30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7

Nội dung text: 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1: (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 nn n a) .1 6 2 ; b) 27 < 3 < 243 8 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 11357 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2 x 3 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 2.31 2 5 4.9 6 2 5.7 1 0 3 25.49 5 2 A 63 2 4 5 93 2 .3 8 .3 1 2 5 .7 5 .1 4 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thỡ : n22 n n n 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tỡm x biết: 1
2. 1 4 2 a. x 3, 2 3 5 5 xx1 1 1 b. xx7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đó 5 4 6 bằng 24309. Tỡm số A. 22 ac a c a a) Cho . Chứng minh rằng: 22 cb b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng o o c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết HBE = 50 ; MEB =25 . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN 7 Bài 1.Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) 1 nn 4n-3 n a) .1 6 2 ; => 2 = 2 => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 11357 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1111 1 1 1 1 12(1357 49) = ( ). 5499141419 4449 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = (). 54 49 89 5.4.7.7.89 28 2
3. Bài 3.(4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2 x 3 x 2 Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 3 thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) 2 5 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn) 3 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4.Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có: x – y = 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) 3 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 1 Do đó: : 11 y 1 12 1 11 3 33 12 4 => x = ( vòng ) x (giờ) 33 11 3
4. Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là 4 giờ 11 Bài 5.Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI tại F E ABM = DCM vì: F AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID AC A Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) C Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) B H M => IC = AC = AF (3) D và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 2 TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 4
5. 10 125 62 103 5 2 125 124 103 4 2.3 4.9 5.7 25.49 2.3 2.3 5.7 5.7 A 6393 126 125 93 933 22 .3 8 4 .3 5 1 2 5 .7 5 .1 4 2.3 2.3 5.7 5.2.7 1 2 4 1 0 3 2.3.3 1 5.7.1 7 1 2 5 2 .3 . 3 1 59 .7 3 . 1 2 3 1 2 4 1 0 3 2 .3 .2 5 .7 . 6 1 2 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 1 1 0 7 6 3 2 b) (2 điểm) n22 n n n n22 n n n 3 2 3 2 = 3 3 2 2 nn22 = 3 (3 1) 2 ( 2 1) n n n n 1 = 310 2 5 310 2 10 = 10( 3n -2n) Vậy  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 1 6 2 xx3, 2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 1 4 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 1 3 x 2 3 x 2 17 33 x 2 15 33 b) (2 điểm) xx1 1 1 xx7 7 0 x 1 1 0 xx7 1 7 0 5
6. x 1 1 0 xx7 1 7 0 x 1 x 70 10 1 (x 7 ) 0 xx7 0 7 (xx 7 )10 1 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = :: (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 23k Từ (1) = k a k;; b k c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 2 4 9 1 Do đó (2) k ( ) 2 4 3 0 9 2 5 1 6 3 6 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = 237 . b) (1,5 điểm) ac Từ suy ra c2 a. b cb 2 2 2 a c a a. b khi đó 2 2 2 b c b a. b a() a b a = b() a b b Bài 4: (4 điểm) A I a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) B M C H 6 K E
7. a b c Câu 2: (2 điểm)a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số a b b c c a nguyên. b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . Câu 3: (2 điểm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ? Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 9 Chứng minh rằng: 5 15 25 1985 20 ĐỀ SỐ 12: Bài 1: (2 điểm)a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có: n n n n A= 5 (5 1) 6 (3 2 )  91 2 b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P 14 là số nguyên tố. 2 Bài 2: ( 2 điểm)a) Tìm số nguyên n sao cho n 3  n 1 b) Biết bz cy cx az ay bx a b c Chứng minh rằng: a b c x y z Bài 3: (2 điểm) An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ảnh hoa của An bằng số bưu ảnh thú rừng của Bách. + Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bưu ảnh thú rừng của tôi thì số bưu ảnh của bạn gấp 7 lần số bưu ảnh của tôi. + An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bưu ảnh hoa của tôi thì số bưu ảnh của tôi gấp bốn lần số bưu ảnh của bạn. Tính số bưu ảnh của mỗi người. Bài 4: (3 điểm) Cho ABC có góc A bằng 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF . a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB. b) Tính số đo góc EDF và góc BED. Bài 5: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 18
8. 2 2 p 2 p 2 5 1997 5 q ĐỀ SỐ 13: 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 Bài 1: (2 điểm)Tính: 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 38 33 Bài 2: (3 điểm)a) Chứng minh rằng: A 36 41 chia hết cho 77. b) Tìm các số nguyên x để B x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 3 2 c) Chứng minh rằng: P(x) ax bx cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên. Bài 3: (2 điểm)a) Cho tỉ lệ thức a c . Chứng minh rằng: b d 2 2 2 2 2 ab a b a b a b 2 2 và 2 2 cd c d c d c d n b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2 1 chia hết cho 7. Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3 a 2 b  17 10 a b  17 (a, b Z ) ĐỀ SỐ 14: Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a. 1 1 1 1 2 3 4 2005 b) Tính P 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bài 2: (2 điểm) Cho x y z t y z t z t x t x y x y z chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng. 19
9. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH BC (H BC). Vẽ AE AB và AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N AH). EF cắt AH ở O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF. Bài 5: (1 điểm) 255 579 So sánh: 5 và 2 ĐỀ SỐ 15: 1 1 1 6 39 51 512 512 512 512 A B 512 Câu 1: (2 điểm)Tính : ; 2 3 10 1 1 1 2 2 2 2 8 52 68 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 x y z b) Tìm x, y, z biết: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: n 2 n 2 n n S 3 2 3 2 chia hết cho 10. 2 2 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 ( x 2004 ) 23 y Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh: a) AC // BP. b) AK MN. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng: 2 n 2 n 2 n a b c ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. ĐỀ SỐ 16: 3 1 16 1 8 . 5 3 . 5 9 4 19 4 7 Câu 1: (2 điểm) Tính: A : 14 1 24 2 2 . 34 17 34 20
10. 1 1 1 1 1 1 1 B 3 8 54 108 180 270 378 Câu 2: ( 2, 5 điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1. b) 3 m 1 3 n 2 n 4 n n 2) Chứng minh rằng: 3 2 3 2 chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương. Câu 3: (2 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y y z 2 2 ; và x y 16 2 3 4 5 2 b) Cho f ( x ) ax bx c . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. Câu 5: (1 điểm) n n Cho 2 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2 1 là hợp số. ĐỀ SỐ 17: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) 1 1 1 1 (1 2 3 99 100 ) ( 63 .1,2 21 .3,6 ) 2 3 7 9 Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: A 1 2 3 4 99 100 1 2 3 2 4 . ( ) 14 7 35 15 B 1 3 2 2 5 . 10 25 5 7 2 1 Câu 2: (2 điểm)a) Tính giá trị của biểu thức A 3 x 2 x 1 với x 2 b) Tìm x nguyên để x 1 chia hết cho x 3 Câu 3: ( 2 điểm) 3 x 3 y 3 z 2 2 2 a) Tìm x, y, z biết và 2 x 2 y z 1 8 64 216 21
11. b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM EF. Câu 5: (1 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chứng tỏ rằng: 1 2 3 4 99 200 101 102 199 200 ĐỀ SỐ 18: 2 2 1 1 0 ,4 0 ,25 9 11 3 5 Câu 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính: M 7 7 1 1,4 1 0 ,875 0 ,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) Tính tổng: P 1 10 15 3 28 6 21 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm x biết: 2 x 3 2 4 x 5 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc người thứ nhất so với người thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người thứ hai đi là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) 2 a) Cho đa thức f ( x ) ax bx c (a, b, c nguyên). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3. 2 2 a c 7 a 5 ac 7 b 5 bd b) CMR: nếu thì 2 2 (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa). b d 7 a 5 ac 7 b 5 bd Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF 22
12. AB AC c) AE 2 Câu 5: (1 điểm) Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn như trên tham gia. ĐỀ SỐ 19: Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 B 1 b) Chứng tỏ rằng: 2 2 2 2 2 3 3 2004 2004 Câu 2: (2 điểm) 3 x 2 Cho phân số: C (x Z) 4 x 5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên. Câu 3: (2 điểm) 2 a c ab ( a b ) Cho . Chứng minh rằng: 2 b d cd ( c d ) Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D. a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các MAB; MAC là tam giác vuông cân. c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC. Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố p sao cho: 2 2 3 p 1 ; 24 p 1 là các số nguyên tố. 23
13. ĐỀ SỐ 20: 3 3 0 ,75 0 ,6 7 13 Câu 1: a) Thực hiện phép tính: A ; 11 11 2 ,75 2 ,2 7 3 B ( 251 .3 281 ) 3 .251 (1 281 ) b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. Câu 2: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). b) Biết bz cy cx az ay bx a b c Chứng minh rằng: a b c x y z Câu 3: ( 2 điểm) Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Câu 4: (2 điểm) Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của ABD, đường cao IM của BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N. Tính góc IBN ? Câu 5: (2 điểm) Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? ĐỀ SỐ 21: Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức 3 3 5 0 ,375 0 ,3 2 ,5 1,25 11 12 3 P 2005 : . 5 5 1,5 1 0 ,75 0 ,625 0 ,5 11 12 b) Chứng minh rằng: 3 5 7 19 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì: n 3 n 1 n 3 n 2 3 3 2 2 chia hết cho 6. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 2004 x 2003 x Câu 3: (2 điểm) 24
14. Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng: a) DE = 2 AM b) AM DE. Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 thì n chia hết cho 4. ĐỀ SỐ 22: Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81 ,624 : 4 4 ,505 125 3 4 A 2 2 11 2 13 : 0 ,88 3,53 ( 2 ,75 ) : 25 25 b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0 ,2 2 4 6 4 n 2 4 n 2002 2004 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên x thoả mãn. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6. Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ? b) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2 a b c d a 2 b c d a b 2 c d a b c 2 d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Bài 4: (3 điểm) 25
15. Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I. a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600. b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ABC lần lượt là M và N. Chứng minh BM > MN + NC. Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: x y z 3 2 x y z 2 y z x 2 z x y 4 26
16. ĐỀ SỐ 23: Bài 1: (2 điểm) 2 2 a) Tìm x biết: x 6 x 2 x 4 b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu 2 2004 2 2005 thức: A(x) = (3 4 x x ) . (3 4 x x ) Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) Cho x y z t . y z t z t x t x y x y z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: x y y z z t t x P z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc EBA= 1 . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. Chứng minh tam 3 giác CED là tam giác cân. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : 3 2 b c a 3 a 5 5 và a 3 5 ĐỀ SỐ 24: Bài 1: (2 điểm) 2 3 4 2003 2004 a) Tính A 3 3 3 3 3 3 b) Tìm x biết x 1 x 3 4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu x y z a 2 b c 2 a b c 4 a 4 b c Thì a b c x 2 y z 2 x y z 4 x 4 y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. 27
17. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức: 2005 2004 2003 2002 2 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 1 ĐỀ SỐ 25: Câu 1 . ( 2đ) Cho: a b c . b c d 3 Chứng minh: a b c a . b c d d Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = a c b . b c a b c a Câu 3. (2đ). Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó. a). A = x 3 . b). A = 1 2 x . x 2 x 3 Câu 4. (2đ). Tìm x: 2 x x+ 2 a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) = 81. c). 5 + 5 = 650 Câu 5. (3đ). Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E BC, BH,CK AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân. Đề số 26: Câu 1: (2đ) xx 2 Rút gọn A= 2 xx8 2 0 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. 28
18. Câu 3: (1,5đ) 2006 Chứng minh rằng 1 0 5 3 là một số tự nhiên. 9 Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh rằng . a, K là trung điểm của AC. b, BH = AC 2 c, KMC đều Câu 5 (1,5 đ) Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. ĐỀ SỐ 27: Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) :19 2 .4 6 2 5 3 4 Bài 2: (4 điểm): Cho ac chứng minh rằng: cb 22 22 a c a b a b a a) 22 b) 22 b c b a c a Bài 3:(4 điểm)Tỡm x biết: 1 1 5 3 6 1 a) x 42 b) xx 5 1 2 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: 29
19. c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC 22 Bài 6: (2 điểm): Tỡm xy, biết: 2 5yx 8 ( 2 0 0 9 ) ĐỀ SỐ 28: 1 1 1 1 Bài 1. Tính 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: x y 5 Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. ĐỀ SỐ 29: Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a4 9 9 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 10 11 Câu 3: Trong 3 số x, y, z có 1 số dương , một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết: 32 x y y z Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: xy a, ; xy=84 37 1+3y 1+5y 1+7y b , 1 2 5 x 4 x Câu 5: Tính tổng: n1 31 S 1 2 5 14 (n Z)* 2 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. d. Chứng minh: DC = BE và DC BE e. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABCEMA 30
20. f. Chứng minh: MA BC ĐỀ SỐ 30: Câu 1: So sánh các số: 2 5 0 a. A 1 2 2 2 B =251+ b. 2300 và 3200 Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a tỉ lệ thuận với 7 và 11; b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 8 và 5a - 3b + 2c = 164 Câu 3: Tính nhanh: 1 1 1 7 6 1 4 5 34 417 762 139 762 417.762 139 Câu 4. Cho tam giác ACE đều sao cho B và E ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ AC. a. Chứng minh tam giác AED cân. b. Tính số đo góc ACD? 31