Đề thi Olympic Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hoàng Mai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hoàng Mai (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 7 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (3,0 điểm) a) ( ―8)2: 25 ― 18: (52 + 23):11 ― 20230 1 1 1 b) 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + + 1 + 2 + + 2023 3 2 2 1 1 0, 4 0, 25 2013 c) A 9 11 3 5 : 7 7 1 1, 4 1 0,875 0, 7 2014 9 11 6 Câu 2. (4,0 điểm) 3 ― 2 2 ― 4 4 ― 3 a) Cho . Chứng minh rằng 4 = 3 = 2 2 = 3 = 4 b) Tính giá trị của đa thức = 5 4 +9 2 2 +4 4 +5 2 với 2 + 2 = 5 ― 3 20 c) Tìm x biết: 5 = ― 3 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x; y biết (2 ― 6)2024 + |3 ― 9| ≤ 0 b) Ông A chia một khu đất thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau cho ba người con trai. Biết rằng chiều rộng của các mảnh đất lần lượt là 6m, 8m, 10m. Tổng chiều dài các mảnh đất là 47m. Tính diện tích khu đất đó. c) Tìm x, y nguyên biết: xy - 3x + 2y = -7 Câu 4. (6,0 điểm) Cho ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N a) Chứng minh rằng: DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 2022ab + 2023bc + 4045ca ≤ 0 Hết (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 04 trang) Môn: Toán 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4,0 điểm) 2 2 2 0 8 : 25 18: 5 2 :11 2018  0.5 64 : 25 18: 33:11 1 1.1   64 : 25 18: 2 64 :16 4 . 0.5 1 1 1 1 + + + + (1 + 3).3 (1 + 4).4 (1 + 5).5 (1 + 2023).2023 0.5 2 2 2 2 1.2. 2 2 2 2 = + + + + = 2 1 + 1 + 1 + + 1 3.4 4.5 5.6 2023.2024 3.4 4.5 5.6 2023.2024 1 1 2021 0.5 = 2 ― = 3 2024 3036 3 2 2 1 1 0,4 0,25 2013 A 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2014 9 11 6 3 2 2 2 1 1 1 1.3. 5 9 11 3 4 5 2013 : 0.5 7 7 7 7 7 7 2014 5 9 11 6 8 10 3 1 1 1 1 1 1 2 3 5 9 11 3 4 5 2013 2 2 2013 : : 0 0.5 1 1 1 7 1 1 1 2014 7 7 2014 7 5 9 11 2 3 4 5 Câu 2 (4,0 điểm) 3 ― 2 2 ― 4 4 ― 3 = = 2.1 4 3 2 12 ― 8 6 ― 12 8 ― 6 = 16 = 9 = 4
3. 3 12 ― 8 + 6 ― 12 + 8 ― 6 = 0.5 16 + 9 + 4 = 0 3 = 2 Suy ra 3x - 2y = 0; 2z - 4x = 0; 4y - 3z = 0 → 2 = 4 4 = 3 0.5 → = ; = ; = → = = 2 3 2 4 3 4 2 3 4 0.5 = 5 4 +9 2 2 +4 4 +5 2 = 5 4 +5 2 2 +4 2 2 +4 4 +5 2 0.5 2.2. = 5 2 2 + 2 +4 2 2 + 2 +5 2=5. 2.5 + 4 2.5 + 5 2 0.5 = 25 2+25 2=25( 2 + 2) = 25.5 = 125 0.5 ― 3 20 ó: = 5 ― 3 2.3 →( ― 3)2 = 100 0.5 → ― 3 = 10 ℎ표ặ ― 3 = ―10 → = 13 ℎ표ặ = ―7 0.5 Câu 3 (4,0 điểm) (2 ― 6)2024 ≥ 0 ∀ ; |3 ― 6| ≥ 0∀ 0.25 mà (2 ― 6)2024 + |3 ― 9| ≤ 0 0.25 3.1. nên 2x-6=0 và 3y-6=0 0.25 suy ra x=3 và y=3 0.25 Gọi chiều dài của 3 mảnh đất lần lượt là x, y, z (x, y, z ∈ ℕ∗; x, y, z < 47) (m) Không mất tính tổng quát ta giả sử : x < y < z. 0.5 Vì các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau, do đó chiều dài và chiều rộng của mỗi hình chữ nhật tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có : 10.x = 8.y = 6.z 0.5 10 8 6 3.2. ⇒ 120 = 120 = 120 ⇒ 12 = 15 = 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : + + = = = 0.5 12 15 20 12 + 15 + 20 47 Mà x + y + z = 47 ⇒ 12 = 15 = 20 = 47 = 1 ⇒ x = 12; y = 15; z = 20 Vậy ta có các mảnh đất hình chữ nhật với kích thước như sau Rộng 6m, dài 20m; rộng 8m, dài 15m; rộng 10m, dài 12m Các mảnh đất này có diện tích bằng nhau và bằng 6.12 = 72 (m2)
4. 4 ⇒ Diện tích khu đất là 72.3 = 216 (m2) 0.5 Ta có: xy - 3x + 2y = -7 → ( ― 3) + 2( ― 3) = ―13 →( ― 3)( + 2) = ―13 Do x, y là các số nguyên nên y-3; x+2 cũng là các số nguyên x+2 -1 1 -13 13 y-3 13 -13 1 -1 x -3 -1 -15 11 y 16 -10 4 2 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ( ―3;16), ( ―1; ― 10),( ―15;4),(11;2) Câu 4 (4,0 A điểm) M 1 I 1 C E B D H 2 O N a) Ta có = ; = 0.5 Nên = Xét hai tam giác MBD và tam giác NCE ta có : 4.1. BD=CE; = ; = 1.0 Suy ra: MDB NEC g.c.g DM EN (cặp cạnh tương 0.5 ứng) b) MDI vuông tại D: D· MI M· ID 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 0.5 4.2. NEI vuông tại E: E· NI N· IE 900 (tổng hai góc nhọn trong tam 0.5 giác vuông) Mà M· ID N· IE (đối đỉnh) nên D· MI E· NI
5. 5 MDI NEI(g.c.g) IM IN (cặp cạnh tương ứng) 1.0 Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN Ta có: MDB NEC g.c.g MB NC (cặp cạnh tương ứng) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Axuống BC. 0.5 AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) H· AB H· AC (cặp góc tương ứng) Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ 0.5 I 4.3. OAB OAC(c.g.c) O· BA O· CA (cặp góc tương ứng) (1) OC OB (cặp cạnh tương ứng) OIM OIN(c.g.c) OM ON (cặp cạnh tương ứng) 0.5 OBM OCN(c.c.c) O· BM O· CN (cặp góc tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra O· CA O· CN 900 , do đó OC  AC Mà AC cô định đường thẳng OC cố định Mặt khác đường thẳng AH cố định 0.5 Vậy điểm O cố định Câu 5 (2,0 điểm) Từ a + b + c = 0 ta có: b + c = -a; a + b = -c 0.5 Do đó 2022ab + 2023bc + 4045ca = 2022ab + 2022ca + 2023bc + 2023ca 0.5 = 2022a(b + c) + 2023c(b + a) = 2022a.(-a) +2023c.(-c) = - 2022a2 - 2023c2 ≤ 0 1.0 Hết