Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Hồ Khắc Vũ

Nội dung text: Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Hồ Khắc Vũ

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 9 Họ và tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ TP Tam Kỳ, tháng 11 năm 2016
2. Mét sè ph•¬ng ph¸p gi¶I ph•¬ng tr×nh v« tØ 1.Ph•¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ VÝ dô 1: Gi¶i ph•¬ng tr×nh. 3x22 6 x 7 5 x 10 x 14 = 4 – 2x – x2 Gi¶i: VÕ tr¸i : 3 x 1 2 4 + 5 x 1 2 9 4 9 = 5 VÕ ph¶i : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5. VËy pt cã nghiÖm khi: vÕ tr¸i = vÕ ph¶i = 5. x+ 1 = 0 x = -1. VÝ dô 2: Gi¶i ph•¬ng tr×nh. 3 xx 2 1 3 Gi¶i : + §iÒu kiÖn : x≥ -1 Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph•¬ng tr×nh. Víi x > 3 th× 3 x 2 > 1 ; x 1>2 nªn vÕ tr¸i cña ph•¬ng tr×nh lín h¬n 3. Víi -1 ≤ x < 3 th× 3 x 2 < 1 ; x 1< 2 nªn vÕ tr¸i cña ph•¬ng tr×nh nhá h¬n 3. VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 2: Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 34 x + 4x 1 =-16x2-8x+1 (1) Gi¶i 1 3 §K: x (*) 4 4 Ta cã 2 34 x 4 x 1 34 x 2(34)(14)14 x x x 4 2(3 4)(1xx 4) 4 3 4x 1 4x 2 (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: 3 4x 1 4x 2 3 4x 2 (3 4x)(1 4x) 1 4x 4 (1) 2 2 16x 8x 1 2 16x 8x 1 0 3 x 4 (3 4x)(1 4x) 0 1 x 1 1 4 x (tho¶ m·n(*)) x 4 4 1 x 4
3. Trường THCS Định Hưng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ và tên người ra đề: Bùi Văn Hùng Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn ĐỀ BÀI: 2 x 3 x x 3 x 3 Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P = x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x = 14 6 5 c) Tìm GTNN của P Câu 2(4,0 điểm): Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x 1 m Câu (3,0 điểm): Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của nó có phân số tối giản là 16 và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ 9 số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27. Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là đường kính của đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D (O), E (O’), K là giao điểm của BD và CE. a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE. Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : 3x2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2 .
4. Tr•êng THCS: Yªn Tr•êng §Ò thi m«n:To¸n Thêi gian lµm bµi: 150p Hä vµ tªn ng•êi ra ®Ò: TrÞnh ThÞ Giang C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ò(§èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn): §Ò thi C©u1: x 2 x 1 x 1 Cho biÓu thøc: A= ( ) : x x 1 x x 1 1 x 2 Víi x>0 vµ x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < 2 C©u2: Cho c¸c ®•êng th¼ng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d1) vµ (d2) khi m = 3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó M(3; -8) lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) C©u3: Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh vµ hÖ ph•¬ng tr×nh sau: a) 1+ 3 x 16 3 x 3 b) xy – x – y = 5 yz - y- z = 5 zx –z –x =7 C©u4: Cho hai ®•êng trßn cã chung t©m lµ ®iÓm Ovµ cã b¸n kÝnh lÇn l•ît lµ R vµ R . Tõ mét ®iÓm A c¸ch t©m O Mét ®o¹n OA = 2R, ta kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC 2 ®Õn ®•êng trßn (O ; R). Gäi D lµ giao ®iÓm cña ®•êng th¼ng AO víi ®•êng trßn (O; R) vµ ®iÓm O thuéc ®o¹n th¼ng AD. a) Chøng minh ®•êng th¼ng BC tiÕp xóc víi ®•êng trßn (O ; ) b) Chøng minh tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c ®Òu c) Chøng minh r»ng ®•êng trßn (O ; ) néi tiÕp trong tam gi¸c BDC.
5. Tr•êng THCS §Þnh T•êng §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn ng•êi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn). §Ò thi: C©u 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc x y x y x y 2xy A : 1 1 xy 1 xy 1 xy a, Rót gän A 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x 2 3 c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. C©u 2: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh: x2 9y2 9 6xy 2 2 x 4xy 4xy 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi x2 2y 1 y 2 2z 1 z 2 2x 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x2010 y2010 z2010 C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a. Chøng minh r»ng: b2 a2 c2 2ac.cos B C©u 5: (4 ®iÓm): Cho ®•êng trßn (O;R) vµ ®•êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®•êng trßn. b, Chøng minh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ( d) e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng. C©u 6: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c •íc tù nhiªn cña p4 lµ 1 sè chÝnh ph•¬ng.
6. Tr•êng THCS §Þnh T•êng §Ò thi m«n: To¸n. Thêi gian lµm bµi: 150 phót. Hä vµ tªn ng•êi ra ®Ò: Lª ThÞ Thu. C¸c thµnh viªn thÈm ®Þnh ®Ó (®èi víi nh÷ng m«n cã tõ 2 GV trë lªn). §Ò thi: C©u 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc x y x y x y 2xy A : 1 1 xy 1 xy 1 xy a, Rót gän A 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x 2 3 c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. C©u 2: (4 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh: x2 9y2 9 6xy 2 2 x 4xy 4xy 4 C©u 3: (2 ®iÓm) Cho 3 sè x,y,z tho¶ m·n ®ång thêi x2 2y 1 y 2 2z 1 z 2 2x 1 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x2010 y2010 z2010 C©u 4: (4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a. Chøng minh r»ng: b2 a2 c2 2ac.cos B C©u 5: (4 ®iÓm): Cho ®•êng trßn (O;R) vµ ®•êng th¼ng d c¾t (O) t¹i 2 ®iÓm A, B. Tõ ®iÓm M trªn d kÎ c¸c tiÕp tuyÕn MN, MP víi (O). (N,P lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. a, Chøng minh 5 ®iÓm M, N, O, K, P cïng n»m trªn 1 ®•êng trßn. b, Chøng minh ®•êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn ( d) e, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c MNOP lµ h×nh vu«ng. C©u 6: (2 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p sao cho tæng tÊt c¶ c¸c •íc tù nhiªn cña p4 lµ 1 sè chÝnh ph•¬ng.
7. Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ Thi HSG Lớp 9 Cấp Tỉnh LONG AN Ngày thi : Môn thi : Toán ĐỀ THI THỬ Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức : A 2 3 2 3 b) Cho biểu thức : xx 5 5 1 P với x > 1 và x 10 xx 1 3 1 Rút gọn P và chứng minh rằng P < 3. Câu 2:(5điểm) a) Chứng minh rằng các đường thẳng y= 2x + 4 ; y = 3x + 5 và y = - 2x cùng đi qua 1 điểm. (2 điểm) x 294 x 296 x 298 x 300 b) Giải phương trình (1 điểm): 4 1700 1698 1696 1694 c) Tìm cặp số (x,y) thoả mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + 7 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất. (2 điểm) Câu 3: (5 điểm) Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC bé hơn 900 . Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và E cắt nhau tại điểm N. Các đường thẳng AB và CE cắt nhau tại Q, AE và CN cắt nhau tại P. a) Chứng minh SA = SD (2 điểm) b) Chứng minh EN song song BC và hai tam giác QCB , PCE đồng dạng. (2 điểm) 1 1 1 c) Chứng minh hệ thức (1 điểm): CN CD CP Câu: (3 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB // CD) và AB = a ; CD = b .Gọi giao điểm hai đường chéo của hình thang này là O. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E ; F. a) Chứng minh OE =OF (2 điểm) b) Chứng minh EF2 ab (1 điểm) Câu 5: (3 điểm) 11 xy 40 xy a) Giải hệ phương trình : (2 điểm) 1 xy xy 40 xy y x b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a b c a b c .Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.(1 điểm) Hết
8. 1 ĐỀ SỐ 1 Thời gian: 150 phút Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình 1. x22 6 x 9 x 10 x 25 8 2. y2 – 2y + 3 = 6 xx2 24 Câu II. (4 điểm) 1. Cho biểu thức : 2 A = xx 23 (x 2)2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2. Cho a>0; b>0; c>0 1 1 1 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 9 abc Câu III. (4,5 điểm) 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1. 2. Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. + Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3. Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC. 1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều. Câu V. (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp. Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900
9. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VÒNG I (Thời gian làm bài 120 phút) 2 2 2 2 x y z Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z 3 Bài 2: (2 điểm) Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: B = |x - 2| - |x - 5| Bài 3: (2 điểm) Cho 0 < x < y và 2x2 + 2y2 = 5xy. Tính giá trị của A = x y x y Bài 4: (2 điểm) Một cái hòm có thể chứa được hoặc 14kg táo hoặc 21kg mận. Nếu ta chứa đầy hòm đó bằng cả táo và mận mà giá tiền của táo bằng giá tiền của mận thì số trái cây trong hòm sẽ cân nặng 18kg và giá là 240000 đồng. Tìm giá tiền 1kg táo, giá tiền 1kg mận. Bài 5: (2 điểm) Tính độ lớn các góc của tam giác ABC, biết đường cao CD và đường trung tuyến CE chia góc đó thành ba phần bằng nhau.
10. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VÒNG II (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau. 1 1 1 Chứng minh rằng bằng bình phương của một số a b 2 b c 2 c a 2 hữu tỷ. Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z. x 2 4x 1 Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x 2 Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a a) Tính CE. b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.
11. Onthionline.net TRệễỉNG THCS GOỉ COÂNG Kì kiểm tra đội tuyển HSG Năm học : 2008-2009 Mụn thi: Toỏn 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Cõu 1( 4,5 điểm) Chứng minh rằng: a. Với n 1 ta cú: 3 2n 3 + 40n – 27 chia hết cho 64 b. 2 33 - 1 chia hết cho 7 1 c. Cho x > 0, y >0 và x+y = 1 chứng minh: 8( x4 + y4 ) + 5 xy Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức: f(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 1)3 a. Xác định các hệ số a,b,c. b. Giải phương trỡnh f(x) = 0 với a,b,c tỡm được ở câu a. Câu 3( 5 điểm) a. Tỡm một số cú hai chữ số sao cho nếu đổi chỗ những số này thỡ được một số lớn hơn bốn rưỡi số đó cho? b. Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = x(y + 1) + 2y biết x = 2 5 13 4 3 y = 14 49 8 3 Cõu 4 ( 6,5 điểm ): Cho đường trũn đường kính AB. Trên cùng một nửa đường trũn lấy điểm D và M sao cho cung BD bằng cung AM ( M nằm giữa A và D). Trên nửa đường trũn cũn lại lấy điểm C. Gọi N là giao điểm của CM và AB. Chứng minh rằng: a. AN.CD = AC. BD b. Tam giác ADC đồng dạng với tam giỏc NBC - Hết - 1
12. Onthionline.net TRệễỉNG THCS GOỉ COÂNG Kì kiểm tra đội tuyển HSG Năm học : 2008-2009 Mụn thi: Toỏn 9 Thời gian là m bà i: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Cõu 1( 4,5 điểm) Chứng minh rằng: Với n 1 ta cú: 3 2n 3 + 40n – 27 chia hết cho 64 2 33 - 1 chia hết cho 7 1 Cho x > 0, y >0 và x+y = 1 chứng minh: 8( x4 + y4 ) + xy 5 Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức: f(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 1)3 Xác định các hệ số a,b,c. Giải phương trỡnh f(x) = 0 với a,b,c tỡm được ở câu a. Câu 3( 5 điểm) Tỡm một số cú hai chữ số sao cho nếu đổi chỗ những số nà y thỡ được một số lớn hơn bốn rưỡi số đó cho? Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = x(y + 1) + 2y biết x = 2 5 13 4 3 y = 14 49 8 3 Cõu 4 ( 6,5 điểm ): Cho đường trũn đường kính AB. Trên cùng một nửa đường trũn lấy điểm D và M sao cho cung BD bằng cung AM ( M nằm giữa A và D). Trên nửa đường trũn cũn lại lấy điểm C. Gọi N là giao điểm của CM và AB. Chứng minh rằng: AN.CD = AC. BD Tam giác ADC đồng dạng với tam giỏc NBC - Hết - ĐÁP ÁN CHẤM Cõu 1: a.
13. SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 8x2 3x y 5 y 25 2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= n.4nn 3 7 Câu 2( 4,0 điểm) 2 10 30 2 2 6 2 1) Rút gọn biểu thức: A= : 2 10 2 2 3 1 x2 yz y 2 zx z 2 xy 2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . a b c a2 bc b 2 ca c 2 ab Chứng minh rằng x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: xm2 6x 0 (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã 22 cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn xx12 12 8x3yy 3 27 18 3 2) Giải hệ phương trình: 22 4xyy 6x Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR: HA2 HB 2 HC 2 HD 2 không đổi. b) CMR : PQRS là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh MN NP PQ QM AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: S ≤ AC ABCD 4 Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: ab bc ca a b c a 3 b 2 c b 3 c 2a c 3 a 2 b 6 Hêt—
14. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH ĐĂK NÔNG NĂM HỌC 2010-2011 Khóa thi ngày: 10/3/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) 2 x 2 x 4 x x 3 1) Cho biểu thức A :.Tìm điều kiện của x để A > 0. 2 x 2 xx 4 2 x x 2 2) Cho x 11 2 1 1 2 1 1 Tính giá trị của biểu thức: B ( x4 x 3 x 2 2 x 1) 2011 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 . xy2 2 1 0 2) Cho x, y z là nghiệm của hệ phương trình: yz2 2 1 0 2 zx 2 1 0. Tính giá trị của biểu thức: C x10 y 3 z 2011 . Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm các cặp số ( a, b) thỏa mãn hệ thức: a b 2011 a b 2011 . 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: n2 – 14n + 38 là một số chính phương. Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm nằm trên cung nhỏ AD . Nối CE cắt OA tại M và nối BE cắt OD tại N. 1) Chứng minh: AM. ED 2 OM . EA OM ON 2) Chứng minh tích  là một hằng số. Từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng AM DN OM ON , khi đó cho biết vị trí của điểm E? AM DN Bài 5: (3,0 điểm) Cho abc,, là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a3 b 3 c 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 9 . 2abc ab c2 bc a 2 ca b 2 2 HẾT
15. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TP. ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 THCS Đề thi chính thức (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức với a/ Rút gọn biểu thức với b/ Tìm tất cả các giá trị sao cho P là một số nguyên tố. Bài 2. (2,0 điểm) a/ Tìm x, biết: b/ Giải hệ phương trình: Bài 3. (2,0 điểm) a/ Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ) b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17. Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N. a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng. b/ Chứng minh rằng Bài 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC (D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng là diện tích tam giác ADE, là diện tích tam giác BEM và là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo .
16. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). 3 3 3 a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an. Đặt S = a1 a 2 a n và P a1 a 2 a n . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. b) Cho A = n6 n 4 2n 3 2n 2 (với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. Câu 2 (4,5 điểm). a) Giải phương trình: 10 x32 1 3x 6 1 x3 y 1 b) Giải hệ phương trình: y3 z 1 z3 x Câu 3 (4,5 điểm). 1 1 1 a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 4. x y z 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 2x+y+z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011 y 2011 z 2011 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x2 y 2 z 2 Câu 4 (4,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. 11 b) Khi BOC 1200 , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. MB MC Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
17. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NGHỆ AN NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 n 2 không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 17 là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3 2x+y = x2 b) Giải hệ phương trình: 2 2y+x = y Câu 3 (3,0 điểm). 4x+3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x12 Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2 b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K (O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
18. SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011) SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x 4 x 4 x 4 x 4 Câu 1:(2.5 điểm) Cho biểu thức A với 48 x 8 16 1 xx2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Câu 2:(2.5 điểm) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác là nghiệm của phương trình bậc hai (m 2) x2 2( m 1) x m 0. Xác định m để số đo đường cao ứng 2 với cạnh huyền của tam giác đã cho là 5 Câu 3:(3.0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O) và (O’) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Các đường thẳng BC, BD lần lượt cắt MN tại P và Q. Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AE và CD vuông góc nhau. b) Tam giác EPQ cân. Câu 4:(1.0 điểm) Cho x, y , z 0 thỏa mãn: x2 y 2 z 2 3. Chứng minh: xy yzx z 3 z xy Câu 5:(1.0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn : a5 b 5 4( c 5 d 5 ) Chứng minh rằng : a b c d chia hết cho 5. HẾT
19. Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ Thi HSG Lớp 9 Cấp Tỉnh LONG AN Ngày thi : Môn thi : Toán ĐỀ THI THỬ Thời gian : 150 phút (không kể phát đề) CÂU 1: (4 điểm) 1.1/ So sánh : 2009 2011 và 2 2010 2.2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 CÂU 2: (5 điểm) 2.1/(2điểm) Giải phương trình: xx 1 3 4 7 với 1< x < 4 2.2/ (3điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. a/ Viết phương trình đường thẳng AB. b/Tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. CÂU 3: (5 điểm) Cho đường tròn ( O; R) và dây cung BC với BOC =1200. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đường tròn cắt nhau tại A.Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt AB tại E và cắt AC tại F. a/ Tính chu vi tam giác AEF theo R b/Gọi I và K tương ứng là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI cùng đi qua một điểm. c/ Chứng minh: EF = 2IK CÂU 4: (3điểm) 4.1/ Cho đường tròn tâm O ,đường kính AB, M là điểm di động trên đường tròn, vẽ MH vuông góc AB tại H.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn O sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất. 4.2/ Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác trong góc A là AD=d. 2 1 1 Chứng minh: d b c CÂU 5: (3điểm) Kim đồng hồ chỉ 6 giờ .Hỏi sau bao lâu kim phút và kim giờ lại gặp nhau? Hết