Đề thi Olympic 27 tháng 4 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi Olympic 27 tháng 4 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 27 THÁNG 4 LỚP 8 TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài thi: 120 phút Ngày thi: 23/3/2023 Câu 1 (3,0 điểm). 1) Chứng minh n( n++1)( 2 n 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . 2) Phân tích đa thức x3++65 x 2 y xy 2 thành nhân tử. Câu 2 (3,0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 − 2020 chia hết cho n − 45. 1−− 2xy 1 2 2) Cho x và y là các số hữu tỉ khác 1 và thỏa mãn +=1. 11−−xy Chứng minh B x= y + x y−22 là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 3 (3,0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (xy; ) thỏa mãn xxyy22+=++225. 2) Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn abc =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 111 P =++ (abbcca+++++++++111111)222 222 ( ) ( ) Câu 4 (4,0 điểm). 2x22xx− 221 1) Rút gọn biểu thức A =−+− 2322 1 (với xx 0;2 ). 84228−+−+xxxxxx 5763 + x2 2) Giải phương trình +−= 0 xxx222+++135 Câu 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( ABAC ) có đường cao AH và đường phân giác AM . Kẻ ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F . Gọi K là giao điểm của AH và ME. Tia BK cắt AC tại L . 1) Chứng minh CM CHCF= CA và HF là tia phân giác của góc A H C . 2) Chứng minh tam giác BML cân. BEHB 3) Chứng minh = CFHC Câu 6 (2,0 điểm). Cho góc xOy nhọn và điểm A cố định nằm trong góc . Đường thẳng d di động đi qua A 11 và cắt Ox , Oy theo thứ tự tại BC, . Tìm điều kiện của đường thẳng d đối với OA để + đạt ABAC giá trị lớn nhất. HẾT Họ và tên thí sinh: Chữ ký CBCT số 1: Số báo danh: .
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27 THÁNG 4 LỚP 8 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang ) Câu 1 (3,0 điểm). 1) Chứng minh n n( n++1) 2( 1 ) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n . 2) Phân tích đa thức x3++65 x 2 y xy 2 thành nhân tử. Câu 1 Nội dung Điểm nnnnnnn( +++−++121112)( ) = ( )( ) 0,5 0,5 1.1 =+nnnnnn( +−++1112)( ) ( )( ) (1,5 đ) Mà n n( n+−11)( ) và n n( n++12)( ) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên đều chia 0,25 hết cho 6 Vậy n n( n++1) 2( 1 ) chia hết cho 6. 0,25 1.2 xxyxy32++65222=++xxxyy( 65) 0,5 (1,5 đ) 0,5 =x x( x +55 y) + y( x + y) =x( x + y)( x + 5 y) 0,5 Câu 2 (3,0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 − 2020 chia hết cho n − 45. 1−− 2xy 1 2 2) Cho x và y là các số hữu tỉ khác 1 và thỏa mãn +=1. 11−−xy Chứng minh Bxyxy=+−22 là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 2 Nội dung Điểm nnnn22−=−+=−++20202025545455 ( )( ) 0,5 2.1 2 Do đó nnn−− −202045545( ) ( ) 0,5 (1,5 đ) ( ) − −− nn451; 5;1;546; 50; 44; 40  0,5 1−− 21xy 2 += −−+11 −−=−−( 211xyyxxy 2111)( ) ( )( ) ( )( ) 0,25 11−−xy =+−32()1xyxy 0,5 2.2 2 Bxyxyxyxy=+−=+−22 3 (1,5 đ) ( ) 0,25 2 =−++(xy+ ) 2()1xy 0,25 2 = (xy+−1) 0,25 Câu 3 (3,0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn x22+2 x = y + 2 y + 5. 2) Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn abc =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P = + +  (a+1)2 + b2 + 1( b + 1) 2 + c 2 + 1( c + 1) 2 + a 2 + 1 1
3. Câu 3 Nội dung Điểm xxyyxyxyxyxy2222+=++ −+−= −++=2252525 ( ) ( ) ( )( ) 0,25x2 xyx−== 12 xyx−== 52 * * 3.1 xyy++==251 xyy++==−213 (1,5 đ) xyx−=−=−14 xyx−=−=−54 0,25x4 * * xyy++=−=−253 xyy++=−=211 Vậy các cặp nghiệm nguyên (x; y) cần tìm là (2; 1); (2; -3); (-4; -3); (-4; 1) Ta có (ababaabaaba+++=+++ ++=++112222221)2 222 ( ) 0,25 11 2 0,25 (ab+++11) 2 21(aba++) 11 11 Tương tự ta có: 2 và 2 0,25 (bc+++11) 2 21(bcb++) (ca+++11) 2 21(acc++) 3.2 1111 ++P (1,5 đ) 2111 ababcbacc++++++ 0,25 11 bcb ++P 21 abcbabcbcbcbabcbcb++++++ 111 bcb ++=P 0,25 21112 bcbbcbbcb++++++ 1 Giá trị lớn nhất của P bằng , khi abc=== 1 0,25 2 Câu 4 (4,0 điểm). 2x22xx− 221 1) Rút gọn biểu thức A =−+− 2322 1 (với xx 0;2 ). 84228−+−+xxxxxx 5763 + x2 2) Giải phương trình +−= 0 xxx222+++135 Câu 4 Nội dung Điểm 2x222 xxxx−+−22 A =− 0,5 4 22−+−xxxx 222 ( ) ( ) 24(x + ) 4x22−( x −22 x)( − x) (21−+xx)( ) = 2 2 0,5 4.1 2( 2−+xx)( 4) x (2,0 đ) x3 + 4x (21−+xx)( ) =2 0,5 2( 24−+xx)( 2 ) x 2 xx( + 4) (21−+xx)( ) x +1 =  = 0,5 2( 2−+xx)( 2 4) xx2 2 5 7 6+ 3x2 PT −1 + − 1 + 2 − = 0 4.2 2 2 2 0,5 x+1 x + 3 x + 5 (2,0 đ) 444−−−xxx222 + + = 0 0,5 x2+1 x 2 + 3 x 2 + 5 2
4. 1 1 1 2 (40 −x ) 2 + 2 + 2 = 0,5 x+1 x + 3 x + 5 4 −xx2 = 0 = 2 0,5 Câu 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC) có đường cao AH và đường phân giác AM . Kẻ ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F . Gọi K là giao điểm của AH và ME. Tia BK cắt AC tại L . 1) Chứng minh C M C H C= F C A và HF là tia phân giác của góc A H C . 2) Chứng minh tam giác B ML cân. B E H B 3) Chứng minh = C F H C Câu 5 Nội dung Điểm * Chứng minh CH.CM = CF.CA. Xét CHA và CFM ta có: 0,5x2 5.1 A C H là góc chung, CHACFM==900 (2,0 đ) Suy ra C H A đồng dạng C F M (g.g) 0,25 CHCA Suy ra = = CH CMCF CA 0,25 CFCM * Chứng minh HF là tia phân giác của góc AHC. CH CF Xét C H F và C A M ta có: H C F là góc chung, = (chứng minh trên) CA CM 0,25 CHF đồng dạng CAM (c.g.c) =CHFCAM Mà CAM = 450 (AM là đường phân giác góc vuông) 0,25 == CHFAHF 450 HF là tia phân giác của góc AHC. Tam giác ABM có K là trực tâm (giao điểm hai đường cao) 0,5 BK ⊥ AM ⊥AMBL 0,25 AM là đường trung trực của BL. 0,25 5.2 (1,5 đ) Suy ra MB = ML. 0,25 Vậy tam giác MBL cân tại M. 0,25 3
5. AF AH Vì HF là tia phân giác của góc AHC nên = (1) . 0,25 FC HC B E B H 5.3 Chứng minh tương tự HE là tia phân giác của góc AHB nên = (2) 0,5 (1,5 đ) E A A H AEMF là hình vuông nên AE = AF. 0,25 AFBEAHBHBEHB Từ (1) và (2) ta có = = 0,5 FCEAHCAHFCHC Câu 6 (2,0 điểm). Cho góc x Oy nhọn và điểm A cố định nằm trong góc . Đường thẳng d di động đi qua A và 11 cắt Ox , Oy theo thứ tự tại BC, . Tìm điều kiện của đường thẳng d đối với OA để + đạt giá A B A C trị lớn nhất. Câu 6 Nội dung Điểm Qua A kẻ đường thẳng song song với Oy cắt tia Ox tại I (I cố định), qua I kẻ đường thẳng song song với d cắt Oy tại E. 0,25 Gọi D là giao điểm của OA và IE; H là chân đường vuông góc kẻ từ I đến OA. ID DE OD Ta có: = (vì cùng bằng ) 0,25 (2,0 đ) AB AC OA IDIDDEIDIE Xét biểu thức: +=+= ABACACACAC IDID Mà IE = AC (tứ giác IACE là hình bình hành) nên +=1 0,25x3 ABAC 111 += ABACID 11 1 Do đó + lớn nhất khi lớn nhất 0,25 ABAC ID ID nhỏ nhất 0,25  ⊥DHdOA 0,25 HẾT 4