Kỳ thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thành phố Vinh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thành phố Vinh (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TẠO THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2022- 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán lớp 7 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm) 10. 1,44 24. 0,25 12 144 1. Tính giá trị biểu thức: a, A : 3 7 7 9 45.94 2.69 b, N 210.38 68.20 A 2. Cho A 1 24 28 21996 22000 và B 1 22 24 22000 22002 . Tính tỷ số B Câu 2. (4,0 điểm) 1 a, Tìm x Z biết 2x 1 2 4 b, Tìm x, y, z biết: 2x 3y 5z và x 3y 2z 66 3 2 2 12a 3b 5c a c, Cho b ac;c bd ( a, b, c, d khác 0). Chứng minh rằng: 12b 3c 5d d Câu 3. (3,5 điểm) x 2y 2023 a, Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của x . x y 2022 b, Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 1: 2: 4. Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là 112m2. Tính thể tích bể nước. c, Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn: a3 3a2 5 5b và a 3 5c Câu 4. (2,0 điểm) Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn và các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ. 25 m 10 m 3 m 1,4 m 10 m 8 m Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước, biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít nước. Câu 5. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Qua B kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng AC tại E. a, Chứng minh rằng BE = CD; ED =BC b, Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BE, CD. Chứng minh rằng A là trung điểm của PQ c, Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Xác định vị trí của M để biểu thức MA.BC +MB.AC +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất. . . Hết
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TẠO THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2022- 2023 Hướng dẫn chấm môn Toán 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu Đáp án Điểm 10. 1,44 24. 0,25 12 144 A : 3 7 7 9 0,5 10.1,2 24.0,5 12 12 A : 3 7 7 9 12 12 12 12 Câu 1a A : 3 7 7 9 (1,5 đ) 0,5 12.10 12.16 A : 21 63 12.10 63 A . 21 12.16 0,5 5 3 15 A . 1 8 8 45.94 2.69 N 210.38 68.20 0,5 210.38 2.29.39 N 210.38 28.38.22.5 Câu 1b 210.38 210.39 N (1,5 đ) 210.38 210.38.5 10 8 0,5 2 .3 . 1 3 N 210.38 1 5 2 1 N 0,5 6 3 A 1 24 28 21996 22000 24.A 24 28 212 22000 22004 24.A A 22004 1 0,5 22004 1 A 15 2 4 2000 2002 Câu 1c B 1 2 2 2 2 2 2 4 6 2002 2004 (1,5 đ) 2 .B 2 2 2 2 2 22.B B 22004 1 0,5 22004 1 B 3 2004 A 22004 1 22004 1 3. 2 1 1 Do đó: : 0,5 B 15 3 15. 22004 1 5 1 2x 1 2 Câu 2a 4 0,5 (1,5 đ) 1 2x 1 2 4
3. 7 2x 1 4 7 Trường hợp 1: 2x 1 4 0,5 11 Suy ra: x 8 7 Trường hợp 2: 2x 1 4 3 0,5 Suy ra: x 8 Vì x nguyên nên không tồn tại x thỏa mãn bài ra x y z Từ 2x 3y 5z suy ra . 0,5 15 10 6 Câu 2b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x 3y 2z 66 0,5 (1,5 đ) 2 15 10 6 15 3.10 2.6 33 Khi đó: x 2.15 30 ; y 2.10 20 ; z 2.6 12 . 0,5 a b Từ b2 ac suy ra ; b c b c Từ c2 bd suy ra . 0,25 c d a b c Do đó: b c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c 12a 3b 5c 0,25 Câu 2c (1 đ) b c d 12b 3c 5d 3 3 a 12a 3b 5c Suy ra b 12b 3c 5d 3 a b c 12a 3b 5c Hay . . 0,5 b c d 12b 3c 5d 3 a 12a 3b 5c Vậy d 12b 3c 5d x 2y 2023 x 2y x y Từ suy ra x y 2022 2023 2022 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 x 2y x y x 2y x y y Câu 3a 2023 2022 2023 2022 (1 đ) Khi đó: x y 2022y 0,25 Hay x 2021y Để x đạt GTNN khi 2021y đạt GTNN. Mặt khác x, y là các số nguyên dương nên GTNN của y là 1. 0,25 Khi đó GTNN của x là 2021. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể nước lần lượt là x, y, z (m). Điều kiện: x, y, z 0 . 0,25 Câu 3b x y z (1,5 đ) Khi đó: 1 2 4 Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là: 2. x y .z 2xy (m2) 0,25
4. Theo đề ra, ta có: 2. x y .z 2xy 112 Hay xz yz xy 56 x y z x2 y2 z2 xy yz xz Từ suy ra 1 2 4 1 4 16 2 8 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 xy yz xz xy yz xz 56 4 2 8 4 2 8 4 14 Khi đó: x2 4.1 4 x 2 y2 4.4 16 y 4 0,25 z2 4.16 64 z 8 (Vì x, y, z 0 ) Vậy thể tích của bể nước là: 2.4.8 64 (m3) 0,25 Với a, b, c là các số nguyên dương, ta có: 5b a2. a 3 5 a2.5c 5 5c 0,25 5b 5c Do đó: 5b M5c a2. a 3 5Ma 3 Câu 3c 5Ma 3 0,25 (1 đ) Hay a 3 Ư 5 1; 5. Vì a là số nguyên dương nên a 3 5. 0,25 Do đó: a 2 Khi đó: 5b 23 3.22 5 25 b 2 5c 2 3 5 c 1. 0,25 Vậy a 2 , b 2 , c 1 ( thử lại t/m) 25 m B C E 10 m C'3 m B' M N A D 1,4 m F A' D' 10 m Q 8 m P Để tính thể tích bể bơi, ta tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' và hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ có đáy là hình Câu 4 thang vuông. 0,5 (2 đ) Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là: 10.25.1,4 350 (m3) Thể tích hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ là: 1 0,5 . 25 10 8 . 3 1,4 .10 184 (m3) 2 Thể tích bể bơi là: 350 184 534 (m3) 0,5 Đổi 534 m3 = 534 000 lít Thời gian bể bơi được bơm đầy nước là: 0,5 534 000 : 500 1 068 (phút) Vậy sau 17 giờ 48 phút thì bể được bơm đầy nước.
5. E D A P Q Câu 4a M (2 đ) H B I C K Vì BE//CF nên ·ABD ·ADC (hai góc so le trong) Chứng minh VAEB VACD (g.c.g) 1 Suy ra: BE CD và AE AC Chứng minh VAED VACB (c.g.c) 1 Suy ra: DE BC 1 1 Vì PB BE và QD CD 2 2 0,5 Mà BE CD Nên PB QD Chứng minh VAPB VAQD (c.g.c) 0,5 Câu 4b Suy ra: P·AB Q·AD và AP AQ (2 đ) Mặt khác: D·AQ Q·AB 180 Do đó: P·AB Q·AB 180 . 0,5 Hay ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Vì AP AQ và ba điểm A, P, Q thẳng hàng nên A là trung điểm của 0,5 PQ. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Kẻ BH  AM , CK  AM . Ta có: MA.BC MA. BI CI 0,75 Mà BI BH, CI CK . Do đó: MA.BC MA.BH MA.CK Câu 4c Hay MA.BC 2S 2S (2 đ) V ABM V ACM Tương tự: MB.AC 2SV ABM 2SVBCM MC.AB 2SV ACM 2SVBCM 0,75 Suy ra: MA.BC MB.AC MC.AB 4SV ABC . Dấu bằng xảy ra khi AM  BC , BM  AC và CM  AB . 0,5 Khi đó M là trực tâm của tam giác ABC.