Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4,0 điểm). 4 2 2 3 3 2 a) Tính A : : 7 5 3 7 5 3 1 1 b) Tìm x biết: : 2x 2 3 c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x 4 x 5 x Bài 2 (3,0 điểm). a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x99 + x100 . Tính giá trị của đa thức B(x) tại 1 x 2 Bài 3 (4,0 điểm). a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z b) Tìm x, y, z biết: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96 . 4 5 6 Bài 4 (3,0 điểm). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x x 1 b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b 5 + b - 5. Bài 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Bài 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b 2 c 2 2(ab bc ca) HẾT Họ và tên học sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015-2016 Biểu Bài Nội dung điểm 4 2 2 3 3 2 a) Tính A : : 7 5 3 7 5 3 1 1 b) Tìm x biết: : 2x 2 3 c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x 4 x 5 x a) Tính: 4 2 2 3 3 2 A : : 7 5 3 7 5 3 4 2 3 3 2 = : 7 5 7 5 3 0,5 4 3 2 3 2 2 : 0 : 0 0,75 7 7 5 5 3 3 Vậy : A = 0 0,25 b) Tìm x: 1 1 : 2x 2 3 1 1 x 1 4 3 0,75 1 1 1 4 4 x : . 3 4 2 1 3 0,5 4 Vậy x 0,25 3 c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 3x 4 x 5 x +) Với x = 0, x = 1 thay vào không thỏa mãn 2 2 2 +) x =2 thay vào ta được 3 4 5 (đúng), vậy x = 2 thỏa mãn 0,25 +) x > 2 x x x x x x x 3 4 3 4 345 x x 1 1(*) 5 5 5 5 Với x > 2 ta có x 2 x 2 x x 2 2 0,25 3 3 4 4 3 4 3 4 ; 1 5 5 5 5 5 5 5 5 3 4 ( vì 1; 1 ) 5 5 Suy ra x > 2 không thỏa mãn 0,25 Vây x =2 0,25 a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia 2 hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
3. b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + + x99 + x100 . Tính giá trị của 1 đa thức B(x) tại x 2 a) Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c 0,25 )f (0) 3 c 3   )f(1)3 a bc3  a b3  1 0,5 )f(1)3 a bc3  a b3  2 Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)3 2a  3 a  3 vì ( 2; 3) = 1 b3 0,5 Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 0,25 1 b) Với x = thì giá trị của đa thức 2 1 1 1 1 1 1 B 1 0,25 2 3 98 99 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2B 2 1 0,25 2 3 98 99 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 0,25 2 2 3 98 99 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0,25 2 B =(1 ) +2 - 2 22 2 3 2 98 2 99 2 100 2100 1 2B B 2 2100 1 B 2 0,25 2100 1 Vậy B 2 0,25 2100 a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z b) Tìm x, y, z biết: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96. 4 5 6 a) TH1: Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra x = y = z. Tương tự với y; z 0,5 3 TH2: x, y, z là các số khác 0 từ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy xzyxzy xyz 0,5 ; ; . yxzyxz yzx Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z xyz 1 x y z y z x yzx 0,5 Vậy x = y = z (đpcm) 0,25
4. 5z 6y 6x 4z 4y 5x b) Từ 4 5 6 20z 24y 30x 20z 24y 30x 0,25 16 25 36 20zyxz 24 30 20 24 yx 30 0 10 25 36 0,5 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x 10z = 12y = 15x 0,5 xyz3 xyzxyz 2 5 3 2 5 96 3 0,5 4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 0,5 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x x 1 b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b 5 + b - 5. a) ĐK: x ≥ 0 0,25 Ta có x ≥ 0; x 0 x x 0 P x x 1 1 0,5 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (tmđk) 0,25 Vậy Pmin = 0 tại x = 0 0,25 4 b) Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x 0,25 0,25 Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với  x Z. Áp dụng nhận xét trên thì b 5 + b – 5 là số chẵn với b -5 Z. Suy ra 2a + 7 là số chẵn 2a lẻ a = 0 . 0,25 Khi đó b 5 + b – 5 = 8 0,25 0,25 + Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – 5 = 8 0 = 8 (loại) 0,25 + Nếu b ≥ 5 , ta có 2(b – 5) = 8 b – 5 = 4 b = 9 (thỏa mãn) 0,25 vậy (a; b) = (0; 9) Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Vẽ hình và ghi GT, KL
5. A 0,5 H E D F C Q B P M I K a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1 b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) MD = BF (2 cạnh 0,25 tương ứng) (1) +) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 0,5 BH không đổi MD + ME không đổi (đpcm) 0,25 c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC 0,5 +) Chứng minh : BD = FM = EH = CK 0,5 +) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) DP = KQ(cạnh tương ứng) 0,5 0,5 +) Chứng minh : IDP IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab bc ca a2 b 2 c 2 2(ab bc ca) +) 0 (a b)2 (a b)(a b) a 2 2ab b 2 a 2 b 2 2ab 2 2 2 2 Tương tự: b c 2bc;c a 2ca; 0,25 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2ab 2bc 2ca 2 2 2 6 2(a b c ) 2(ab bc ca) 2 2 2 0,25 a b c ab bc ca(1) +) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c Nhân cả hai vế với a dương ta được: a2 < ab + ac 0,25 Tương tự: b2 < ba + bc; c2 < ca + cb a2 + b2 + c2 < ab + ac + ba + bc + ca + cb =2(ab+bc+ca) (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.