Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Khối 12 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Yên Lạc 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Khối 12 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Yên Lạc 2 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2.5 điểm). 322 a) Cho hàm số yx 342 mxm có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị hàm số Cm có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm C 1; 4 . 24x b) Cho hàm số y có đồ thị là C và hai điểm MN 3; 0 , 1; 1 . Tìm trên đồ thị x 1 hàm số C hai điểm A, B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng MN . Câu 2 (2.0 điểm). a) Giải phương trình: 4cos2 x 1 sinxxxx 2 3 cos cos2 1 2sin . b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác 5 suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn . 6 3252xx22 xx 121 y yy 2 22 Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình xy, 22 xyxy 2243 Câu 4 (1.5 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD. A111 B C D 1 có các cạnh AB AD2, AA1 3 0 và góc BAD 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD11 và AB11. a) Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng BDMN . b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có ABBC 3, 6, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với mặt phẳng ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6. Tính thể tích khối chóp S. ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD. Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J 2;1 . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: 2100x y và D 2; 4 là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x y 70. Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương abc,,thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 7 121 biểu thức A . abc222 14 abbcca Hết - Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .; Số báo danh:
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: 322 Câu 1.a (1.25 điểm) Cho hàm số yx 342 mxm có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị hàm số Cm có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm C 1; 4 . Nội dung Điểm TXĐ: D . Đạo hàm: yxmx'3 2 6 2 x 0 yxmx'0 3 6 0 . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m 0. 0.25 x 2m Tọa độ hai điểm cực trị là Am 0;42,2;442.232 Bmmm  0.5 Ta có: AB 2;4 m m3264 AB 4 m 16 m 2 m 14 m . Phương trình đường AB:2 m22 x y 4 m 2 0. 62 m2 1 3 dCAB ; , suy ra SdCABABmm ABC ;. 62. 0.25 14 m4 2 3 m 1 Do đó 62mm 4 . 0.25 m 2 24x Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số y có đồ thị là C và hai điểm x 1 MN 3; 0 , 1; 1 . Tìm trên đồ thị hàm số C hai điểm A, B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng MN . Nội dung Điểm Phương trình đường MNx:230 y . Phương trình đường AB:2 y x m . 0.25 24x Khi đó hai điểm A, B có hoành độ thỏa mãn: 2x m. ĐK: x 1. x 1 0.25 Pt 2401xmxm2 Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán
3. Để đường AB cắt C tại hai điểm phân biệt thì pt 1 có hai nghiệm phân biệt 04432 m khác -1 mm8320 . 240 mm m 443 xx12 Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ ; x12 xm với x12, x là nghiệm 2 0.5 m mm của pt 1. Mà xx12 nên I ; . 2 42 mm Ta có: I MN nên 2. 3 0m 4 ( thỏa mãn). 42 0.25 Suy ra AB 0; 4 , 2;0 hoặc AB 2;0 , 0; 4 . Câu 2.a (1.0 điểm) 4cos2 x 1 sinxxxx 2 3 cos cos 2 1 2sin . Nội dung Điểm Phương trình tương đương với: 2sinxx (2cos22 1) 2 3 cos xxx cos 2 4cos 1 0. 0.25 2sinxx cos 2 2 3 cos xx cos 2 3cos22 x sin x 0 0.25 2cos2xx sin 3 cos x 3 cos x sin x 3 cos x sin x 0 3cosxx sin 2cos2 x 3cos xx sin 0 +) 3cosx sinxxxk 0 tan 3 . 3 0.25 5 xk 2 5 6 0.25 +) 2cos2xxxxx 3 cos sin 0 cos2 cos . 6 52 k x 18 3 552 k Vậy phương trình có nghiệm: x k , xkx 2, . 3 6183 Câu 2.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao 5 nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn . 6 Nội dung Điểm Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn 0.25 lại ghi số không chia hết cho 4. x Giả sử rút xxx 19; , số cách chọn x từ 9 thẻ trong hộp là C9 , số phần tử x của không gian mẫu là:  C9 . Gọi A là biến cố:” Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4” Suy ra A là biến cố:” Lấy x tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4” x Số cách chọn tương ứng với biến cố A là A C7 Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán
4. x x CC77 0.25 Ta có PA x PA 1 x CC99 x 55C7 2 0.25 Do đó PA 11760051269x x x x x 66C9 Vậy giá trị nhỏ nhất của x là 6. Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6. 0.25 3252xx22 xx 121 y yy 2 22 Câu 3. (1.0 điểm) xy, 22 xyxy 2243 Nội dung Điểm 3xx22 2 52 xx 12 y 1 yy 2 2 2 0(1) Hệ đã cho trở thành: xyxy22 22430(2) 22 222 3252x xxxyyyxyxy 121 22 2243 0.25 xxx22 11 y22 y 111(*) y t 2 Xét hàm số: ft() t22 t t 1( t ) có f '(ttt ) 22 1 2 tt 2 0 t 2 1 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 0.25 Do đó từ phương trình (*) ta có: x y 1 thế vào phương trình (2) ta được: 2 2 y yyyy 1222 2 14303 yy 440 3 0.25 y 2 +) Với yx 21 25 +) Với yx 33 53 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là: 1; 2 ; ; . 32 0.25 Câu 4.a (0.75 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD. A111 B C D 1 có các cạnh 0 AB AD2, AA1 3 và góc BAD 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD11 và AB11. Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng BDMN . Trang 3/6, HDC HSG12-Môn Toán
5. Nội dung Điểm Ta có: BD   AC,(). BD AA1111 BD mp ACC A AC BD 0.25       111   22   Mặtkhác: AC1111 BN AB BC CC BB BA AB BA BC BB = 222   0.5 213 0. Suy ra AC1  BN 2. Từ 1 và 2(). AC1 BCMN Câu 4.b (0.75 điểm) Tính thể tích khối chóp A.BDMN . Nội dung Điểm Gọi AADMBNI11  AMN,, lần lượt là trung điểm của AIDIBI,,. 0.25 VIAMN. IA IM IN 1 3 VVA BDMN I ABD VIAIBIDIABD. 4 4 31 1 3 3 Suy ra VIASdvtt . .23.2.2 0.5 A. BCMN43 ABD 4 4 2 3 Vậy thể tích khối chóp ABDMN . bằng . 2 Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có ABBC 3, 6, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với mặt phẳng ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6. Tính thể tích khối chóp S. ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD. Trang 4/6, HDC HSG12-Môn Toán
6. Nội dung Điểm Hạ SH  AB H AB SH ABCD Kẻ HK CD K CD tứ giác HBCK là hình chữ nhật. Ta có: BC SAB Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là: SBH 0.25 CD SHK Góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD là: SKH Theo giả thiết: SBH SKH SHB SHK g c g HK HB BC 6 . Do đó A là trung điểm của HB. 0.25 Ta thấy ABDK là hình bình hành BDAKBDSAK// // mà SA SAK Suy ra d BD,, SA d BD SAK d D , SAK d H , SAK h 6. 11 1 1 1111 Do tam diện HSAK. vuông tại H nên: hHSHAHK22226936 HS 2 SH 6 0.25 11 Suy ra VSHS . . .6.3.6 36 (dvtt). S. ABCD33 ABCD Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BDBDSAAKSA ,, Ta có: SA 62, SA AK 35. Trong tam giác SAK có: AS222 AK SK 45 45 72 1 cosSAK . 0.25 2.AS . AK 2.3 5.3 5 5 1 Vậy SAK arccos . 5 Câu 6. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J 2;1 . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình: 2100x y và D 2; 4 là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x y 7 0. Nội dung Điểm Trang 5/6, HDC HSG12-Môn Toán
7. AJ đi qua J 2;1 và D 2; 4 nên AJ có phương trình : x 20 Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ : 0.25 xx 20 2 A 2; 6 . 21006xy y Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có DB DC DB DC và EA EC 11 DBJ sdEC sdDC sdEA sdDB DJB DBJ cân tại D. 22 DB DC DJ hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC. 0.25 Suy ra BC, nằm trên đường tròn tâm D 2; 4 bán kính JD 052 5 có phương trình xy 2425.22 Khi đó tọa độ B là hệ của nghiệm: 22 xy 2425 xx 32 B 3; 4  0.25 xy 70 yy 49 B 2; 9 Do B có hoành độ âm nên B 3; 4 . BC đi qua B 3; 4 và vuông góc AH nên có phương trình: xy 250. 22 xy 2425 Khi đó C là nghiệm của hệ: C 5; 0 xy 250 0.25 Vậy AB 2;6, 3;4, C 5;0. Câu 7. (1.0 điểm) Cho các số thực dương abc,,thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 7 121 biểu thức A . abc222 14 abbcca Nội dung Điểm 222 2 1 abc Ta có 12 abc a222 b c abbccaabbcca 2 0.25 7 121 Do đó A abc222 71 abc222 Trang 6/6, HDC HSG12-Môn Toán
8. Đặt tabc 222. Vì abc,, 0 và abc 1 nên 01,01,01 abc Suy ra ta 222 b c abc1 0.25 Mặt khác 123 abc2 a222 b c abbcca a 222 b c 2221 1 Suy ra ta b c . Vậy t ;1 . 3 3 71211 Xét hàm số ft ;;1 t tt7(1 ) 3 7 121 0.25 ft' t 2 71 t 2 7 ft'0 t 18 Lập BBT của hàm số f t 324 1 Dựa vào BBT suy ra ft  ;;1 t . 73 0.25 324 111 Vậy min A đạt được khi abc ;;. 7 236 Hết Trang 7/6, HDC HSG12-Môn Toán