số nguyên dương n biết CCCC012 n . n2 n 3 nn 1 n 11 1 2. Một vật chuyển động theo quy luật s t32 9 t , với t (giây) là khoảng thời gian tính lúc bắt 2 đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? Câu 2. (6,0 điểm) 1. Cho hàm số f x exx e 2 . Tìm x để f' x 2 f x 3 . 2. Giải bất phương trình 4x 1 6 x 4 2 x2 2 x 3 . 22x32 y x xy m 3. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm xy, 2 x x y 12 m Câu 3. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC a 3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; gọi I là điểm nằm trên cạnh SC sao cho SC = 3IC. Biết AI vuông góc SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB. 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C , đáy ABC là tam giác đều. Gọi là góc tạo bởi AB với mặt phẳng ACC A và  là góc giữa mặt phẳng A BC với mặt phẳng . 1 Chứng minh rằng: 600 và cot22  cot . 3 Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số x1,,,,, x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 xxxyyyxyxyxy123123112233 0; xxx 123 0; yyy 123 0 xy222 11 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 . x1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 3 Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z, t có tích bằng 1. Chứng minh: 1 1 1 1 1. (1 x )2 (1 y ) 2 (1 z ) 2 (1 t ) 2 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh
2. UBND TỈNH QUẢNG TRỊ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án (trang 01) Điểm n 0 1 2 2 nn 0, 5 Xét khai triển 1 x Cn C n x C n x C n x 11 n 0, 5 nên 1 xdx C0 xC 1 xC 2 2 xCdxnn C1 n n n n Ý1 00 2,0 1 1 1 2n 1 1 0, 5 đ suy ra CCCC012 n n2 n 3 nnn 1 n 1 2n 1 1 2 10 1 1 0, 5 Từ đề ra, ta có n 10 n 1 10 1 C1 3 0,5 Ý2 Ta có v( t ) s '( t ) t2 18 t 2 2,0 đ Xét hàm vt()với t 0;10 ; v'( t ) 3 t 18; v '( t ) 0 t 6 1,0 Lập bảng biến thiên Vận tốc lớn nhất trong khoảng 10 giây kể từ lúc xuất phát là v(6) 54 m / s 0,5 C2 xx 2 0,5 Ý1 Ta có f'2 x e e 1,0 x 22 x x x f' x 2 f x 3 e 2 e 2( e e ) 3 0,5 đ exx 10 1 0,5 Điều kiện x 4 Với điều kiện trên bất phương trình tương đương với 2 0,5 C2 4x 1 x 1 6 x 4 x 2 2 2 x x 0 Ý2 22 22x x x x 2 3,0 2 2xx 0 0,5 đ 4x 1 x 1 6 x 4 x 2 11 2xx 2 2 0 0.5 4x 1 x 1 6 x 4 x 2 2x x2 0 x [ 0;2]. Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm S [0;2] 1,0 C2 1 Đặt u x2 x, u (*); v 2 x y . Hệ trở thành Ý3 4 0,5 2,0 uv m u2 2 m 1 u m 0(1) đ u v 12 m v 12 m u Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (*) 0,5
3. uu2 từ (1) m 21u uu2 Xét hàm fu với điều kiện (*), ta có 21u 0,5 2uu2 2 1 1 3 f' u 2 ; f ' u 0 u 21u 2 23 Lập bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm là m ; 0,5 2 C3 S a) Ta có SO( ABCD ); SOC , AIC đồng dạng với nhau 1,0 Ý1 suy ra IC. IS OC . AC SC a 6 SO a 5 4,0 đ I 3 A D S. SO a 15 1,0 O ABCD B Thể tích khối S.ABCD là V C 33 b) Xét hệ tọa độ Oxyz, sao cho O là giao điểm 2 đường chéo của ABCD, a a3 a a 3 a a 3 0,5 A B C S a ; ;0, ; ;0; ; ;0,0;0; 5 2 2 2 2 2 2 a a35 a a a a a Khi đó I AI u BS v ; ; , 5;53;25 , 1;3;25 0,5 3 3 3 6 6 2 2 [u, v ]. AB 4a 33 d SB, AI []uv, 33 1,0 Lưu ý: thí sinh có thể tính trức tiếp khoảng cách giữa hai đường chéo nhau. C3 Gọi I, J lần lượt trung điểm AC và A’C’ và đặt 0,25 B A I AB=a, BB’=b. Ý2 C 2đ Ta có BI ACC''' A BA I . 0,5 BJI  A'' C  ( BA ''),( C ACC '') A tam giác BIA’ vuông tại I nên 0,5 A'4 I b22 a A' cot ; B' IB C' a 3 J 3 cot ,(b 0) 600 3 JI2 b 0,25 Tam giác BIJ vuông tại I nên cot  IB a 3 4b2 a 2 4 b 2 1 0,5 Do đó cot22  cot 3a2 3
4. 0,5 Trong không gian Oxyz, lấy v1 x1;; x 2 x 3 , v 2 y 1 ;; y 2 y 3 , v 3 1;1;1, v 1;0;0 . Từ giả thiết ta có v1,, v 2 v 3 đôi một vuông góc. 0,5 C4 Gọi u1,, u 2 u 3 lần lượt là hình chiếu của v trên giá các vec tơ 2,0đ 22 2 2 2 2 2 2 2 0,5 xy111 12 và 1 2 3 u2 2 2;, u 2 2 2 u3 v u u u x1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 3 Từ hai đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh. 0,5 bc cd da ab Đặt x ,,, y z t với a,b, c,d là các số thực dương. 0.25 a2 b 2 c 2 d 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 0.25 a4 b 4 c 4 d 4 1 2222 a2 bc b 2 cd c 2 da d ab C5 Theo BĐT Cauchy-Schwarz 0.5 2đ a4 c 4 a 4 c 4 a 2 c 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a22 bc c da a b a c c a c d a b c d b4 d 4 b 2 d 2 Tương tự 0.5 22 2 2 2 2 b2 cd d ab a b c d Cộng theo vế hai BĐT trên ta có điều phải chứng minh. 0.5 Hết