Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Tuyển tập 50 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 50 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 MỤC LỤC Trang Đề thi Đáp án 1. Đề thi HSG lớp 7 huyện Chương Mỹ năm học 2014-2015 4 55 2. Đề thi HSG lớp 7 huyện Tiền Hải năm học 2016-2017 5 57 3. Đề thi HSG lớp 7 huyện Quốc Oai năm học 2015 -2016 6 60 4. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thanh Uyên năm học 2017 -2018 7 62 5. Đề thi HSG lớp 7 huyện Quế Sơn năm học 2009 -2010 8 66 6. Đề thi HSG lớp 7 huyện Anh Sơn năm học 2013 -2014 9 68 7. Đề thi HSG lớp 7 huyện Việt Yên năm học 2012 -2013 10 70 8. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hoài Nhơn năm học 2012 -2013 11 74 9. Đề thi HSG lớp 7 Trường Trần Hưng Đạo 2017 -2018 12 76 10. Đề thi HSG lớp 7 Trường Trần Mai Ninh 2017 -2018 13 79 11. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hoằng Hóa năm học 2013 -2014 14 82 12. Đề thi HSG lớp 7 huyện Sông Lô năm học 2013 -2014 15 85 13. Đề thi HSG lớp 7 huyện Quốc Oai năm học 2016 -2017 16 87 14. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hậu Lộc năm học 2013 -2014 17 89 15. Đề thi HSG lớp 7 Trường Bảo Sơn 2013 -2014 18 92 16. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hậu Lộc năm học 2017 -2018 19 96 17. Đề thi HSG lớp 7 Trường Võ Thị Sáu 2010 -2011 20 99 18. Đề thi HSG lớp 7 huyện Triệu Sơn năm học 2016 -2017 21 102 19. Đề thi HSG lớp 7 huyện Vĩnh Lộc năm học 2016 -2017 22 105 20. Đề thi HSG lớp 7 huyện Vĩnh Bảo năm học 2017 -2018 23 109 21. Đề thi HSG lớp 7 huyện Nguyễn Chích năm học 2017 -2018 24 112 22. Đề thi HSG lớp 7 huyện Ứng Hòa năm học 2015 -2016 25 115 23. Đề thi HSG lớp 7 huyện Ngọc Lặc năm học 2015 -2016 26 118 24. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thiệu Hóa năm học 2016 -2017 27 121 25. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thạch Đồng năm học 2017 -2018 28 124 Trang 1
2. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 26. Đề thi HSG lớp 7 huyện Yên Mô năm học 2016 -2017 29 127 27. Đề thi HSG lớp 7 huyện Như Xuân năm học 2015 -2016 30 130 28. Đề thi HSG lớp 7 huyện Vũ Thư năm học 2015 -2016 31 133 29. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hương Khê năm học 2011 -2012 32 139 30. Đề thi HSG lớp 7 huyện Sơn Động năm học 2014 -2015 33 140 31. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thanh Sơn năm học 2013 -2014 34 142 32. Đề thi HSG lớp 7 huyện Nga Thắng năm học 2017 -2018 35 145 33. Đề thi HSG lớp 7 huyện Tam Dương năm học 2014 -2015 36 148 34. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thanh Chương năm học 2013 -2014 37 150 35. Đề thi HSG lớp 7 huyện Ý Yên năm học 2015 -2016 38 152 36. Đề thi HSG lớp 7 huyện Thanh Oai năm học 2013 -2014 39 156 37. Đề thi HSG lớp 7 huyện Đức Phố năm học 2015 -2016 40 160 38. Đề thi HSG lớp 7 huyện Yên Định năm học 2010 -2011 41 163 39. Đề thi HSG lớp 7 huyện Sơn Dương năm học 2012 -2013 42 165 40. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hoài Nhơn năm học 2015 -2016 43 168 41. Đề thi HSG lớp 7 huyện Hồng Hà năm học 2015 -2016 44 172 42. Đề thi HSG lớp 7 huyện Tiền Hải năm học 2016 -2017 45 174 43. Đề thi HSG lớp 7 Thị xã Phú Thọ năm học 2010 -2011 46 177 44. Đề thi HSG lớp 7 huyện Dân Hòa năm học 2015 -2016 47 178 45. Đề thi HSG lớp 7 huyện Triệu Sơn năm học 2014 -2015 48 181 46. Đề thi HSG lớp 7 huyện Triệu Sơn năm học 2015 -2016 49 183 47. Đề thi HSG lớp 7 trường Hoằng Phụ năm học 2016 -2017 50 186 48. Đề thi HSG lớp 7 huyện Lâm Thao năm học 2016 -2017 51 188 49. Đề thi HSG lớp 7 huyện Nghĩa Đàn năm học 2011 -2012 53 191 50. Đề thi HSG lớp 7 tỉnh Bắc Giang năm học 2011 -2012 54 193 Trang 2
3. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆNCHƯƠNG MỸ LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 1 (Đề thi có một trang) Câu 1. 33 0,3750,3−++ 1,510,75+− a. Thực hiện phép tính: 1112 + 555 −+−−+−0,2650,52,51,25 11123 b. So sánh: 50++ 26 1 và 168 . Câu 2. a. Tìm x biết: x−2 + 3 − 2 x = 2 x + 1 b. Tìm x; y Z biết: xyxy+−=25 c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n. 2332bzcycxazaybx−−− xyz b. Cho == Chứng minh: ==. abc 23 abc 23 Câu 4. Cho tam giác ABC ( BAC 90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF; b. HA là phân giác của MHN ; c. CM // EH; BN // FH. ___Hết___ Họ và tên: Số báo danh: Trang 3
4. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆNTIỀN HẢI LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 2 (Đề thi có một trang) Câu 1. (5 điểm) 2.34.95.7251256210352 .49 a) Thực hiện phép tính: A 63 2.38245 .3 125.75 .14 93 b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + 17.18.19 c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu. Câu 2. (3 điểm) a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30. 133 b) Tìm x biết: x1,6 245 Câu 3. (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7 b) Cho m = 5. Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 13 2) Cho các đơn thức Ax yz ,Bxy2 22z ,Cx 23 y 24 Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm. Câu 4. (7 điểm) Cho ABC nhọn có góc A bằng 600. Phân giác ABC cắt AC tại D, phân giác ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. a) Tính số đo góc BIC. b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh CID = CIF. c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chứng minh BCM là tam giác đều. Trang 4
5. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 A M C B I E D N O 1.Tam giác ABC cân tại A nên ABCACBNCEACB==; ; (đối đỉnh) Do đó: MDB = NEC( ) g c g DM = EN . 2. Ta có =MDINEIg = c gMINI( ) Vì BD = CE nên BC = DE . Lại có DI x-1= 3 => x = 4 b) Ta có: Trang 180
6. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 3x + x2 = 0  x(3 + x) = 0 x = 0 hoặc x = -3 c) Ta có: (x-1)(x-3) x-3 nên x10− (x1x3−− ) ( ) 0 1x3 x3− 0 Câu 2. a)Ta có: xzy xz2x3z1002222 y2y2x2y3z22222 +− − Từ == ta có: === 4 3 4 5 916251832752525 −− x = 6 y = 8 x+1 1 3 -1 -3 2 x = 36 x = 10 y+1 3 1 -3 -1 y 2 = 64 2 x = −6 x 0 2 -2 -4 z = 100 y = −8 y 2 0 -4 -2 z = −10 ( Vì x, y, z cùng dấu) b) Ta có: abcdabcd +++ 1 Ta có === 222222222bcdabcda +++ (do a,b,c,d > 0 => a + b + c + d > 0) suy ra a = b = c = d Thay vào tính được P = 2 Câu 3. a) Ta có: Ta có x+y+xy =2  x + 1 + y(x + 1) = 3  (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có: Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) Ta có: 27− 2x 3 Q = = 2+ 12− x 12− x Trang 181
7. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 3 A lớn nhất khi lớn nhất 12 x− * Xét x > 12 thì 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân 12 x− số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12- x 0 Vậy để lớn nhất thì x Z  x = 11 12- x nhỏ nhất A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 Câu 4. a) Ta có: 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1) -1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c Vậy a và c là hai số đối nhau. 2 b) Ta có:( xx−+  322 ) ( x −+ 324 ) . Dấu "=" xảy ra  x = 3 y + 30 , y . Dấu "=" xảy ra  y = -3 2 Vậy P = ( xy−++++3232007) 4 + 2007 = 2011. Dấu "=" xảy ra  x = 3 và y = -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011  x = 3 và y = -3 Câu 5. B D a) - Chứng minh IBM = KCM => IM= MK K - Chứng minh IMC = KMB M => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI b) Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M H I => đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC A => N là trung điểm AC N C AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = 1 O' O AC 2 Mặt khác MC = BC Lại có ABC vuông tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM) c) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Trang 182
8. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI ⊥ AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta có ABM cân tại M (2) Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600 Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) Xảy ra 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI và DH cắt tia MN. Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy ra BI, DH, MN đồng quy. Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1 Vậy BI, DH, MN đồng quy. (Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao ) Đề số 47 Câu 1. 212 .34 56−−−− .95 210 .725 32212 .492 512 410 .32 34 .35 4 .75 .7 =−=− a)A 6312 612 59 39 3 3 (224 .38) 5 .3+ (125.75) .14+ 932 .32++ .35 .75 .2 .7 12 4 4 364 36 2 .3 .( 3− 1) 5 .7 .( 575−− .7) . 57212 .3 46 .21 57 ( ) − =−=−= − 212 .3 512 .( 3 59+ 12) 35 .359 .45 .7 33 .( .7 1+ .95 2 ) .9 6 556.3−− 2(57) 2429 = =− 2.55 .9 6250 111111 b) Xét A= −++−++− 7777772442498100 nn− 1 1 1 1 1 Ta có: 49A=1− + + − + + − 72 7 4nn−− 4 7 4 2 7 96 7 98 1 1 50A = 1 − 1 A (đpcm) 7100 50 c) B = 12+ 22 + 32 + 42 + 52 + .+ 982 = (1.2+2.3+3.4+ 98.99) – (1+2+3+4+ 97+98) = 318549 d) P2-1=(p-1)(p+1) Vì p >3 nên p lẻ => (p-1)(p+1) là tích hai số chẵn nên chia hết cho 8. Ta có (p-1)p(p+1)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 vậy trong hai số (p-1);(p+1) phải có 1 số chia hết cho 3 ( ) Trang 183
9. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Vì (8;3) = 1 => P2-1 chia hết cho 24 Câu 2. a) Ta có: 14214162 − xx−+=−+ −+=+( 3,2) 3553555 1414 −+=x 355 17 1 xx−==2 −= x 2 33 3 x−=−1 2 x=−5 3 3 mmmmmm3232++++++3253255 b) Cho C = ==+ 1 với m N m(1)(2)63232 mmmmmmmm+++++++ 3232 Vậy C là số hữu tỉ c) Ta có bản xét dấu sau: x - 2 1 3 (x - 1) _ - 0 + + _ 0 + + (x + 2) + + - (3 - x) + + 0 + _ + - M = (x - 1)(x + 2) (3 – x) 0 0 0 Từ bảng xét dấu trên ta thấy M 3. Câu 3. ac a) Từ = suy ra c2 = a. b cb a2++ c 2 a 2 a. b a() a+ b a khi đó = = = b2++ c 2 b 2 a. b b() a+ b b b) Ta có: x2 – y2 = (x+y)(x-y) =5 Trang 184
10. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 x + y 5 -5 1 -1 x - y 1 -1 5 -5 x 3 -3 3 -3 y 2 -2 -2 2 Vậy có 4 cặp (x, y) là (3; 2), (-3;-2), (3; -2) và (-3; 2) Câu 4. A 350 B D C M E 0 75 0 a) Ta có: BADCAD=== 3730'0 ADMABDBAD=+= 7230' 2 ( Góc ngoài cảu tam giác ABD ); Tam giác DAE vuông có AM là đường trung tuyến nên MAD cân tại M , do đó 0000 AMDADM=−=−=1802.18014535 (1) Trong tam giác ABC ta lại có: BAC=750 , ABC = 35 0 ACB = 70 0 0 CAM = ACB − AMC = 35 (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác A C M cân 0 b) Theo ý a, ta có: ABM== AMB 35 =AB AM (3) 1 Mặt khác: AM= DE (Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông) 2 AD+ AE mà DEADAE + AM (4) 2 ADAE+ Từ (3) và (4) AB (đpcm) 2 c) Ta có: ACCM= ( ACM cân), MAMEAME= ( cân) AM= AB( ABM cân). Do đó: BE= BC + CA + AB Câu 5. Gọi ba số cần tìm là a, b, c; số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 abc + + 9 . Lại có: 1 abc + + 27 Suy ra: abc++ nhận một trong các giá trị 9, 18, 27 (3) Trang 185
11. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 abcabc ++ abc++ Theo theo bài ra ta có: === mà aN nên N (4). 1236 6 Từ (3) và (4) +abc + = 18 a b c Vậy = = = 3. Từ đó ta có: a b= c =3 =, 6 , 9 . 1 2 3 Do số cần tìm chia hết cho 18 nên tận cùng phải là số chẵn. Vậy số cần tìm là: 396 hoặc 936 Đề số 48 I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ. án A C C A B D B A C D B C II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1. a) M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 Vậy M 102 b) Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d Hay a = m.d và c = n.d với (m,n) = 1 Thay vào (1) ta được m.d.b = n2 . d2 => m.b = n2. d => b n2 vì (a,b) = 1= (b,d) Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Câu 2. 1. Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 = x2 – 4x + 2015 A, Với x = 4 ta được A = 2015 x = 0 B, A = 2015 => x2 – 4x = 0 => x(x - 4) = 0  x = 4 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây Câu 3. Trang 186
12. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 1. a) Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh =AOCBOEgcgACBE −− == ( COEO) ; Chứng minh DOC = DOE( c − g − c) CD = ED Mà ED= EB + BD = AC + BD . Từ đó : C D A=+ C B D (đpcm) b, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: OEOBEB222=+ +=++OEODOBEBDB22222 2 222 ODOBDB=+ Mà OEODDE222+=; Nên DEOBEBDB2222=++2 2 ()=+−+−OBEB2 DEBDDB( DEBE) 2 =+−+−OBEB2 DEEB BDDB DEDB BE 2 2.=++−OBEB2 ( DEDB DEBD BE) 2.2.=++−OBDEEBDBBD2 ( BE ) 22.=+−OBDEBD22 BE Suy ra 22.0.OBBD22−= = BEBD BEOB AB Mà BEACOB==; . 2 2 ABAB 2 Vậy AC. BD == (đpcm) 24 2. Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)  AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ đó HE ⊥ BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) Trang 187
13. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 HA + HB + HC < BC + AC (6) 2 Từ đó suy ra HA + HB + HC < ()ABACBC++ đpcm 3 Câu 4. Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0 Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0 Mà A = 0 khi và chỉ khi |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0 xy Có: |7x – 5y| = 0  7x = 5y  = 57 xz |2z – 3x| = 0  = 23 |xy + yz + zx - 2000| = 0  xy + yz + zx = 2000 xyz===20;28;30 Từ đó tìm được xyz=−=−=−20;28;30 A 0, mà A = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) Đề số 49 Câu 1. 2.34125623109 .916−+ .3120.6 21252 .3(2 62−+ ) 24 .(3 31039 )(2 ) .32 .3.5.(2.3) a) A = + = + (2264561212 .3)8++ .34 .36 (22 ) 663 .3(2 452++ ) 61212 .3(2 ) .3(2.3) 2.32.32.32.312512412101210−+ .5 = + 2.32.32.32.312612512121212++ 2.31241210 (31)2.3(15)−+ = + 2.31251210 (31)2.3.9+ 125 = += 636 b) Ta có P(x) = x2012 – 2011 x2011 - 2011 x2010 - – 2011 x2 - 2011 x + 1 = x2012 – (2012-1) x2011 - (2012-1) x2010 - – (2012-1) x2 - (2012-1) x + 1 = (x2012 – 2012x2011) + (x2011 – 2012x2010) + + ( x2 – 2012x) + x + 1 = x2011(x – 2012) + x2010(x – 2012) + .+ x(x – 2012) + x + 1 Vậy P( 2012) = 2012 +1 = 2013 Câu 2. a) 2012 = xx−+−20102008 (1) + Nếu x 2008 , từ (1) 2012 = 2010 – x + 2008 – x x = 1003 ( thỏa mãn) + Nếu 2008 < x 2010 , từ (1) 2012 = 2010 – x + x – 2008 2012 = 2 ( vô lý) + Nếu x 2010 , từ (1) 2012 = x – 2010 + x – 2008 x = 3015( thỏa mãn) Vậy giá trị x cần tìm là : 1003 hoặc 3015 Trang 188
14. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 b) (3)(3)0xx−−−=xx+2 −−−=(3)[1(3)]0xxx 2 x x −=30 (3)0x −= x −31 = 2 1(3)0−−=x x −31 = − x = 3 = x 4 x = 2 322553xyzxyz−−− 1510615106xyzxyz−−− Từ == == 532 2594 c) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 15106151061510615106xyzxyzxyzxyz−−−−+−+− === 0 259438 xy = 23 1510032xyxy−== xz −= = = 615025zxzx 25 106053yzyz−== zy = 53 xyzxyz ++ 50 === 5 23523510 ++ ===xyz10,15,25 Câu 3. 2012201220122012a+ b + c +++ dab ++ c +++ da bc + +da b cd a) === abcd 2012201220122012a+ b + c +++ dab ++ c +++ da bc + +da b cd −=−=−=−2011201120112011 abcd abcd+++ abcd +++ abcd +++ abcd +++ === (*) a b c d + Nếu a + b + c + d khác 0 Từ (*) suy ra a = b = c = d Vậy M = 1 + 1 +1 +1 = 4 + Nếu a + b + c + d = 0 a + b = - ( c + d) ; a + c = - ( b + d) ; a + d = - ( b +c) . Vậy M = - 1 - 1 – 1 – 1 = - 4 b) Từ ( 7 a – 21 b + 5)( a – 3 b + 1) 7 ( a – 3 b + 1) 7 vì ( 7 a – 21 b + 5) không chia hết cho 7 và 7 là số nguyên tố . Từ ( a – 3 b + 1) 7 (42a + 14b +14 ) + ( a – 3 b + 1) 7 vì (42a + 14b + 14 ) 7 43a + 11b + 15 7 ( đpcm) Câu 4. Ta có : A = xxx−2010 + − 2012 + − 2014 Trang 189
15. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 = (20102014)2012xxx−+−+− Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối : a b+ a b + dấu ‘ =’ xẩy ra khi a.b 0 , ta có H Ta có xxxx−+− −+−=20102014201020144 với mọi x (1) x − 2 0 1 2 0 với mọi x ( 2) Từ (1) và (2) A 4 với mọi x . Vậy A có giá trị nhỏ nhất = 4 (xx− 2010)(2014 − ) 0 Khi (1) và (2) xẩy ra dấu “ =” hay : x = 2012 x −=2012 0 Vậy x = 2012 thì A có giá trị nhỏ nhất là : 4 Câu 5. a) Gọi I là giao điểm của MD và AB, K là giao điểm của ME và AC IM = ID , MK = KE và MIA== DIA 900 , MKA== EKA 900 ( Do AB là đường trung trực của MD, D AC là đường trung trực của ME) A ∆ AIM = ∆ AID ( c.g.c) và ∆ AKM = ∆ 1 AKE ( c.g.c) 2 4 E 3 AM = AD và AM = AE AM = AD I = AE K b) + Nếu M trùng B ( hoặc C) thì D ( E) trùng B( C) và K trùng A ( I trùng B C A) M 3 điểm A, D, E thẳng hàng + Nếu M không trùng B ( hoặc C) . Theo ý a ta có : ∆ AIM = ∆ AID ( c.g.c) và ∆ AKM = ∆ AKE ( c.g.c) =AA12 và AA34= 0 0 Mà AA23+=90 +++=AAAA1234 180 . suy ra 3 điểm A, D, E thẳng hàng c) Theo chứng minh ý a, b ta có với M bất kỳ thì 3 điểm A, D, E thẳng hàng và AM = AD = AE DE = 2.AM Kẻ đường cao AH , ta có AM AH ( Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên) Suy ra DE AH , do tam giác ABC không đổi nên AH không đổi DE nhỏ nhât = 2.AH Vậy DE nhỏ nhất khi M trùng với H Đề số 50 Câu 1. 15 4 1 18 8 1 1) A = − + : − + 10 10 10 12 12 12 12 11 = : 10 12 Trang 190
16. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 6 1 2 7 2 ==. 5 1 1 5 5 72 Vậy A = . 55 2) P= x −2012 + x − 2013 + Nếu x = 2012 hoặc x = 2013 thì P =1 + Nếu x 2013 thì Pxxx=−+− +− 20122013120131 + Nếu x 2012 thì Pxxx=−+− −+ 20122013201211 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x = 2012 hoặc x = 2013 . Câu 2. 1) Ta có 2.3.5108002xxxxxx++212 = = .2 .3 .3.510800 x =(2 . 3 . 5 9) 0 0 = =30302x 2 x Vậy x = 2 là kết quả cần tìm. 2) + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là abc,, . Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên abc+ + = 74 abab + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên = = 561012 b c b c + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên = = 4 5 12 15 a b c a++ b c 74 + Từ đó ta có = = = = = 2 10 12 15 10++ 12 15 37 + Suy ra abc===20;24;30 Câu 3. 1) + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng pkkk= 31,1 ( ) +Với pk=+31 2 suy ra p2+2012 =( 3 k + 1) + 2012 = 9 k 2 + 6 k + 2013 ( p 2 + 2012) 3 +Với pk=−31 2 suy ra pkk222+=2012 kp −( 3 += 1) − 2012 + 9 + 6 20132012( 3 ) Vậy p2 + 2012 là hợp số. 2) + Vì n là số có hai chữ số nên 9100182200 nn + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196. + Với 2n= 36 n = 18 n + 4 = 22 không là số chính phương 2n= 64 n = 32 n + 4 = 36là số chính phương 2n= 100 n = 50 n + 4 = 54 không là số chính phương 2n= 144 n = 72 n + 4 = 76 không là số chính phương Trang 191
17. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 2196984102nnn= = += không là số chính phương + Vậy số cần tìm là n = 32 . Câu 4. 1) + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) + Góc IAB là góc ngoài của tam giác ABH nên IABABHAHBABH=+=+ 900 + Ta có EBCEBAABCABC=+=+ 900 . Do đó I A B E= B C . + Do đó ABIBECcgc=−− () + Do nên AIBBCE= . + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có AIBIBH+=900 . Do đó BCEIBH+=900 . KL: CE vuông góc với BI. 2) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DMDN⊥ . + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FMFDFN==. + Tam giác FDM cân tại F nên FMDMDF= . FMDMBDBDM=+ g ( óc ngoài tam giác) =+MBDCDM Suy ra MBDCDF= (1) Ta có MCD=+ CDF CFD (2) Do tam giác ABC cân tại A nên MCD= 2 MBD (3) 1 Từ (1), (2), (3) suy ra MBD= DFC hay tam giác DBF cân tại D. Do đó BDDFMN== 2 Câu 5. + Ta có: 1111 P =++ ++ 1007 10082012 2013 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + + + + + − 1 + + + + 2 3 1006 1007 1008 2012 2013 2 3 1006 Trang 192
18. TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 1111111 1111 =+++++++++ 1 −++++2 2310061007100820122013 2462012 11111 =−+−+−+1 =S. 23420122013 2013 Do đó (SP− ) =0 ___Hết___ Trang 193