Đề thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi Lớp 12 THPT dự thi quốc gia năm học 2016-2017 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thành lập đội tuyển học sinh giỏi Lớp 12 THPT dự thi quốc gia năm học 2016-2017 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG BÌNH THUẬN LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Đề này có 01 trang) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5 điểm) 11 1 Giải phương trình: 34103xx32 x . 31xxx 232 21 3 xxx 5 51 Bài 2. (5 điểm) Cho các số nguyên dương x ,yz , thỏa x222y z xyz x y z xy yz zx 1 là số chính phương. Chứng minh rằng x222 y z2 xy yz zx là số chính phương. Bài 3. (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O . Gọi M ,NP , lần lượt là giao điểm của AB và CD , AD và BC , AC và BD . Lấy K là trung điểm của đoạn MN ; đoạn PK cắt  O tại H , MH cắt O tại I khác H , NH cắt O tại J khác H . Hãy phân tích PK   theo hai vectơ MINJ , . Bài 4. (5 điểm) Trên mặt phẳng có 2016 điểm phân biệt là A1,AA 2 , , 2016 . Từ các điểm trên, bạn An muốn vẽ các vectơ khác vectơ không, thỏa 2 điều kiện sau:   1. Với mọi ij, 1;2;3; ;2016 , nếu đã vẽ AijA thì không vẽ Aj Ai .    2. Với mọi ijk, , 1;2;3; ;2016, nếu đã vẽ AijA và Aj Ak thì không vẽ AikA . Hỏi An có thể vẽ nhiều nhất bao nhiêu vectơ ? HẾT Giám thị không giải thích gì thêm. Ho ̣và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .
2. ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2016 – 2017 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài 1. 1 0,25x3 x Điều kiện: 3 x 12 11 0,25x4 Đặt ax 31,bx21, 2 xc . 3551x32 xx ab 111 Phương trình trở thành abc abc a 1 0,5x3 b 1 c 1 2 0,25 Với a 1 ta có x n 3 Với b 1 ta có x 13 n 0,5 585 0,75 Với c 1 ta có x 0 n hoặc x n . 6 2 585 0,25 Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm x , x 15 , x 0, x . 3 6 Bài 2. Trong các bộ số x,,yz thỏa điều kiện bài toán, xét bộ x,,yz có x yz nhỏ nhất. Không mất tính tổng quát giả sử zmaxxyz ,, . 0,5x2 Xét phương trình bậc 2 ẩn t là: t2222 x y z2440 xy xz xt yz yt zt xyzt (1) 0,5 ttxyzxyzxyz222222 2 xyyzzx 40 Ta có: /22241 x y z xyz x y z xy yz zx là số chính phương nên 0,5 phương trình có 2 nghiệm nguyên tt12, . Ta có (1) có thể viết lại thành 3 phương trình sau: 2 xyzt 411 xy zt x z y t 2 41 xz yt 1 2 x t y z 41 xt yz 1 0,75 Nên xttt 10,y10,z10 mà bộ số 1;1;1 không thỏa điều kiện bài toán
3. 1 nên t 1 hay t 0. 0,75 2 Xét t 0, coi (1) là phương trình bậc 2 theo z thì ta có 222 x y t xyt x y t xy yt tx 1 là số chính phương hay x,,yt cũng là 2 0,5 một bộ số thỏa điều kiện bài toán nên x yt xyz t z tt12 z . Mặt khác, tt x222 y z24 xy yz zx zxzxyzy222224 xyz 12 0,5 Mâu thuẫn Vậy t 0 hay xyz222 24 xyyzzx là số chính phương. (Đpcm) 0,5 Bài 3. Kẻ đường thẳng qua P vuông góc OP cắt O tại I ,J như hình vẽ. Gọi H là 1,0 giao điểm của MI và O , H không trùng I . Ta sẽ chứng minh NHJ , , thẳng hàng và PHK , , thẳng hàng. Gọi X là giao điểm của AICJ , . Ta chứng minh được M ,NX , thẳng hàng. 1,0 Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm H,,IADCJ , , , . Ta có: 1,0 HIDCMIACJX ,  và giả sử ADJHN 1 thì M ,,XN1 thẳng hàng ADMXN 1 nên NN1  hay NHJ , , thẳng hàng. Mặt khác, theo định lý Brokard thì OP MN nên IJMN / / . 1,0 Lại do P là trung điểm IJ nên PHK , , thẳng hàng. 0,5 Suy ra cách xác định I, J như trên là hợp lý.  111    0,5 Vậy PK MINJ MINJ . 222 Bài 4. 0,5 Không mất tính tổng quát, giả sử A1 thuộc nhiều vectơ nhất.
4. 1,0 Với mỗi điểm Aii 1;2; ;2016 ta chia các điểm còn lại thành 3 loại: Loại 1: Có nối với A1 và A1 là điểm đầu. Loại 2: Có nối với A1 và A1 là điểm cuối. Loại 3: Không nối với A1 . Giả sử có m điểm loại 1, n điểm loại 2, p điểm loại 3. 0,5 Chú ý rằng: 0,5x2 Giữa các điểm loại 1 không có 2 điểm nào nối lại. Giữa các điểm loại 2 không có 2 điểm nào nối lại. Giữa A1 và các điểm loại 1, loại 2 có tối đa m + n + mn vectơ. Số vectơ liên quan đến các điểm loại 3 tối đa là p(m + n). 0,5 Vậy tổng số vectơ tối đa là 0,5 2 mnp 1 20162 mnmnpmn mn m p 11 n p . 33 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi mn p 1 672. 0,5 Đưa ra mô hình. 0,5