Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 6 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1 (4 điểm): 39 91 a) So sánh hai số: – 5 và – 2 b) Chứng minh rằng: Số A 11n 2 12 2 n 1 chia hết cho133 , với mọi n N Bài 2 (4 điểm): 2012 2013 a) Tìm tất cả các cặp số x; y thỏa mãn: 2x y 7 x 3 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 . . . n aaa 1 Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp 3 1 1 7A , số học sinh của lớp 7A và số học sinh của lớp 7A đi thi học sinh giỏi cấp huyện 1 4 2 5 3 thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.    Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có ABC 3 6 . a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD BD CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM AN 2 AB . a) Chứng minh rằng: BM CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC AC Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm 39 91 a) So sánh hai số: – 5 và – 2 2,0đ 13 39 39 3 13 0,75đ Ta có: ( 5) 5 5 125 13 91 91 7 13 0,75đ ( 2) 2 2 128 Ta thấy: 12513 128 13 125 13 128 13 ( 5) 39 ( 2) 91 0,5đ b) Chứng minh: Số A 11n 2 12 2n 1 chia hết cho 133, với mọi n 2,0đ 1 n Ta có: A 11n 2 12 2 n 1 11 2  11 n 12  12 2 121.11 n 12.144 n 4 điểm (133 12)  11n 12.144 n 133.11 n 12.11 n 12.144 n 1,0đ 133.11n 12. 144 n 11 n Ta thấy: 133.11n  133 0,5đ 144n 11 n  (144 11) 133 12. 144 n 11 n  133 Do đó suy ra: 133.11n 12. 144 n 11 n chia hết cho 133 0,5đ Vậy: số A 11n 2 12 2n 1 chia hết cho 133, với mọi n a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 2,0đ Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn (2x y 7)2012 0 2013 0,5đ và x 3 0 x 3 0 2 2012 2013 4 Do đó, từ 2x y 7 x 3 0 điểm 0,5đ 2012 2013 suy ra: 2x – y 7 0 và x 3 0 2x – y 7 0 (1) và x – 3 0 (2) 0,5đ Từ (2) x 3 0,5đ
3. Từ (1) y 2 x 7 2.3 7 13 Vậy cặp số x; y cần tìm là 3; 13 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a 2,0đ n n 1 Ta có: 1 2 3 . . . n và aaa a.111 a .3.37 0,5đ 2 Do đó, từ 1 2 3 . . . n aaa n n 1 2.3.37. a n n 1 chia hết cho số nguyên tố 37 0,5đ n hoặc n 1 chia hết cho 37 (1) n( n 1) Mặt khác: aaa 999 n ( n 1) 1998 n 45 (2) 2 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra hoặc n 37 , hoặc n 1 37 37.38 - Với n 37 thì aaa 703 (không thỏa mãn) 2 36.37 - Với n 1 37 thì aaa 666 (thỏa mãn) 2 0,5đ Vậy n 36 và a 6. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. 4,0đ Gọi tổng số học sinh của 7AAA1 , 7 2 , 7 3 lần lượt là a, b, c (a,b,c N*) 1 1 1 1,0đ Theo bài ra ta có : a a b b c c (*) và a b c 147 3 4 5 3 2a 3 b 4 c 12a 12 b 12 c a b c Từ (*) 1,0đ 4 3 4 5 18 16 15 18 16 15 điểm Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : a b c a b c 147 1,0đ = 3 . 18 16 15 18 16 15 49 Suy ra : a 54, b 48, c 45 1,0đ
4. Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45. a) Tính số đo các góc của ABC : 2,0đ    ABCABCˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180  Từ ABC 3 6 20  1,0đ 6 2 1 6 2 1 9 ˆ A 6.20  120  Bˆ 2.20  40  Cˆ 1.20  20  1,0đ Vậy: ABCˆ 120  ;ˆ 40 ; ˆ 20  b) Chứng minh AD < BD < CD. 2,0đ 4 - Trong ACD có 4    ADC 90  ; C 20  A 70  A 50  điểm 2 1 1,0đ ˆ ˆ - Xét ADB có B 40  A1 50  AD BD (1) - Xét ABC có Bˆ 400 C ˆ 20 0 AB AC AB 2 AC 2 (*) - Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có: AB2 AD 2 BD 2 và AC2 AD 2 CD 2 1,0đ Do đó, từ (*) AD2 BD 2 AD 2 CD 2 BD2 CD 2 BD CD (2) Từ (1) và (2) AD BD CD a) Chứng minh rằng: BM CN 1,0đ Theo giả thiết, ta có: 5 2AB AB AB AB AM BM 4 AM AN AM AC CN điểm ABC cân ở A AB AC Do đó, từ AM A N 2 AB BM CN
5. b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. 1,5đ Qua M kẻ ME // AC (E BC) 0,75đ ABC cân ở A BME cân ở M EM BM CN MEI NCI (g-c-g) IM IN 0,75đ Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC AN 1,5đ + K thuộc đường trung trực của MN KM KN (1) + ABK ACK (c-g-c) KB KC (2); ABK ACK (*) 0,5đ + Kết quả câu c/m câu a) BM CN (3) + Từ (1), (2) và (3) BMK CNK (c-c-c) ABK NCK ( ) 0,5đ 180 + Từ (*) và ( ) ACK NCK 90  KC  AN 0,5đ 2 - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.