Đề thi khảo sát chất lượng và chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Mã đề 235 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS và THPT Thống Nhất (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng và chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Mã đề 235 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS và THPT Thống Nhất (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ THI KSCL VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: Toán – Lớp 12 Gồm có 6 trang Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 235 1 Câu 1. Tập xác định của hàm số y = là sinxx− cos π π π A. \,{kkπ∈} . B. \+kk 2, π∈ . C. \,+πkk ∈ . D. \,+πkk ∈ 4 2 4 Câu 2. Tìm tập giá trị của hàm số y=3 sin xx −− cos 2   A. −2; 3 . B. −−3 3; 3 − 1 . C. [−4;0]. D. [−2;0]. 2n Câu 3. Cho khai triển nhị thức Newton của (23− x) , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 21n+ 7 CCC21nnn+++++++= 21 21 C21 n + 1024 . Hệ số của x bằng A. −2099520 . B. −414720 . C. 2099520 . D. 414720 . Câu 4. Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều và có một ° góc lớn hơn 100 . 2 3 3 3 A. 2018C896 . B. 2018C896 . C. C1009 . D. 2018C897 Câu 5. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ 3 24 9 3 A. . B. . C. . D. . 8 25 11 4 a a Câu 6. Câu 3.Biết limnn2 + 3 + 2 −+ n 1 = , trong đó là một phân số tối giản. Tính T=3 ab − . ( ) b b A. T = −13 . B. T =13. C. T =1. D. T = −1 uu12=−=1, 3 Câu 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi:  . Số hạng thứ 7 của dãy là: un+−11=5 uu nn − 6 , ∀≥ n 2 A. 1023. B. 3261. C. 309. D. 4284 Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , SA= SB = a , SC= SD = a 3 . Gọi EF, lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB . Trên cạnh BC lấy M sao cho BM= x ? Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF ) theo x và a ? a 3a 3a a A. 16x22++ 8 aa. B. (43xa+ ) .C. 16x22++ 8 aa 3 . D. x22−+8 ax a . 4 16 16 16 Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB = a, SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng ( ABCD) bằng 85 10 85 85 A. arctan . B. arctan . C. arcsin . D. arccos . 17 17 17 17 Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC) bằng 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA . a 5 a 5 a 2 a A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 1 Câu 11. Cho hàm số y=−+ xxx324 −− 5 17 . Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm x ; x . Khi đó tổng 3 1 2 xx12+ bằng: A. −8 . B. 5. C. −5 . D. 8 . Trang 1/29 - Mã đề 235
2. ax2 ++ bx1, x ≥ 0 Câu 12. Cho hàm số fx()=  . Khi hàm số có đạo hàm tại x0 = 0 , hãy tính Ta= + 2 b. ax−− b1. x < 0 A. T = −4 . B. T = 0 . C. T = −6 . D. T = 4 . 2 1 2 Câu 13. Cho hàm số y= fx( ) có đạo hàm là fx′( ) =−+( x11) . Xét hàm số gx( ) = f f( x) −− x2 x. 2 Số các nghiệm nguyên của bất phương trình gx′( ) ≤ 0 là: A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 −+23x Câu 14. Cho đồ thị hàm số (Cy) : = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của x −1 (C) với đường thẳng yx= − 3 . A. yx=−+3 và yx=−−1. B. yx=−−3 và yx=−+1. C. yx= − 3 và yx= +1. D. yx=−+2 và yx=−+1. 4 22 Câu 15. Cho hàm số yx=−+(34 m) x + m có đồ thị là (Cm ) . Tìm m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. −12 −12 12 A. mm=12; = . B. m =12 . C. m = . D. m = . 9 9 9 x −1 Câu 16. Cho hàm số y = . Tính đạo hàm cấp n của hàm số. xx2 −+56 (−− 1)nn .nn ! ( 1) . ! (−− 1)nn .nn ! ( 1) . ! A. y()n =2. − B. y()n =2. + (xx−− 3)nn++11 ( 2) (xx−− 3)nn++11 ( 2) (−− 1)nn .nn ! ( 1) . ! (−− 1)nn .nn ! ( 1) . ! C. y()n =2. − D. y()n =2. − (xx−− 3)nn ( 2) (xx−− 2)nn++11 ( 3) Câu 17. Cho hàm số yf= (x) có đạo hàm trên . Gọi (C1 ) , (C2 ), (C3 ) lần lượt là đồ thị của các hàm số 2 y= fx( ) , y= gx( ) = f f( x) , y= hx( ) = f( x +1) . Biết rằng f (25) = , f ′(22) = , g′(24) = . Hãy tính h′(2) . A. h′(22) = . B. h′(24) = . C. h′(26) = . D. h′(28) = . x3 Câu 18. Hàm số y=−+− x2 mx +1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞) khi và chỉ khi 3 A. m∈[1; +∞) . B. m∈(1; +∞) . C. m∈[0; +∞) . D. m∈(0; +∞) . Câu 19. Cho hàm số y= fx( ) có bảng biến thiên như hình dưới đây: 1 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 21fx( ) − A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 20. Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Trang 2/29 - Mã đề 235
3. Phương trình f(2sin xm) = có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−ππ; ] khi và chỉ khi A. m∈−{ 3;1} . B. m∈−( 3;1). C. m∈−[ 3;1) . D. m∈−( 3;1] . 2019 Câu 21. Cho hàm số fx( ) =(1 − x2 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?. A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên (−∞;0). C. Hàm số nghịch biến trên (−∞;0). D. Hàm số nghịch biến trên . Câu 22. Cho hàm số y= f( x) = mx43 + nx + px 2 ++ qx r và hàm số y= fx′( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết fa( ) > 0 , hỏi đồ thị hàm số y= fx( ) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . 2 Câu 23. Tìm tập xác định D của hàm số yx=−−( 4234 x ) ? A. D;=( −∞ −14) ∪( ; +∞) . B. D;=( −∞ −22) ∪( ; +∞) . C. D;=( −∞ −22] ∪[ ; +∞) . D. D;=( −∞ +∞) . 2 Câu 24. Giả sử phương trình log22xm−+( 2) log x + 2 m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt xx12, thỏa mãn xx12+=6 . Giá trị của biểu thức xx12− là A. 3. B. 8. C. 2. D. 4 Câu 25. Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong 3 năm đầu tiên là 6 triệu đồng /tháng. Tính từ ngày đầu tiên làm việc, cứ sau đúng 3 năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng . Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu ? 4 6 A. 6.( 1,1) triệu đồng. B. 6.( 1,1) triệu đồng. 5 16 C. 6.( 1,1) triệu đồng. D. 6.( 1,1) triệu đồng. Câu 26. Cho ba số a + log2 3 , a + log4 3 , a + log8 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng Trang 3/29 - Mã đề 235
4. Câu 22: Cho hàm số y= f( x) = mx43 + nx + px 2 ++ qx r và hàm số y= fx′( ) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết fa( ) > 0 , hỏi đồ thị hàm số y= fx( ) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta suy ra phương trình fx′( ) = 0 có ba nghiệm đơn là xa= , xb= , xc= . Từ đó ta có bảng biến thiên Do fa( ) > 0 nên để đồ thị hàm số y= fx( ) cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất có thể thì fc( ) c. 2 Câu 23: Tìm tập xác định D của hàm số yx=−−( 4234 x ) ? A. D;=( −∞ −14) ∪( ; +∞) . B. D;=( −∞ −22) ∪( ; +∞) . C. D;=( −∞ −22] ∪[ ; +∞) . D. D;=( −∞ +∞) . Lời giải Chọn B Điều kiện xác định của hàm số : xx42−3 −> 40 ⇔xx <−22 ∨ < . 2 Câu 24: Giả sử phương trình log22xm−+( 2) log x + 2 m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt xx12, thỏa mãn xx12+=6 . Giá trị của biểu thức xx12− là A. 3. B. 8. C. 2. D. 4 Lời giải Chọn C 2  log2 x = 2  x = 4 m log22xm−+( 2) log x + 2 m =⇔ 0  ⇔ m 42 6m 1. log2 xm= x = 2 Khi đó, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt là {4; 2} suy ra xx12−=2 . Câu 25: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong 3 năm đầu tiên là 6 triệu đồng /tháng. Tính từ ngày đầu tiên làm việc, cứ sau đúng 3 năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng . Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu ? Trang 16/29 - Mã đề 235
5. 4 6 A. 6.( 1,1) triệu đồng. B. 6.( 1,1) triệu đồng. 5 16 C. 6.( 1,1) triệu đồng. D. 6.( 1,1) triệu đồng. Lời giải Chọn C Gọi A là số tiền lương một tháng trong 3 năm đầu . Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 4 là : T1 =+=+= AA.0,1 A( 1 0,1) A .( 1,1) đồng . Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 7 là : 2 T2=+=+= TT 11.0,1 T 1( 1 0,1) T1 .( 1,1) = A( 1,1) đồng . Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 10 là : 3 TTT3=+=+= 22.0,1 T 2( 1 0,1) T2 .( 1,1) = A( 1,1) đồng . Mức lương tháng đầu tiên nhận được trong năm thứ 13 là : 4 T4=+=+= TT 33.0,1 T 3( 1 0,1) T3 .( 1,1) = A( 1,1) đồng . Vậy tháng lương đầu tiên của năm thứ 16 là : 556 TTT5=+== 44.0,1 T 4 .1,1 A( 1,1) = 6.10 .( 1,1) đồng. Câu 26: Cho ba số a + log2 3 , a + log4 3 , a + log8 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Công bội của cấp số nhân đó bằng 1 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 4 2 3 Lời giải Chọn D. 2 Theo giả thiết ta có (a+=++log4 3) ( aa log 28 3)( log 3) . 222 Suy ra a+2 a log4 3 +( log 4 3) =+++aa( log2 3 log 8 3) log 28 3.log 3. 122 41 1 11 ⇔+aalog22 3( log 3) = log 22 3 +( log 3) ⇔=−a log2 3. 4 33 3 43 1 ⇔=−a log 3 . 4 2 3 1 1 Vậy a +=log 3 log 3 ; a +=log 3 log 3 . Suy ra công bội của cấp số nhân bằng . 224 424 3 2 Câu 27: Tích các nghiệm của phương trình log24( xx++ 2) log( − 5) + log 1 8 = 0 là 2 A. −12 . B. −18 . C. 36. D. −2 . Lời giải Chọn A x +>20 x >−2 Điều kiện xác định 2 ⇔ ( x −>50) x ≠ 5 2 Khi đó log24( xx++ 2) log( − 5) + log 1 8 = 0 2 ⇔log22( xx + 2) + log −−= 5 3 0 ⇔log2 ( xx + 2) − 5 = 3 Trang 17/29 - Mã đề 235
6. ⇔( xx +2) −= 58 TH1: Với x ∈−( 2;5)  3+ 17 x= ( tm) 2 2 Ta có (1) ⇔+( xx 25)( −=) 8⇔xx −3 −= 20⇔   3− 17 x= ( tm)  2 TH2: Với x ∈(5; +∞) x= −3( loai) Ta có (1) ⇔+( xx 2)( −= 58) ⇔−−=xx2 3 18 0 ⇔  x= 6( tm) 3± 17 Suy ra tập nghiệm của phương trình là S = ;6 ⇒ tích các nghiệm là −12 . 2 Câu 28: Cho hàm số y= fx( ) liên tục và có đạo hàm trên . Hàm số y= fx ′( ) có bảng xét dấu như sau cos x  Bất phương trình fx( ) >+ e m có nghiệm x ∈0; khi và chỉ khi 2   A. mf≤−1. B. mf ( ) 0 và 0 ( ) 0. 2    Suy ra hàm số gx( ) đồng biến trên khoảng 0; ⇒==−max gx( ) g f 1 .    2 0; 22  2 fxe( ) >cos xx +⇔< mmfxe( ) −cos ⇔< mgx( ) (*)   Bất phương trình (*) có nghiệm x ∈ 0; khi và chỉ khi m<max gx( ) ⇔< m f −1.    2 0; 2 2 1 Câu 29: Cho hàm số fx( ) =log x +− 3x 3x . Tính tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương trình  1 2 f+fx( −+=220 x ) có đúng 3nghiệm phân biệt bằng 21xm−+ 5 7 A. . B. . C. 3. D. 2 . 2 2 Lời giải Trang 18/29 - Mã đề 235
7. Chọn B 111 Hàm số fx( ) có tập xác định là D =(0; +∞) . Ta có fx′( ) = +3x ln 3 + .3x .ln 3 > 0, ∀>x 0 , xxln10 2 do đó hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). 11 11 vv Nhận xét: Nếu v ∈(0; +∞) thì f=log +−=−−+ 3vv 3 logv 3 3 =− fv( ) . Ngược lại nếu vv 1 fu( ) = − fv( ) thì u = . v   1122 Do đó f+fx( −+=⇔220 x) f=−−+fx( 22 x ) 21xm−+ 21xm−+ 11 22x− mx =−+2 21 x ⇔ = ⇔2xm − += 1 x2 − 2x + 2 ⇔ 2  2 2xm−+ 1 x − 22 x + 22xm− =−+ x 21 x − 22x− mx =−+2 21 x 2m=−+ x2 41 x −= fx( ) ⇔⇔  22 22x− m =−+ x 21 x − 2 m = x += 1 gx( ) Vẽ đồ thị hàm số fx( ) và gx( ) trên cùng hệ trục ta được: Để phương trình đã cho có đúng 3nghiệm thì đường thẳng ym= 2 cắt hai đồ thị trên tại đúng 3 điểm  m =1 22m =   3 2 917 ⇔23mm =⇔ =⇒∑ m =++=1 .   2 442 21m =   1 m =  2 Câu 30: Hàm số yxx=( 2 −+1) ex có đạp hàm A. y′ =(21 xe − ) x . B. y′ =( x2 − xe) x . C. y′ =( x2 + xe) x . D. yx′ =( 2 +1) ex . Lời giải Chọn C yxx=( 2 −+1) ex ⇒ y′ =( 21 x −) e x +( xx22 −+ 1) e xx =( xxe +) . log2 x Câu 31: Tìm nghiệm của bất phương trình 2 2 +x2log2 x −≤20 0 1 1 A. 0 <≤x B. ≤≤x 2 2 2 Trang 19/29 - Mã đề 235
8. 1 11 C. ≤≤x 2 D. ≤≤x . 3 32 Lời giải Chọn B Điều kiện: x > 0 log2 x 2 2 2 2 +x2log2 x −≤20 0 ⇔24log22xx +x 2log −≤20 0 ⇔16log22xx +x 2log −≤20 0 t Đặt log2 xt=⇒= x2 2 2t 22 BPT ⇔16t +( 2 t) −≤⇔ 20 0 16tt +−≤ 4 20 0 2 2 Đặt 4t = u ,u ≥1 (vìu =4t ≥= 410 ) BPT ⇔uu2 + −20 ≤ 0 ⇔− 5 ≤u ≤ 4 Kết hợp với u ≥1 ⇒≤14u ≤ 2 1 ⇒≤1440t ≤ ⇔ ≤tt22 ≤⇔ 1 ≤⇔−≤≤⇔−≤ 1111log1 t x ≤⇔22−1 ≤≤⇔xx ≤≤ 2 2 2 Câu 32: Xét các số nguyên dương ab, sao cho phương trình aln2 xb+ ln x += 5 0 có hai nghiệm phân biệt 2 xx12, và phương trình 5logxb+ log xa += 0 có hai nghiệm phân biệt xx34, thỏa mãn xx12> xx 34. Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của S=23 ab + A. Smin = 30 . B. Smin = 25. C. Smin = 33 . D. Smin =17 . Lời giải Chọn. A. Điều kiện để phương trình có nghĩa và có nghiệm là x > 0 và b2 −>20 ab 0 +) Xét phương trình aln2 xb+ ln x += 5 0 . Đặt tx= ln . Khi đó pt ⇔at2 + bt +=50 Phương trình có nghiệm t1=ln xt 12 , = ln x 2 là hai nghiệm của phương trình, theo định lí Viét ta có: b b − t+= tln xx =−⇔ xx = e a . 1 2 12 a 12 +) Xét phương trình 5log2 xb+ log xa += 0 Đặt ux= log . Khi đó: Pt ⇔50u2 + bu += a . Giả sử u1=ln xu 32 , = ln x 4 là hai nghiệm của phương trình, theo định lí Viets, ta có b b − u+ u =log( xx) =−⇔ xx =10 5 . 1 2 34 5 34 bb b −− b − Do đó xx> xx ⇔ e a >1055 ⇔− > ln10 12 34 a bb 1 ln10 5 ⇔− >−ln10 ⇔ aa a5 ln10 Theo giả thiết: aN∈* ⇒≥ a3 b2*−20 a > 0, bN ∈ ⇒≥ b8 Vậy ta có S=+≥+=⇒2 ab 3 2.3 3.8 30 Smin = 30 . Câu 33: Khối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều? A. Khối bát diện đều. B. Khối mười hai mặt đều. C. Khối tứ diện đều. D. Khối hai mươi mặt đều. Trang 20/29 - Mã đề 235
9. Lời giải Chọn B Khối mười hai mặt đều có các mặt là ngũ giác đều. Câu 34: Mệnh đề nào sao đây đúng? A. Hình bát diện đều có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt. B. Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt. C. Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 8 cạnh và 8 mặt. D. Hình bát diện đều có 8 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt. Lời giải Chọn B Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt.  0 Câu 35: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác cân tại A, BAC =120 và BC= a 3. Biết SA= SB = SC = 2. a Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . a3 a3 a3 A. . B. a3 . C. . D. . 4 2 3 Lời giải Chọn A S A C 60° H M B Trang 21/29 - Mã đề 235
10. Gọi M là trung điểm BC⇒⊥ AM BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống đáy. Vì SA= SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC⇒∈ H AM. BM AB a = = = = = Xét tam giác vuông ABM : AB AC0 a, AM . sin 60 2 2 13a2 Diện tích tam giác ABC: S= AB. AC sin1200 = . ABC 24 a 13 Xét tam giác vuông SBM:. SM=−= SB22 BM 2 SA++ AM SM 5 + 13 pa= = . Diện tích tam giác SAM : 24 aa2 31 S= p( p − SA )( p − AM )( p − SM ) = =SH. ⇒= SH a 3. SAM 422 13aa23 Thể tích của khối chóp S. ABC : V = . .3a = S. ABC 34 4 Câu 36: Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′′′′ B C D biết độ dài cạnh đáy bằng 2a đồng thời góc tạo bởi AC′ và đáy ( ABCD) bằng 30° . 86a3 86a3 A. V = . B. Va= 24 6 3 . C. Va= 863 . D. V = . 3 9 Lời giải Chọn A A' D' B' C' D A B 2a C Ta có góc tạo bởi AC′ và đáy ( ABCD) là góc A′ CA =30 ° , và AC= 22 a , 1 26 suy ra và AA′′= ACtan ACA ′= 30 °= a .2 2 = .a. 3 3 3 2 26 86a ⇒=Va(2.) . a = . 33 Câu 37: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc A bằng 600 , O là tâm hình thoi, SA vuông góc với đáy. Góc giữa SO và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD . 3a3 a3 A. 2a3 . B. 32a3 . C. . D. . 8 4 Trang 22/29 - Mã đề 235
11. Lời giải Chọn D. S A B D O A C D O B C Ta có: (SO;D;( ABC)) =( SO AO) = SOA =450 ⇒ ∆SAO vuông cân tại A. a 3 ⇒=SO AO = ( ∆ABD đều ) . 2 aa2233 SS=22 = = . ABCD∆ ABD 42 1 13aa23 3 a ⇒=V SA. S = =. S. ABCD 3ABCD 32 2 4 Câu 38: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA= a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc SD sao cho SN= 2 ND . Tính thể tích khối tứ diện ACMN . 1 1 1 1 A. Va= 3 . B. Va= 3 . C. Va= 3 . D. Va= 3 . 36 6 8 12 Lời giải Chọn D S M N A D B C Ta có VVACMN= S. ABCD −( VVVV S AMN +++ S CMN M ABC N ACD ) . 11 Với V= SA. S = a3 S. ABCD 33ABCD 3 VS. AMN SM SN 12 1 1 a 1 3 = = = , mà VVS ABD= S ABCD = suy ra VaS. AMN = . VS. ABD SB SD 23 3 26 18 Trang 23/29 - Mã đề 235
12. 1 Tương tự Va= 3 S. CMN 18 11 11 Lại có VV= = a3 ; VV= = a3 . M ABC2 S ABC 12 N ACD3 S ACD 18 13 111133 1 Vậy VACMN = a − +++aa = . 3 18 18 12 18 12 Câu 39: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và thể tích V = 270 . Lấy điểm S′ trong không   gian sao cho SS′ = −2 CB . Tính thể tích phần chung của hai khối chóp S. ABCD và S′. ABCD . A. 120. B.150. C. 180. D. 90 . Lời giải Chọn A. Gọi E= S′ A ∩ SD , F= S′ B ∩ SC . Phần chung của hai khối chóp S. ABCD và S′. ABCD là đa diện ABCDEF . Ta có: VABCDEF= VV S ABCD − S ABFE . SF SS′ SS′// BC ⇒==2 . FC BC SE SS′ SS′// AD ⇒==2. ED AD 1 VV= = V. S ABC S ACD2 S . ABCD VS. ABF SF 2 21 = = ⇒=VVVS ABF S ABC = S ABCD . VS. ABC SC 3 33 Trang 24/29 - Mã đề 235
13. VS. AFE SF SE 4 42 =. = ⇒=VVVS AFE S ACD = S . ABCD . VS. ACD SC SD 9 99 5 Suy ra: V=+= VV V =150 . S. ABFE S ABF S AFE9 S . ABCD Vậy: VABCDEF=−= VV S ABCD S ABFE 120. Câu 40: Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60° và diện tích xung quanh bằng 6π a2 32π a3 π a3 2 A. V = . B. Va= 3π 3 . C. V = . D. Va= π 3 . 4 4 Lời giải Chọn B. A 30° l r B O C l l 3 Tam giác ABC đều cạnh l , bán kính r = , chiều cao h = thể tích khối nón là 2 2 2 22 2 Sxq =ππ rl = 6 a ⇒=rl6 a ⇒= l 12 a . 1 1ll2 31 1 V=ππ rh22 = = πl l 3= ππ.12a23 .2aa 3. 3= 3 . 3 3 4 2 24 24 Câu 41: Hình chóp S. ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . 5 15π 5 15π 43π 5π A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 18 54 27 3 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB . Trang 25/29 - Mã đề 235
14. (SAB) ⊥ ( ABC)  Ta có: (SAB) ∩( ABC) = AB ⇒⊥ SH( ABC) .  SH⊂⊥( SAB); SH AB Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Qua O dựng đường thẳng song song với SH , cắt SC tại K . Khi đó đường thẳng OK là trục đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp S. ABC . Gọi M là trung điểm của BC . Dựng mặt phẳng trung trực của BC , mặt phẳng này cắt đường thẳng OK tại I . Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . Do OK// SH nên: OK CO 2 2 23 3  = =⇒==OK SH . =. SH CH 3 3 32 3 CK CO 2 2 21 2 1  ==⇒=CK SC ⇒+= CM MK SC ⇒ SC += MK SC ⇒= MK SC SC CH 3 3 32 3 6 16 ⇒=MK SH22 + CH = 6 12 Dễ thấy ∆SHC vuông cân tại H ⇒OKC = HSC =45 ⇒∆ IMK vuông cân tại M 3 ⇒=IK2 MK = . 6 3 15 Ta có: OI= OK − IK = ⇒= R IC = OI22 + OC = OI 22 + OK = . 66 4 5 15π Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là: VR=π 3 = . 3 54 Câu 42: Cho mặt cầu (S ) tâm O có diện tích bằng 400π cm2 . Mặt phẳng (P) cách tâm O một khoảng bằng 6cm và cắt mặt cầu (S ) theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r= 7 cm . B. r= 10 cm . C. r= 40 cm . D. r= 8 cm . Lời giải Chọn D Gọi R là bán kính mặt cầu , ta có diện tích mặt cầu: SR=4ππ2 = 400 ⇔=R 10 cm Mặt phẳng (P) cách tâm O một khoảng bằng 6cm và cắt mặt cầu (S ) theo thiết diện là một đường tròn bán kính r , ta có: r2= R 2 − d 2( O,( P)) = 1022 − 6 = 64 ⇔=r 8 cm . Câu 43: Cho tam giác vuông cân ABC có AB= BC = a 2 . Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng đi qua B và song song với AC ta thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng 2π a3 4π a3 A. 2π a3 . B. . C. . D. π a3 . 3 3 Lời giải Chọn C Trang 26/29 - Mã đề 235
15. AC= 2 a ; OA= OB = a ; OB′′= OC = a. Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi cho hình chữ nhật AOO′ C quay quanh OO′ là V= π OA2 AC = π aa2.2 = 2π a3 . T Thể tích khối nón đỉnh B , đáy là đường tròn tâm O là 1 2 1 2 1 3 VN = π OA OB = π aa. = π a . 3 3 3 π a3 4π a3 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là VV= − 2 V=2π a3 − 2. = . TN 3 3 Câu 44: Cho hai khối nón có chung trục SS′ = 3 r . Khối nón thứ nhất có đỉnh S , đáy là hình tròn tâm S′ bán kính 2r . Khối nón thứ hai có đỉnh S′ , đáy là hình tròn tâm S bán kính r . Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng 4π r3 π r3 4π r3 4π r3 A. . B. . C. . D. . 27 9 9 3 Lời giải Chọn C Ta có phần chung của hai khối nón đã cho gồm hai hình nón (H1 ) là hình nón đỉnh S bán kính IH và (H2 ) là hình nón đỉnh S′ bán kính IH SH SA r 1 SH 1 ∆SAH ∆ BS′ H ⇒===⇒=. HB S′ B22 r SB 3 IH SH 12r ∆SIH ∆ SS′ B ⇒ = =⇒=IH . S′ B SB 33 Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng 2 3 122 1 1 2 12 12rr 4π V=ππ IH SI + IH S′ I = π IH.( SI += S ′′ I) π IH. SS = π.3r = . 3 3 3 3 33 9 Trang 27/29 - Mã đề 235
16. 34x2 + Câu 45: Họ các nguyên hàm của hàm số fx( ) = trên khoảng (0; +∞) là x 4 3x2 A. 3−+C . B. 3x2 ++ 4ln xC C. ++4ln xC. D. x3 ++4 nx C . x2 2 Lời giải Chọn C 34x2+  4 3 xx223 Ta có dx= 3 x + d x = + 4ln x += C +4ln xC +. ∫∫xx22 4 fx(2 − ) 4 fx(2 − ) Câu 46: Xét ∫ dx . Nếu đặt ux=2 − thì ∫ dx bằng 1 xx 1 xx 4 fu( ) 2 fu( ) 1 fu( ) 1 fu( ) . . . − . A. 2d∫ 2 u B. 2d∫ 2 u C. 2d∫ 2 u D. 2d∫ 2 u 1 (u − 2) 1 (u − 2) 0 (u − 2) 0 (u − 2) Lời giải Chọn C 2 Theo giả thiết: ux=2 − ⇒=−xu2 ⇒=xu(2 −) Khi đó: dxu= 2( − 2d) u. Đổi cận: xu=11 = , xu=40 = . 4 fx(2 − ) 0 fu( ).2.( u− 2) 1 fu( ) Ta có: Ix= d ⇒= = . ∫ Iu∫ 3 d 2d∫ 2 u 1 xx 1 (2 − u) 0 (u − 2) 2 x +1 Cho dx= ln(ln ab + ) với ab, là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức ab++ a b bằng Câu 47: ∫ 2 1 x+ xxln A. 8 . B. 11. C. 15. D. 7 . Lời giải Chọn A. 1 2 221+ x++1 d(xx ln ) 2 Có dx=x d x = =+=ln (xx ln ) ln(ln 2 + 2) ∫2 ∫∫ 1 1xxx+++ln 11 xx ln xxln Vậy a==⇒ b28 ab ++= a b . ln 3 ex cd+ Câu 48: Cho dx=−+ a b ln  với abc,, là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức ∫ x  0 11++e 9 abcd+++ bằng A. 21. B. 15. C. 23. D. 27 . Lời giải Chọn C. Đặt te=x +1 ⇒=+te2 x 1 ⇒=−etx 2 1 ⇒=ex dx2 tdt . Đổi cận xt=02 ⇒= ; xt=ln 3 ⇒= 2 . Khi đó 22(2tdt ) 2 2 3+ 8 I = =(2 − )dt =− (2 t 2ln | t + 1|) =−+ 4 8 ln( ) . ∫∫++ 2211tt 2 9 Vậy abcd=4, = 8, = 3, = 8 và abcd+++ =23. Trang 28/29 - Mã đề 235
17. 3 1 Câu 49: Cho hàm số fx( ) có ff(0) = 4,′( 0) = − 2 f′′( x) = xx212 + , ∀∈x . Tích phân f() x dx bằng ( ) ∫0 7909 7211 12949 5389 A. B. C. D. 2520 2520 2520 2520 Lời giải Chọn A Tích phân từng phần, ta có: 11 1 1 f( xdx) = f( xd) ( x −=11) ( x −) f( x) −( x − 1) f′( xdx) ∫∫00 0 ∫0 2 11x 1 =f(0) −∫∫ ( x − 1) f′′( xdx) = f(0 ) − f( xd) −+ x 0022 1 22 xx111  =f(0) − −+ x f′( x) +  −+x f′′( x) dx 22∫0 22 0  2 1 11x 2 3 =f(0) + f ′( 0) + −+x x(21 x +) dx 2∫0 22  2 1 1 x 1 2 3 7909 =4 + ×− ( 2) +∫  −x + x(2 x + 1) dx = 2 0 2 2 2520 2 1 Câu 50: Cho hàm số fx( ) liên tục trên và f (2) = 16, ∫ fx( )d4 x= . Tính I= ∫ xf.′( 2d x) x. 0 0 A. 13 . B. 12 . C. 20 . D. 7 . Lời giải Chọn D Đặt tx=2 ⇒= d t 2d x. Đổi cận: x=0 ⇒= tx 0; =⇒= 1 t 2 1 2 I= ∫ tf′( t)d t 4 0 ut= du= dt Đặt ⇒ dv= f′( t)d t v= ft() 112 2 I= tft( ) −∫ ft( )d t =( 22004 f( ) − f( ) −=) 7 440 0 Trang 29/29 - Mã đề 235