Đề thi học sinh giỏi văn hóa Lớp 12 THPT môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi văn hóa Lớp 12 THPT môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Trị (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT QUẢNG TRỊ Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (4,0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2( m 2) x 2 m 2 ( m tham số thực) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200 . Câu 2. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình x5 4 x 2 x 1 2(2 x 2 1) 2 x 1 x . 2. Cho các số thực dương x,, y z thỏa mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z A x y z 6 . y z x Câu 3. (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp đều S ABCD Mặt phẳng ()P qua A vuông góc với SC cắt SB ' 2 SB,, SC SD lần lượt tại BCD', ', ' . Biết rằng AB a, và C ' nằm trên cạnh SC . SB 3 a) Tính diện tích tứ giác AB' C ' D '. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC'' . 2. Cho đường tròn ()O cắt các cạnh của tam giác ABC tại sáu điểm phân biệt DEFGIH,,,,, sao cho D và E nằm trên BC , F và G nằm trên CA , I và H nằm trên AB. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua D vuông góc BC , qua F vuông góc CA , qua H vuông góc AB đồng quy thì các đường thẳng đi qua E vuông góc BC , qua G vuông góc CA , qua I vuông góc AB đồng quy. Câu 4. (3,0 điểm) 5xn 4 * 1. Cho dãy số ()xn thỏa mãn x1 5; xn 1 ,  n . xn 2 Tìm số hạng tổng quát của ()xn và tính limxn . 2. Cho hàm số f x x4 ax 3 bx 2 cx d (a,,, b c d là các số thực) thỏa mãn f 10 f 14 f 1 100, f 2 200, f 3 300. Tính giá trị của biểu thức P 582 . 16 Câu 5. (2,0 điểm) * k k0 k 1 1 0 k Cho m,,, n k  m k . Chứng minh CCCCCCCm n 1 m n m 1 n 1 m k n k . Hết Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 QUẢNG TRỊ Khóa ngày 03 tháng 10 năm 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một phương án giải, học sinh làm đúng theo phương án khác cho điểm tối đa theo ý câu đó. Tổ chấm chỉ chi tiết biểu điểm chấm, không làm thay đổi thang điểm chấm của từng câu. Câu Đáp án Điểm y' 4 x3 4( m 2) x . 0, 25 x 0 y ' 0 2 . Hàm số có ba cực trị khi m 2. x m 2 0,75 x 0 0, 5 Khi đó y ' 0 x m 2. C1 4đ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là 0,5 A(0; m2 ), B ( m 2; 4 m 4), C ( m 2; 4 m 4). Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên BAC 1200 . Gọi H là trung điểm của BC, 0,5 H(0; 4 m 4). 1 0,5 Ta có AB 2 AH m 2 ( m 2)4 4( m 2) 4 m 2 . 3 3 1,0 1 0,5 Điều kiện: x . Đặt t 2 x 1, t 0. 2 5 5 C2 Phương trình trở thành: x x t t (1). 0,5 Ý1 Xét f() x x5 x ,'()5 f x x 4 10,.  x Do đó hàm số f() x đồng biến trên . 0,5 3đ Từ (1) ta được x t. 0,5 x 0 1,0 Từ đó ta có x 2 x 1 2 x 1. x 2 x 1 0 x x y x2 0,5 Ta có 33 3x (do x, y , z 0 và xyz 1) . y y z yz y y z z z x x y z C2 Tương tự 3y , 3 z nên x y z (1) 0,5 Ý2 z z x x x y y z x 2đ Vì x y z 0 , và cùng với (1) ta có: 0,5 A x y z 6 x y z =9 x y z 3 2 9 Khi x y z 1 A 9.Vậy giá trị trị lớn nhất của A bằng 9. 0,5
3. S ()//P BD (do cùng vuông góc với AC). Suy ra B' D '/ / BD B' D '  AC '. 0,5 B' Gọi G là giao điểm của AC' và SO, theo định lý C' SH SB ' 2 G Thales ta có .Nên G là trọng tâm 0,5 D' SO SB 3 C3 B A tam giác SAC. Vậy tam giác SAC là tam giác đều Ý1 O cạnh a 2. C 4đ D Tứ giác AB'C'D' có 2 đường chéo vuông góc nên có diện tích là 1,0 1 1a 6 2 a2 3 S AC'. B ' D ' . . a 2 . 2 2 2 3 3 2. Vì AD/ /( SBC ) nên d( AD , B ' C ') d ( AD ,( SBC )) 1,0 d( A ,( SBC )) 2 d ( O ,( SBC )) 2 h . Tứ diện O. SBC có OS,, OB OC vuông góc nhau từng đôi một tại O nên 1 1 1 1 14 a 42 1,0 . Vậy d( AD , B ' C ') 2 h . h2 SO 2 OB 2 OC 23 a 2 7 2. Gọi các đường thẳng qua D, E lần lượt 0, 5 vuông góc BC là x và x'; tương tự y và y'; z và z'. Gọi D' là giao điểm thứ 2 của x với (O). C3 Ta có: x//x' và O là trung điểm D'E (vì 0,5 Ý2 EDD ' 900 ). 2đ Xét phép đối xứng tâm Đo biến D' thành 0,5 E nên biến x thành x'. Tương tự Đo biến y, z lần lượt thành y', 0,5 z'. Vì x, y, z đồng quy nên x', y', z' đồng quy. x 0,  n * Dễ thấy n . 0,25 5xn 1 4 x n 1 4 5 x n 1 4 6( x n 1 1) xn 4 4 ; x n 1 1 0,25 xn 1 2 x n 1 2 x n 1 2 x n 1 2 C4 x 41 x 4 1 x 4 1x 4 1 0,5 n n 1 n 2 1 . x 1 6 x 1 62 x 1 6n 1 x 1 6 n Ý1 n n 1 n 2 1 n 2đ 4.6 1 * Do đó xn n ,  n  6 1 0,5 4.6n 1 0,5 limx lim 4. n 6n 1 Đặt h x f x 100 x . 0,25
4. Ta có h 1 h 2 h 3 0 nên các số -1, -2, -3 là nghiệm đa thức bậc 0,25 bốn h(x); C4 do đó h(x) có dạng Ý2 hxxx 1 2 x 3 xx fxxx 1 2 x 3 xx 100 x 0 0 0,25 1đ f 10 f 14 Khi đó 582 2017. 16 0,25 T a, a , , a Đếm số tất cả các bộ số nguyên 1 2m n 1 k với 1 a a a m n 1 bằng hai cách: 1 2m n 1 k 1,0 - Số cách chọn m n 1 k phần tử trong m n 1phần tử là CCm n 1 k k . m n 1 m n 1 - Với mỗi i (0 i k ) , cho phần tử am 1 k của T nhận giá trị m i 1. C5 Bộ T a, a , , a , 1 a a a m i và 1 1 2m k 1 2 m k 2đ Taa , , , a , miaa 2 a mn 1. 2mkmk 2 3 mnk 1 mk 2 mk 3 mnk 1 1,0 k k k m k n k i i k k i i Số tất cả bộ T là CCCCm i n i  m i n i Vậy CCCm n 1  m i n i . i 0 i 0 i 0 Hết