Kỳ thi học sinh giỏi lần thứ 2 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thủ Đức (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi học sinh giỏi lần thứ 2 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thủ Đức (Có hướng dẫn chấm)

1. ỦY BAN NHÂN DÂN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ II THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC NĂM HỌC 2022 – 2023 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN – LỚP 8 Ngày thi: 18/3/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x2 – 2024x + 2023 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Câu 2. (4 điểm) 1 1 1 a) Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . x y z yz zx xy Hãy tính giá trị của biểu thức: A x2 2yz y 2 2zx z 2 2xy b) Cho ba số a, b, c 0 thỏa mãn a + b + c = 0 a2 b 2 c 2 Hãy tính giá trị của biểu thức: B b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0 13 x 2 x x b) 1 2010 2021 2023 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BFC BDA và BFD ACB b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: CD.FK = CK.FD c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AD, AC lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh: PQ = QR. Câu 5. (1 điểm) Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km. Cùng một lúc một xe ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B đi ngược chiều nhau. Xe ô tô và xe máy gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe ô tô khởi hành sau xe máy một giờ thì sẽ gặp nhau tại điểm D cách C một khoảng là bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h. Câu 6. (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi I là điểm nằm trong tứ giác ABCD. Tính diện tích tứ giác ABCD biết 2 2 2 SAMIQ = 32 (cm ), SBMIN = 50 (cm ) và SDPIQ = 20 (cm ) Hết (Thí sinh không sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 – MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 – 2023 Biểu Câu Nội dung điểm Phân tích đa thức thành nhân tử 1a a) x2 – 2024x + 2023 = x2 – x – 2023x + 2023 = x(x – 1) – 2023(x – 1) 1+0,5 = (x – 1)(x – 2023) 0,5 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Đặt a = x – y; b = y – z; c = z – x a + b + c = 0 a + b = – c 0,5 1b (a + b)3 = – c3 a3 + b3 + c3 = 3abc 0,5x2 Vậy (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 0,5 1 1 1 Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . x y z yz zx xy Tính: A 2 2 2 x 2yz y 2zx z 2xy 1 1 1 yz xz xy ĐK: x, y, z 0. Ta có 0 xy yz zx 0 x y z xyz 0,25 yz = – xz – xy; xy = – yz – zx; zx = – xy – yz yz yz yz yz yz 2 2 0,25 x 2yz x yz xy zx x(x y) z(x y) (x y)(z x) (x y)(z x) zx zx xy xy 0,25 Tương tự 2 và 2 2a y 2zx (y z)(x y) z 2xy (z x)(y z) yz zx xy yz(y z) zx(z x) xy(x y) A 0,25 (x y)(z x) (y z)(x y) (z x)(y z) (x y)(y z)(z x) [yz(y z) zx(z x) xy(x y)] yz(y z) zx(z y y x) xy(x y) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) yz(y z) zx(y z) zx(x y) xy(x y)  (y z)(yz zx) (x y)(xy zx) 0,5 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x)  (y z)z(x y) (x y)x(y z) (x y)(y z)(z x) 1 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 0,5 Cho ba số a, b, c 0 thỏa mãn a + b + c = 0 a2 b 2 c 2 Tính B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b c 2 2 2 2 2 Ta có a + b + c = 0 b + c = – a (b + c) = a b + c – a = – 2bc 0,5 2b Tương tự c2 + a2 – b2 = – 2ca; a2 + b2 – c2 = – 2ab Mặt khác a + b + c = 0 a + b = – c (a + b)3 = – c3 a3 + b3 + c3 = – 3ab(a + b) a3 + b3 + c3 = 3abc 0,5 a2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 3abc 3 B 2bc 2ca 2ab 2abc 2abc 2 0,5x2 a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0 x4 – 2x3 + 4x3 – 8x2 + x2 – 2x – 6x + 12 = 0 x3(x – 2) + 4x2(x – 2) + x(x – 2) – 6(x – 2) = 0 (x – 2)(x3 + 4x2 + x – 6) = 0 0,5 3a (x – 2)(x3 – x2 + 5x2 – 5x + 6x – 6) = 0 (x – 2)[x2(x – 1) + 5x(x – 1) + 6(x – 1)] = 0 (x – 2)(x – 1)(x2 + 5x + 6) = 0 0,5 (x – 2)(x – 1)(x2 + 2x + 3x + 6) = 0
3. (x – 2)(x – 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)] = 0 0,5 (x – 2)(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 0 0,5 x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = – 2 hoặc x = – 3 13 x 2 x x 13 x 2 x x 1 1 1 1 2010 2021 2023 2010 2021 2023 0,5 2023 x 2023 x 2023 x 1 1 1 (2023 x) 0 0,5 3b 2010 2021 2023 2010 2021 2023 1 1 1 2023 x 0 vì 0 0,5 2010 2021 2023 x 2023 0,5 A E F H R D M K B C Q P Chứng minh được BFC BDA (gg) 1 4a Chứng minh được BFD BCA (cgc) BFD BCA (góc t/ư) 1 Chứng minh được AFE ACB (cgc) AFE ACB (góc t/ư) Mà BFD ACB (cmt), AFE KFB (đối đỉnh) KFB BFD 4b FB là phân giác trong của KFD; Có FB  FC (CF  AB) FC là phân giác ngoài của KFD 1 CD FD CD.FK CK.FD 1 CK FK HM BM Chứng minh được BMH AQR (gg) (1) QR AQ 1 CM HM 4c Chứng minh được CMH AQP (gg) (2) mà BM = CM (3) 0,5 AQ PQ HM HM Từ (1), (2), (3) PQ = QR 0,5 PQ QR Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô (x > 20) Vận tốc xe máy x – 20 (km/h) 120 80 Thời gian ô tô đi từ A đến C: (h), thời gian xe máy đi từ B đến C: (h) x x 20 120 80 Theo đề bài ta có phương trình: 120(x 20) 80x x 60 (nhận) x x 20 5 Vậy vận tốc ô tô là 60 (km/h), vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/h) 0,25x2 G ọ i t (h) là thời gian xe máy đi dừ B đến D (t > 1) Thời gian ô tô đi từ A đến D là t – 1 (h) Theo đề bài ta có phương trình: 60(t – 1) + 40t = 200 t = 2,6 (nhận) Quãng đường từ B đến D là: 40.2,6 = 104 (km) 0,25 Khoảng cách giữa D và C là: 104 – 80 = 24 (km) 0,25
4. B M A 12 + x 12 + x 38 - x 20 - x N Q 32 50 20 - x 38 - x 20 I 6 x x D P C M là trung điểm của AB MA = MB S = S (chung đường cao kẻ từ I) AIM BIM Tương tự S = S ; S = S ; S = S BIN CIN CIP DIP DIQ AIQ Gọi S = S = x S = S = 20 – x S = S = 32 – (20 – x) = 12 + x CIP DIP DIQ AIQ AIM BIM SBIN = SCIN = 50 – (12 + x) = 38 – x 2 0,5 SCNIP = SCIP + SCNI = x + 38 – x = 38 (cm ) 2 0,5 Vậy SABCD = SAMIQ + SBMIN + SCNIP + SDPIQ = 32 + 50 + 38 + 20 = 140 (cm ) Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, chính xác giáo viên cho trọn điểm. Hết