Đề thi minh họa chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Phú Thọ

Nội dung text: Đề thi minh họa chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Phú Thọ

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÚ THỌ LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ MINH HỌA Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 06 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu 1. Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y cos x 1. B. y cos x 1 C y cos x 1. D. y cos x 1. Câu 2. Gọi x1, x 2 lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin 2x 3 cos 2 x 2. Tính x1 x 2 . 3 A. x x . B. x x . C. x x . D. x x 2 . 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 Câu 3. Đội dự tuyển thi học sinh giỏi Toán có 2 học sinh nữ, tham gia kỳ thi để chọn 4 học sinh vào đội tuyển chính thức. Biết xác suất trong đội tuyển chính thức có cả 2 học sinh nữ gấp 2 lần xác suất trong đội tuyển chính thức không có học sinh nữ nào, số học sinh của đội dự tuyển là A. 9. B. 11. C. 5. D. 7. Câu 4. Từ tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có ba chữ số phân biệt. A. 45. B. 99. C. 150. D. 180. Câu 5. Cho đa giác đều 2n cạnh AAA1 2 2n nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng số tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm AAA1, 2 , , 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm AAA1, 2 , , 2n . Tìm n. A. n 8. B. n 10. C. n 12. D. n 16. Câu 6. Các số a,, b c phân biệt (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26. Biết rằng a,, b c tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm a . 26 26 A. a 2. B. a . C. a . D. a 3. 7 3 Câu 7. Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng: (un ) : 4; 7; 10; 13; 16 và (vn ) :1; 6; 11; 16; 21 Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng nói trên? A. 10. B. 18. C. 19. D. 20. a x2 1 Câu 8. Cho lim 2 ; lim (x2 b . x 1 x ) 5 . Tính P a 2 b . x x 1 x A. P 8. B. P 12. C. P 18. D. P 22. Câu 9. Dãy số nào trong bốn dãy số sau là dãy số có giới hạn hữu hạn ? n  sin k n A. x k 1 . C. z 1 . n n n 1 B. y cos n . D. t . n n n n 1
2. Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc ABC 60  . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ()ABCD , góc giữa SO và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Biết khoảng cách từ a 6 điểm A đến mặt phẳng ()SCD bằng . Cạnh đáy của hình chóp đã cho bằng 4 A. a. B. 2a . C. a 3. D. a 2. Câu 11. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ()ABC . Cho AB a2; SB 3 a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ()AMB theo a . 2a 4a 2a a A. . B. . C. . D. . 3 3 9 3 Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC.''' A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và góc BAC 120o , cạnh bên BB'. a Gọi I là trung điểm của CC '. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng ()ABC ; (')AB I bằng 30 30 3 10 A. . B. . C. . D. . 10 3 10 3 Câu 13. Cho hàm số y x.sin x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. xy 2 y xy 2sin x . B. xy 2 y xy 2sin x . C. xy 2 y xy 2sin x . D. xy 2 y xy 2sin x . Câu 14. Cho hàm số y ( x 2)( x2 4 x 1) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 ( x2 4 x 1) m có 4 nghiệm thực phân biệt. A. m 0. B. 0 m 2. C. 2 m 0. D. 2 m 2. Câu 15. Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số f () x như hình vẽ. Các điểm cực tiểu của hàm số y f() x trên đoạn [0;3] là A. x 0 và x 2. B. x 1 và x 3. C. x 2. D. x 0. x 2 2 Câu 16. Đồ thị của hàm số y có số tiệm cận là x2 8 x 12 A.1. B. 2. C. 3. D. 4. m 1 x 2 m 2 Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y nghịch biến x m trên khoảng 1; . A. m 1. B. 1 m 2. C. m ( ;1)  (2; ). D. 1 m 2. 1
3. Câu 18. Đồ thị hàm số y ax4 bx 2 c có một điểm cực đại là A( 2;4) và đi qua điểm M ( 1; 1) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 0; b 0; c 0. B. a 0; b 0; c 0. C. a 0; b 0; c 0. D. a 0; b 0; c 0. x Câu 19. Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt đồ thị của hàm số y tại hai điểm phân biệt x 1 AB, sao cho AB, cách đều đường thẳng : 2x 4 y 5 0. A. m 3. B. m 5. C. m 5. D. m 1. Câu 20. Cho hàm số y x3 2 m 1 x2 2 m x 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x có 5 điểm cực trị. 5 5 5 5 A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. 2 m . 4 4 4 4 Câu 21. Cho A log b2 , với mọi a 0, a 1 và b 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? a4 1 1 A. A log b . B. A log b . 2 a 2 a C. A 2loga b . D. A 2loga b . 1 1 Câu 22. Số nghiệm của phương trình x 2 là xln x 1 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. x x 1 Câu 23. Biết bất phương trình log5 5 1 .log25 5 5 1 có tập nghiệm là đoạn a;. b Giá trị của biểu thức a b bằng A. 2 log5 156. B. 2 log5 156. C. 2 log5 26. D. 1 log5 156. y Câu 24. Cho logx log y log ( x y ), khi đó giá trị của bằng 3 15 5 x 5 1 3 5 5 1 3 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 25. Cho các số tự nhiên a, b lớn hơn 1 để phương trình 11logax log b x 8loga x 20logb x 11 0 có nghiệm là các số tự nhiên nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức 2a 3 b bằng A. 28. B. 10. C. 22. D. 15. log x Câu 26. Nguyên hàm của hàm số f() x 2 là x 1 1 1 1 A. ln2 x C . B. ln2 x C . C. ln2 x C . D. lnx C . 2ln 2 ln 2 2 2ln 2 3 x 3 Câu 27. Cho dx aln 2 b ln 3 c ln 5, với a,, b c là các số hữu tỉ. Tính S a2 b c 2. 2 1 x 3 x 2 A. S 6. B. S 5. C. S 4. D. S 3. 3 7 2 5 Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  4;7 thỏa mãn f x dx 12; f 2 x dx . Tính 4 0 2 0 7 P f x dx f x dx. 4 3 A. P 7. B. P 8. C. P 17. D. P 11. 2
4. Câu 29. Một khối trụ được sơn hai mặt đáy và phần xung quanh, khối trụ có chiều cao bằng 8 và bán kính đáy bằng 6. Một mặt phẳng ()P cắt hai đáy theo các dây cung cách tâm tương ứng một khoảng là 3 , đồng thời chia khối trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của phần mặt phẳng cắt không được sơn. A. 30 3 20 . B. 12 6 3. C. 15 3 10 . D. 60 . Câu 30. Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và có 2 f 3 , f x x 1 f x . 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 2613 f 2 8 2614. B. 2614 f 2 8 2615. C. 2618 f 2 8 2619. D. 2616 f 2 8 2617. Câu 31. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 4 7 a3 4 7 a3 4a3 A.V . B. V 4 7 a3 . C. V . D. V . 3 9 3 Câu 32. Cho tứ diện ABCD có BD 3, hai tam giác ABD, BCD có diện tích lần lượt là 6 và 10. Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 11, số đo góc giữa hai mặt phẳng ABD và BCD là 33 11 33 11 A. arcsin . B. arcsin . C. arccos . D. arccos . 40 40 40 40 Câu 33. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có thể tích bằng 2110. Biết A' M MA , DN 3 ND ' và CP 2 CP ' như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng D' C' N P A' M D C A B 5275 5275 8440 7385 A. . B. . C. . D. . 6 12 9 18 3
5. Câu 34. Một hình nón có chiều cao h 24 a , bán kính hình tròn đáy r 7 a . Diện tích toàn phần của hình nón này bằng A. 224 a2 . B. 273 a2 . C. 399 a2 . D. 392 a2 . Câu 35. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 BC . Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được khối trụ ()T1 có thể tích V1; quay hình chữ nhật đó quanh cạnh BC ta được V1 khối trụ ()T2 có thể tích V2. Tỷ số bằng V2 1 1 A.  B. 1. C. 2. D.  2 8 Câu 36. Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (OR ; ). Gọi VVV1,, 2 3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức VV1 2 đạt giá trị lớn nhất, tính V3 theo R. 2 3 3 4 3 3 57 3 8 3 A. R . B. 1 R . C. R . D. R . 9 9 81 81 Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của S . A. IR(1; 2;3); =5. B. IR(1; 2;3); =25. C. IR( 1;2; 3); =5. D. IR( 1;2; 3); =25. Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm ABC 0;1;2 , 2; 2;1 , 2;0;1 và mặt phẳng P : 2 x 2 y z 3 0. Điểm M a;; b c thuộc P sao cho MA MB MC, giá trị của biểu thức a2 b 2 c 2 bằng A. 62. B. 63. C. 38. D. 39 x 1 y z 2 Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 1 x 1 y 1 z 3 d :  Đường vuông góc chung của d và d lần lượt cắt d, d tại A và B. Diện 2 1 7 1 1 2 1 2 tích của tam giác OAB bằng 6 3 6 A.  B. 6. C.  D.  2 2 4 Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 3;0;0 , B 0;3;0 , C 0;0; m . Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Với k là số thực dương tùy ý để R k., r giá trị nhỏ nhất của biểu thức k2 6 k 21 bằng 78 27 3 30 30 3 A. . B. 12. C. 48. D. . 2 2 4
6. II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Bài 1(2,0 điểm). Cho hàm số y x3 m 1 x 2 2 m 1 x m 2. a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu. ĐS: m 1. b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. ĐS: y x 3 Bài 2(2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , cho AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ()ABC là điểm H thỏa mãn   BI 3 IH và góc giữa hai mặt phẳng (SAB );( SBC ) bằng 60O . Tính thể tích khối chóp S. ABC đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SI theo a. a3 2a 17 ĐS: V .; d AB, SI 9 17 Bài 3(2,0 điểm). Trong không gian Oxyz , cho hai điểm AB(1;2;3), (3;4;5) và mặt phẳng (P ) : x 2 y 3 z 14 0 . a) Viết phương trình mặt phẳng ()Q đi qua hai điểm AB, và tạo với ()P một góc thỏa mãn 1 cos . 2 7 b) Gọi là đường thẳng thay đổi nằm trong ()P , các điểm HK, lần lượt là hình chiếu của AB, trên . Biết rằng khi AH BK thì trung điểm của HK luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Viết phương trình đường thẳng d . Bài 4(2,0 điểm). Tính số tập con có 10 phần tử của tập 1;2;3; ;100 không chứa hai số tự nhiên liên 9 9 10 10 tiếp và không có số nào là bội của 3. ĐS: 2CC33 2 33 . Hết 5