Đề giao lưu học sinh giỏi các môn văn hóa cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hà Trung (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi các môn văn hóa cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hà Trung (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN HÀ TRUNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Số báo danh Môn: TOÁN 7 . Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu I:(4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 15 7 19 20 3 a) A = + + − + 34 21 34 15 7 45.94 − 2.69 b) B = 210.38 + 68.20 3 3 3 1 1 1 − + − + c) C = 4 11 13 + 2 3 4 5 5 5 5 5 5 − + − + 4 11 13 4 6 8 −1 −1 −1 −1 −1 d) D = + + + + 91 247 475 775 1147 Câu II:(4,0 điểm) 1. Tìm x biết: 1 21 a, 3 : 2x −1 = 2 22 x − 4 x − 3 x − 2 x −1 b, + = + 2019 2020 2021 2022 a + b − c b + c − a c + a − b 2. Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: = = . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1+ 1+ 1+ a c b Câu III:(4,0 điểm) 111 1) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: +=. xy5 2) Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 3) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng: n2 + 2022 không phải là số chính phương Câu IV:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. a. Chứng minh rằng: DM = EN. b. MN cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN. c. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. Câu V:(1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN 7 Hướng dẫn chấm này có 05 trang Câu Nội dung Điểm Câu I 15 7 19 20 3 a) A = + + − + (4điểm) 34 21 34 15 7 15 19 7 20 3 = + + − + 34 34 21 15 7 0,25 1 4 3 = 1+ − + 0,25 3 3 7 3 = 1+ (−1) + 0,25 7 3 3 = 0 + = 0,25 7 7 45.94 − 2.69 b) B = 210.38 + 68.20 10 8 9 9 10 8 10 9 2 .3 − 2.2 .3 2 .3 − 2 .3 0,5 = = 210.38 + 28.38.22.5 210.38 + 38.210.5 210.38 (1− 3) − 2 −1 = = = 0,5 210.38 (1+ 5) 6 3 3 3 3 1 1 1 − + − + c) C = 4 11 13 + 2 3 4 5 5 5 5 5 5 − + − + 4 11 13 4 6 8 1 1 1 1 1 1 3. − + − + 4 11 13 2 3 4 = + 0,5 1 1 1 5 1 1 1 5. − + . − + 4 11 13 2 2 3 4 3 2 = + = 1 0,5 5 5 −1 −1 −1 −1 −1 d) D = + + + + 91 247 475 775 1147 −1 −1 −1 −1 −1 0,25 = + + + + 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 6 6 6 6 6 0,25 = − . + + + + 6 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − . − + − + − + − + − 0,25 6 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 1 1 1 5 = − . − = − 0,25 6 7 37 259 1
3. Câu II 1 21 a) 3 : 2x −1 = (4điểm) 2 22 7 21 : 2x −1 = 2 22 7 21 11 2x −1 = : = 2 22 3 0,5 11 7 2x −1 = x = 3 3 11 4 2x −1 = − x = − 3 3 7 4 Vậy x = hoặc x = − 3 3 0,5 x − 4 x − 3 x − 2 x −1 b) + = + 2019 2020 2021 2022 x − 4 x − 3 x − 2 x −1 −1 + −1 = −1 + 2019 2020 2021 2022 0,25 x − 23 x − 23 x − 23 x − 23 + = + 2019 2020 2021 2022 1 1 1 1 (x − 2023). + − − = 0 0,25 2019 2020 2021 2022 1 1 1 1 x − 2023 = 0 Vì + − − 0 2019 2020 2021 2022 0,25 x = 2023 . Vậy: x = 2023 0,25 a) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 0.25đ a + b − c b + c − a c + a − b abcbcacab+−++−++− = = = = 1 0.25đ c a b abc++ abcbcacab+−+−+− 0.25đ mà +=+=+111 = 2 cab abbcca+++ => ===2 0.25đ cab Vậy a+b+c 0 b a c b+ a c + a b + c Thì B = 1+ 1 + 1 + = ( )( )( ) =8 a c b a c b +Nếu a+b+c = 0 Thì: a + b = -c, b + c = -a, a + c = -b −−−cba 0.25đ Hay: B = = = -1 acb 0.25đ Vậy: a+b+c = 0 Thì B = - 1 0.25đ 0.25đ 1. (1.5 điểm) 2
4. Câu III 1 1 1 + = (4.0 x y 5 điểm) 5x + 5y = xy ( Vì x 0 ; y 0 ) 0,25 xy − 5x − 5y = 0 x(y −5) − 5(y − 5)= 25 0,25 (x − 5)(y − 5)= 25 x - 5;y -5 0,25 Ư(25)= 1; 5; 2 5  Ta có bảng sau: 0,25 x - 5 1 -1 5 -5 25 -25 y - 5 25 -25 5 -5 1 -1 x 6 4 10 0 30 -20 0,25 y 30 -20 10 0 6 4 Vì x, y là các số nguyên dương nên ta có (xy;6;30;10;10;30;6) ( ) ( ) ( )  0,25 2. (1,5 điểm) Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z 0.5 xyzxyz 435 4357xyz−+ === = ==12 111111 1117 0.5 −+ 81215243 24312 1 3 1 14 0. 5 x = 12. = ; y = 12. = 1; z = 12. = 8 2 12 15 5 3. (1,0 điểm) Vì n là số tự nhiên nên n2 là số chính phương do đó 2 n có dạng 4k hoặc 4k+1 ( k N ) 0,25 2 Nếu n 2 = 4k thì nkk+=+=++2022420224.5052 ( ) 2 0,25 +n 2022 không phải là số chính phương Nếu n2 = 4k+1 thì nkkk2 +=+202241 +=+=++ 2022420234.5052 ( ) 0,25 2 +n 2022 không phải là số chính phương KL: Vậy với mọi số tự nhiên n thì n2 + 2022 không phải là số chính 0,25 phương A Câu IV (6.0 điểm) M I C E B D H O N 3
5. a) (2 điểm) Xét BD M và CEN có: 0,5 MDB = NEC = 900 (do MD ⊥ BC; NE ⊥ BC) 0,25 BD = CE (gt) 0,75 MBD = NCE (= ACB) 0,25 BDM = CEN ( g.c.g) DM = EN ( hai cạnh tương ứng) 0.25 b) (2.0 điểm) Xét MDI và N EI có: MDI = NEI = 900 (do MD ⊥ BC; NE ⊥ BC) 0,25 DM = EN (ý a) 0,5 D M I = E N I ( So le trong và MD // NE) 0,25 0,5 MDI = NEI ( g.c.g) IM = IN ( hai cạnh tương ứng) 0,25 Vậy I là trung điểm của MN. 0,25 c) (2,0 điểm) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần chứng minh O là điểm cố định. 0,25 Nối O với B, C. Vì đường thẳng OA cố định nên cần chứng minh OC 0,25 cố định hay OC ⊥ AC. Chứng minh: AHB = AHC ( ch – gn) 0,25 BAH = CAH ( hai góc tương ứng) 0,25 Chứng minh OAB = OAC (c.g.c) OBA = OCA (1) 0,25 Chứng minh OBM = OCN ( c.c.c) OBA = OCN (2) 0,25 0 Từ (1) và (2) OCA = OCN mà OCA + OCN = 180 0,25 OCA = OCN = 900 OC AC. Vì AC cố định mà OC⊥ AC O là điểm cố định. Vậy khi D di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng vuông góc với MN tại 0,25 I luôn đi qua một điểm cố định. Câu V Ta có: A = x − 2021 + x − 2022 + x − 2023 (1.0 = (x − 2021 + 2023− x )+ x − 2022 điểm) 0,25 Do x − 2021 + 2023− x x − 2021+ 2023− x = 2 = 2 với mọi x (1) và x − 2022 0 với mọi x (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = (x − 2021 + 2023− x )+ x − 2022 2 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 0,25 (x − 2021)(2023 − x) 0 2021 x 2023 x = 2022 x − 2022 = 0 x = 2022 Vậy Min A = 2 x = 2022 0,25 Lưu ý: -Học sinh nếu làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không được chấm điểm. HẾT 4