Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! 104 .81 16.15 2 Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 44 .675 x y z Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 2x 2 2y 2 3z 2 100 . 3 4 5 Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 . Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2. Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức: M c d d a a b b c Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f x ax2 bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số). Biết rằng: f 0 2018 , f 1 2019 , f 1 2017 . Tính f 2019 . 27 2x Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên). 12 x Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK. Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và AMC 1350 . Tính MC. Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3; ; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 2017 – 2018 Môn Toán – Lớp 7 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Câu Nội dung Điểm 104 .81 16.15 2 24.54.34 24.32.52 A = 44 .675 28.33.52 0,5 24.32.52 (52.32 1) 225 1 1 = 8 3 2 = 4 0,5 2 .3 .5 2 .3 5 224 2 .7 14 = = = 0,5 24 .3 2 4.3 3 0,5 x y z x 2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 3z 2 2x 2 2y 2 3z 2 100 0,5 Từ ta suy ra: 4 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 25 0,5 x 6 y 8 2 x 36 2 x 10 Suy ra: y 2 64 ( Vì x, y, z cùng dấu) 0,5 2 x 6 z 100 y 8 z 10 KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10) 0,5 Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên 0,25 (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 0,25 Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 0,25 3 Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 0,25 suy ra x = 2, y = 1 0,25 2 0,25 Khi đó tính được: M = 24. 0,5 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Từ: a b c d 2abcd abcd 2 abcd 2 abcd 2 Suy ra : 1 1 1 1 0,25 a b c d abcd abcd abcd abcd (*) 0,5 a b c d 4 Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) a b b c c d d a 0,25 M = -4 c d d a a b b c 0,25 Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d a b b c c d d a 0,25 M = 4 c d d a a b b c 0,25
3. KL: 0,25 Xét x =0: f(0) 2018 c 2018 0,25 Xét x =1: f(1) 2019 a b c 2018 a b 1 (1) 0,25 Xét x =-1: f( 1) 2017 a b c 2017 a b 1 (2) 0,25 5 Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0 0,25 Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 0,25 Từ đó tìm được fx x 2018 0,25 Suy ra: f 2019 1 0,5 27 2x 3 0,25 Ta có: Q = = 2+ . 12 x 12 x 3 0,25 Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất 12 x 3 0,25 * Nếu x > 12 thì 12 x 0 0. 12 x 3 0,25 * Nếu x 0 12 x 0,25 3 Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12 x 0,25 giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. Hay 12 x 1 x 11 0,25 Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 0,25 Do a Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c 0,25 b c b c 0,25 Vậy 5 > 5 b>c 5  5 Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3)  a2 (a+3) + 5 a + 3  0,25 Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3   a + 3 Ư (5) 7 0,25 Hay: a+ 3 { 1 ; 5 } (1) Do a Z+ a + 3 4 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2 0,25 Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2 0,25 Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1 0,25 Vậy: a = 2; b = 2; c = 1
4. - Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì x BOM BMO 300 - BK là đường cao của tam giác cân BMO 0,5 nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1) 0,5 B - Chứng minh BKO OHB (c.h g.n) z 8 M 0,5 - Suy ra BH=OK (2) K 0,25 - Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm O H 0,25 y - Dựng tam giác ADM vuông cân tại A D 0,25 (D, B khác phía đối với AM) - Chứng minh ABM ACD (c.g.c) vì: AD=AM ( AMD vuông cân tại A) A BAM CAD (cùng phụ với CAM 0,5 9 AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm 0,25 2 2 2 - Tính được MD =AD +AM = 8 0,25 - Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M M 0,25 - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 B C 0,25 =>CD=1cm 0,25 - Xét 100 số 101; 102; 103; ; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội 0,25 của số kia (vì 101.2>200). Do đó k 101 (1) 0,25 - Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a1 a 2 a 3 a 101 200 . 0,25 Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng: a 2n1 . b 1 1 n2 a2 2 . b 2 n3 a3 2 . b 3 10 n101 a101 2 . b 101 Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i 1;101) 0,25 Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199}. Vì có 101 các số b mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số b và b nào đó bằng i i j 0,25 nhau. n a 2ni . b a 2j . b Suy ra trong hai số i i và j j sẽ có một số là bội của số còn lại. 0,25 Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số kia (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101. 0,25 Hết